基于波動理論的共振轉換器減振特性分析

李良偉，趙耀

1 中國人民解放軍92942 部隊，北京100161

2 華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

0 引 言

共振轉換器（Resonance Changer，RC）作為一種振動控制裝置，早在文獻［1］中已被提到。該裝置的概念模型如圖1 所示，其減振方式主要是將流體作為減振介質，在外部激勵下能夠同時產生流體的慣性力、沿程阻尼力和流體彈性力，進而改善原系統的振動特性，其主要特點是在滿足靜載荷穩定傳遞的同時能有效控制脈動激勵力。圖1中，xb和x1分別為推力軸承和共振轉換器的縱向響應位移，L1為外接管系長度，A0為活塞截面積，A1為外接管系截面積，V1為外接腔體體積。

圖1 RC 的結構簡圖Fig.1 Structure diagram of RC

當前，船舶螺旋槳—軸系—船體耦合縱向振動及輻射噪聲控制問題備受關注，RC 減振理論模型已逐漸推廣運用到船舶振動控制領域。國外學者提出將RC 作為控制船舶軸系縱向振動的減振裝置，建立了軸系—船體耦合縱向振動和聲輻射響應模型，以求解系統的力傳遞率和能量傳遞率，分析等效參數優化和靈敏度，并討論了參數優化算法及振動控制效果，研究了螺旋槳在不均勻伴流場中旋轉產生的縱向脈動力對船體縱向振動和聲輻射特性帶來的影響［2-5］。近年來，國內學者也陸續開展了基于RC 的船舶軸系縱向振動控制特性分析，針對該裝置的參數優化算法、非線性減振特性、振動濾波特性等關鍵技術問題開展了研究［6-8］。

RC 減振理論模型主要源于Goodwin［1］最早提出的簡化經驗結論。鑒于RC 內部結構參數與其減振效果密切相關，本文以RC 工程化設計為切入點，擬基于波動理論推導聲壓在RC 內傳播的解析式，構建RC 內部結構參數與其減振機理的物理關系，并對其外接管系通徑、長度和外接腔體體積等設計參數的變化對主系統插入損失及寬頻帶內聲壓級的影響規律以及靈敏度進行分析，以為RC 實際設計提供理論支持。

1 基于波動理論的RC 振動機理分析

由目前國內外研究現狀可知，RC 主要基于動力諧調消振理論來實現對系統特征線譜的抑制。為深入分析RC 對原系統振動特性的影響規律，本文提出基于波動理論研究RC 的振動機理，分析中，主要考慮將理論模型分為2 個部分：活塞縱向行程區域（即原系統設計狀態）和外接管系及外接腔體（即RC 設計方案）。首先，分析活塞縱向行程區域中的聲壓傳遞特性；然后，求解加裝外接管系及外接腔體后系統的振動響應。

1.1 活塞縱向行程區域內聲壓傳遞特性分析

圖2 所示為活塞縱向行程區域內波動理論分析模型。假設該區域充滿流體，且活塞處受到簡諧力（F=F0ejωt，其中F0為簡諧力倍數值）激勵，其他邊界均為剛性固定。考慮到RC 以流體為介質，主要利用流體受力產生小變形的特性，在形成相對位移的狀態下實現對原系統振動響應的控制。圖2 中，L0為活塞在靜平衡時受激勵力作用縱向可運動的最大范圍（行程），La為活塞腔體邊界位置，P0為腔體內的流體壓力，ox 為活塞縱向行程方向。本文以控制軸系—船體耦合縱向振動為背景，在RC 減振特性研究中重點關注縱向方向。

圖2 活塞縱向行程區域內波動理論分析模型Fig.2 Analysis model of piston longitudinal motion region based on wave theory

由現有安裝方式可知，圖2 所示的活塞縱向尺寸相對于外接管系較小，且活塞內流體運動壓縮變形小，故不考慮活塞縱向行程區域內的阻尼貢獻。

根據連續介質的連續性方程、運動方程和狀態方程，求解得到的無阻尼流體介質中小振幅波傳播方程為［9］

式中：c 為流體聲速；P 為流體聲壓；?為拉普拉斯算子；t為時間。

流體介質在小振幅聲場中的運動方程為

式中：u 為流體介質振動速度；ρ為流體密度。

假設波面振幅均勻聲壓由P(x，t) 表示，則式（1）可簡化為

活塞在簡諧力激勵下的聲壓通解P(x，t) 一般可表示為

式中：A3，B3分別為待求解的常數；ω為角頻率。

圖2 所示活塞縱向行程區域內x=L0處為流體受壓極限邊界，滿足u（L0，t）=0，則由式（2）可得

結合邊界條件，簡化式（5），可得

為構建初始狀態下壓強與激勵力之間的關系，針對小幅波傳播響應的特點，在不考慮活塞質量的情況下，圖2 所示的振動系統可等效為沒有質量的等效彈簧系統。故當x=0 時，可知P（0，t）=F0ejωt/A0，將其代入式（4）求解A3，并由式（7）求解P(x，t)。

