基于動柔度方法的管路動力吸振器設計研究

張琳，李華峰，陳勇，張濤*，丁楊建

1 華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

2 武漢第二船舶設計研究所，湖北武漢430205

0 引 言

目前，載流管路作為輸送流體的重要載體已被廣泛應用于船舶、汽車等相關領域。而載流管路在泵或者其他設備的激勵作用下會產生振動，影響管路上的精密儀器穩定工作，對管路安全構成威脅，所以針對載流管路的減振研究成為了學術和工程界的重要課題［1］。

動柔度矩陣（Receptance matrix）用于表示結構某節點各個自由度在單位力激勵作用下的運動量的大小，其中運動量包括位移、速度和加速度。動柔度方法（Receptance Method）是一種利用結構的頻響函數對系統進行減振分析的方法。該方法以系統結構的動柔度矩陣為基礎，通過被動修改或者主動控制修改結構的質量、剛度或阻尼矩陣，從而達到控制振動的目的。運用該方法時，若結構簡單，可根據模態理論建立結構的數學模型，得到結構的動柔度矩陣；若結構復雜不易建模，則可通過試驗測量關注點在一定激勵作用下的響應函數，得到該點的動柔度矩陣。因此，動柔度方法在分析大型復雜結構振動時具有明顯的優點。運用該方法，在分析過程中無需針對復雜的結構進行精確的有限元建模，也無需分析確定振動的激勵源，故可滿足實際工程中的經濟性、快捷性需求。運用動柔度方法對結構進行振動控制主要有被動修改和主動控制2 種方法，其中應用最廣泛的是被動修改法。

在結構被動修改方面，早在1968 年，Weissenburger［2］在其研究工作中就使用了秩為1 的動柔度矩陣來修改結構的模態參數，配置結構的固有頻率。Pomazal 和Synder［3］將文獻［2］所述方法擴展到彈簧阻尼系統，計算得到了該系統的固有頻率和振型。1972 年，英國在直升機設計制造中運用動柔度方法進行了結構零點配置。Vincent［4］研究發現，當某個受固定頻率的外載荷激勵的系統被修改時，系統其他頻率點的響應將隨著修改參數的變化在復平面上呈現出一個圓，由此將系統在物理上的減振問題簡化為了在復平面圓上尋找離原點最近頻率點的數學問題。Berman 和Nagy［5］進一步研究了Vincent 的復平面圓理論，提出了由彈簧質量系統組成的吸振器。Tehrani等［6］將Vincent的復平面圓理論擴展到了對典型的彈簧阻尼系統的不同位置進行修改，從而達到抑制所關注頻率點的振動的目的。然而，該理論仍有一定的缺陷，即在結構被動修改后會導致原始結構中未參與修改的其他固有頻率發生變化，這種改變可能導致其他位置的振動變大等其他不良后果。鑒于此，Belotti 等［7］提出了一種特殊的質量彈簧系統，利用該系統對結構的部分固有頻率進行配置時，幾乎不影響結構的其他頻率。

Frahm［8］于1909年提出的動力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）是一種典型的結構被動修改形式，其可用來吸收主系統在某個頻率點的振動能量，從而達到結構減振的目的。動力吸振器由質量塊、彈簧和阻尼器組成。該吸振器可被視為一個附加在需要減振的主結構上的單自由度系統，當主體結構受到激勵產生振動，且激勵頻率接近于吸振器的調諧頻率時，吸振器將被動地在主體結構上施加一個反作用力，以抵消外部激勵力。吸振器在工作狀態下，外界激勵的能量會被傳遞到吸振器上，從而避免了主體結構因振動而受到破壞。針對動力吸振器的減振效果，任意［9］在分析多種調諧質量阻尼器的基礎上，發現采用多個調諧方式的減振效果最好，并通過試驗對管路上應用調諧質量阻尼器的減振效果進行了驗證。

綜上所述，動力吸振器具有結構簡單、安裝方便、無需求解數學模型的優點，在管路減振研究中具有很好的應用前景。因此，本文將基于動柔度法中的被動修改理論，推導得出利用彈簧質量系統對多自由度系統進行被動修改后的動柔度矩陣，并利用彈簧質量系統增加的自由度，對原多自由度系統中的目標自由度進行零點（反向共振點）配置，使該自由度下的振動得到相應的抑制。在此基礎上，設計一種應用于載流管路上的動力吸振器，并通過試驗驗證理論的有效性，研究其減振效果。

1 結構修改的彈簧質量系統

圖1 利用彈簧質量系統修改主結構第r自由度示意圖Fig.1 Schematic diagram of the r-DOF main structure modification using a spring mass system

由上文可知，動力吸振器本質上是一種附加在主結構上的彈簧質量系統。假設主結構為一個多自由度系統，且吸振器附加在該多自由度系統的第r 自由度（節點）上，如圖1 所示。圖中，mr為吸振器質量，kr為吸振器彈簧剛度。動力吸振器工作時會產生豎向運動，從而增加了整個系統的自由度。因此，若原結構的自由度為n，附加了吸振器后的結構的自由度則為n+1。

由模態理論可知，受迫振動的多自由度系統的運動微分方程為

式中：M為系統的質量矩陣；C為系統的阻尼矩陣；K為系統的剛度矩陣；x為結構的位移；f(t)為施加到第q 自由度上的載荷，t為運動時間。

對式（1）進行拉氏變換，可得

式中，f(s)為系統受到的外界激勵，其中s為結構的復頻率。

將系統的動剛度矩陣Z(s)定義為

式（2）可表示為

式中，x(s)為系統受到激勵后的運動量（位移、速度、加速度）。

將式（4）寫成如下矩陣形式：

式中：zij為多自由度系統在第i 自由度上產生的單位運動量需要在第j 自由度上施加的激勵；xi為第i 自由度的運動量；fi為外界在第i 自由度上施加的激勵。

假設多自由度系統的自由度為n，則在系統的第r 自由度上附加彈簧質量系統后，式（5）可表示為

式中：等號左側為多自由度系統在增加彈簧質量系統后動剛度矩陣與各自由度上的運動量的積，其中系統的新動剛度矩陣為原動剛度矩陣增加了一行及一列0 元素；等號右側為彈簧質量系統對結構的修改與外力向量之和；dx 為系統附加的彈簧質量系統在外界激勵作用下的運動量；ω為多自由度系統第r自由度的固有圓頻率。

為了消去附加彈簧質量系統后多自由度系統額外增加的自由度，提取式（6）最后一行：

則dx 可表示為

式中，xr為系統在第r自由度結構的位移量。

將式（8）代入式（6）中，則式（6）等號右側可寫為

提取式（9）中第r行，可得

式中，fr為外界在第r自由度施加的激勵。

將式（10）再代入式（6），并消去式（6）的第n+1行及n+1 列，可得

式（11）中的動剛度矩陣與結構修改前的動剛度矩陣具有相同的維度。這里，定義式（11）中等號兩側同時左乘原系統的動剛度矩陣的逆Z(s)-1為動柔度矩陣H(s)，來表示單位作用力下運動量的大小，其表達式為

因此，將式（11）中的等號兩側左乘動柔度矩陣H(s)并移項，可得

簡化式（13），可得

提取式（14）第r行，可得

式（15）也可寫為

式中，hri為第r 自由度施加單位激勵下，在第i 自由度的位移；hrr為在第r 自由度施加單位激勵下第r自由度的位移；fi為在第r自由度施加的外力。

由式（16），可得附加了彈簧質量系統后系統的動柔度，即

若考慮附加的吸振器中存在阻尼項cr，則按照以上推導，式（17）可寫為

令式（18）右側分子hri(s2mr+scr+kr) =0，則由式（19）可確定系統增加的零點。

式（19）與計算單自由度阻尼系統振動頻率的特征方程相同，其解為

2 管路動力吸振器設計

根據上節的結論，本文設計了一種用于載流管路減振的動力吸振器。該吸振器將2 組彈簧質量系統安裝在管路某節點的同一自由度上，以吸收該節點上2 個頻段的外界激勵能量。

2.1 動力吸振器的三維模型

由于載流管路的結構形狀為圓柱形，本文將動力吸振器的安裝結構設計為環形，并將用于吸振的彈簧質量系統附加在柱形結構上，如圖2 所示。此吸振器具有安裝拆卸方便及適用范圍廣的特點。

圖2 管路動力吸振器模型Fig.2 Model of the dynamic vibration absorber for pipeline

圖2 中的環形安裝結構為吸振器的安裝結構和彈簧質量系統的支撐結構。為了減少不用于振動能量吸收的附加質量，環形安裝結構采用密度較小的塑料制造，而質量塊則采用密度較大的鋼材制造。根據文獻［11］的研究結論，質量塊與主結構的質量比越大，減振效果越好。但為了不大幅度增加管路結構的負載，質量塊的質量應為管路兩端的支撐內部結構（節點10 到節點11 的管路段，參見圖5）質量的1/30～1/10［12］。吸振器的剛度由彈簧提供，其彈性系數可根據管路的目標減振頻率確定。

2.2 動力吸振器的安裝

選取工業領域常用的典型復雜載流管路，并通過載流管路的振動實驗研究動力吸振器對典型載流管路振動特性的影響。典型載流管路的實驗模型如圖3 所示，其各項物理參數見表1。

圖3 典型載流管路的實驗模型Fig.3 Experimental model of a typical fluid-conveying pipeline

本文設計的動力吸振器安裝結構采用3D 打印技術制造，如圖4 所示。根據管路尺寸，確定環形安裝結構的內徑為25 mm，厚度為5 mm，而動力吸振器的質量參數與彈簧彈性系數根據載流管路的目標減振頻率確定。實驗中，將吸振器安裝在載流管路節點10 與節點11 之間的中間位置（定義該位置為節點r），與節點11 的間距為300 mm，如圖5 所示。實驗中，復雜載流管路中注滿水，設流體流速為0（靜水），采用激光位移傳感器測量節點r處的位移。用力錘或者激振器激勵節點11，得到節點r處的動柔度曲線如圖6～圖8 所示。

表1 載流管路物理參數Table 1 The physical parameters of fluid-conveying pipeline

圖4 管路動力吸振器實物圖Fig.4 The physical photo of dynamic vibration absorber for pipeline

圖5 動力吸振器安裝位置示意圖Fig.5 Diagram of installation position for the dynamic vibration absorber

3 結果分析

3.1 動力吸振器的作用

實驗中，測量得到載流管路在未安裝動力吸振器時的動柔度曲線，如圖6 中的藍色曲線所示。由圖6 可以看出，載流管路在8.85 Hz 時的動柔度最大，而根據式（13）中動柔度的定義可知，動柔度越大，管路的振動越大，故為了減小管路8.85 Hz 處的振動，取動力吸振器中質量塊的質量mr1=0.1 kg，彈簧剛度kr1=(2πf1)2mr1= 394.78 N/m（f1為彈簧質量系統的頻率）。通過振動實驗，測量得到載流管路在安裝動力吸振器后節點r 處的動柔度曲線，如圖6 中的紅色曲線所示。

由圖6 可見，根據原結構動柔度曲線配置動力吸振器的質量與剛度參數后，節點r處的動柔度曲線在8.85 Hz 處出現了一個零點，即反向共振點。這說明吸振器較好地吸收了8.85 Hz 附近頻帶的振動能量，且在其他頻率下未出現較大的尖峰。這說明，本文設計的吸振器可有效抑制管路在節點r處的振動。

3.2 附加兩個彈簧質量系統的動力吸振器

由圖4 可以看出，本節在3.1 節的動力吸振器中增加一個彈簧質量系統，使動力吸振器配置2個彈簧質量系統，用以吸收管路節點處2 個頻帶的振動能量。為研究吸振器的吸振效果，設定管路的目標減振頻率為10 和20 Hz，配置吸振器上2 個彈簧質量系統的各項參數為：mr1=0.1 kg，kr1=(2πf1)2mr1=394.78N/m；mr2=0.1kg，kr2=(2πf2)2·mr2=1 579.14 N/m。通過實驗，測量得到附加新的動力吸振器后節點r處的動柔度曲線如圖7所示。

由圖7 可見，在節點r 處安裝附加2 個彈簧質量系統的動力吸振器后，節點r 的動柔度曲線上10 和20 Hz 處分別出現了一個零點，這說明新安裝的動力吸振器較好地抑制了節點r 在10 和20 Hz 附近的振動。

圖7 安裝附加2 個彈簧質量系統的吸振器后管路節點r處的動柔度傳遞曲線Fig.7 Receptance at the node r attached the vibration absorber with two spring mass systems

3.3 不同參數的吸振器的吸振效果對比

本文給出了3 種不同參數（質量塊質量mr與彈簧剛度kr）的動力吸振器，以探究吸振效果。表2 給出了3 種吸振器的參數。

表2 不同參數的吸振器Table 2 Vibration absorber at various parameters

圖8 所示為安裝了不同參數的動力吸振器后節點r 處的動柔度曲線。由圖8 可見，對于相同的目標減振頻率，使用質量、剛度更大的彈簧質量系統可以增加減振頻帶，但附加了彈簧質量系統的自重會造成新的振動尖峰。因此，需要綜合考慮動力吸振器的設計參數。

圖8 安裝不同參數的吸振器后管路節點r處的動柔度傳遞曲線Fig.8 Receptance at the node r of the vibration absorber with various parameters

4 結 語

本文根據結構被動修改理論，設計了一種應用于載流管路上的動力吸振器，推導得出了利用彈簧質量系統對多自由度系統的動柔度矩陣進行被動修改的理論過程，并通過零點配置實現了對多自由度系統在某自由度下的振動抑制。在管路振動實驗中，通過配置動力吸振器的彈簧質量系統的質量參數及剛度參數，使吸振器較好地抑制了管路在目標減振頻率下的振動。

通過對比3 種不同參數動力吸振器的吸振效果，發現其調諧質量越大，吸振頻帶越寬，減振效果越好。