1.2 加裝RC 后的系統聲壓傳遞特性分析

假設在活塞縱向行程區域x=lh處加裝外接管系和外接腔體，將外接管系及外接腔體的集合定義為RC。圖3 所示為加裝外接管系及外接腔體的波動理論分析模型。圖中，d1為外接管系通徑，P1為外接腔體內聲壓。

圖3 主系統加裝RC 后的波動理論分析模型Fig.3 Theoretical model of main system with RC based on wave theory

考慮到RC 與赫姆霍茲共振器的結構形式類似，赫姆霍茲共振器中管系內流體位移與腔內壓強變化的對應關系如式（8）所示［10］。

式中，y1(ω) 為管系內流體位移，且假設P1(ω，t)僅為頻率與時間的函數。加裝外接管系和外接腔體后，根據小振幅波傳播的疊加性，在活塞縱向行程lh≤x≤L0范圍內的波動響應可等效為活塞處簡諧力響應，并疊加了x=lh（lh為RC 加裝位置）處因增加RC 而產生的激勵源Ph(x′，t)，其中x′的取值范圍為［lh，L0］。考慮到疊加波在傳播過程中與圖2所示邊界條件相同，故Ph(x′，t)通解的形式與式（4）一致，可表示為

式中，A4為待求解的常數。

分析外接管系內流體質量（ρA1L1）運動特性，在x′=lh處，計入流體沿程阻尼力的運動方程為

式中，R 為阻尼力系數。

將式（8）代入式（11），可知

假設流體處于層流狀態，則流體經過長度為L1、通徑為d1的管系沿程壓力損失ΔPf可滿足［11］：

式中：v為流體的特征速度；λ為沿程壓力損失因數。

在層流狀態下，λ與雷諾系數Re 滿足

式中，a 為常數，其取值與流體特性相關。

聯立式（13）和式（14）求解R，可得

式中，μ為流體運動粘性系數。引用赫姆霍茲共振器的固有頻率ω1與結構尺寸的對應關系［11］：

將式（16）代入式（12）化簡，可得

進一步化簡式（17），可得P1(ω)與Ph(lh)之間的關系滿足

1.3 加裝RC 后系統振動特性的解析式

由式（2），可求得活塞在簡諧力F 激勵下縱向行程區域內x=lh處的流體運動速度u（lh，t）為

相應地，位移y(lh，t)滿足下式：

根據x=lh處流體質量守恒，即A0y（lh）=A1y1，結合式（8），可知

聯立式（11）、式（18）和式（21），可求解A4，并最終得到(x，t)：

由式（7）和式（22）求解x=L0處的系統插入損失IL，可得

2 RC 結構尺寸對系統減振特性的影響分析

2.1 對系統插入損失的影響分析

根據RC 工程化應用的實際情況，將圖2 所示活塞腔體邊界位置設為剛性約束，引入系統插入損失作為減振效果的評價指標，并結合圖2 和圖3研究加裝RC 前、后系統的響應差異，分析RC 的減振機理。由式（23）可知，系統插入損失與流體的特征參數、外接管系尺寸、外接腔體尺寸以及活塞尺寸相關。針對初步考慮的RC 減振效果，驗證結構尺寸及現有實驗條件，開展了不同參數對減振效果的靈敏度分析。表1 給出了相關的初始計算參數。

表1 初始計算參數Table 1 Initial calculation parameters

表1 中，流體的密度、體積模量、運動粘性系數與流體的特性相關，活塞縱向最大行程、活塞截面積、RC 加裝位置與原系統的設計狀態相關。為了合理地對比分析RC 不同結構尺寸對系統減振效果的影響，在后續計算中假設上述基本參數均保持不變。RC 的外接管系通徑d1、長度L1以及外接腔體體積V1在設定的取值范圍內，以按照從小到大等量增加10%為基準，離散為9 組初始值，并在以上相同變化幅度基準下，對比分析不同結構尺寸對系統減振效果的靈敏度。

2.1.1 外接管系通徑

根據定義的外接管系通徑d1的取值范圍，計算得到系統插入損失和RC 的固有頻率f1，如圖4所示。

圖4 RC 不同外接管系通徑對系統插入損失的影響（L1=0.30 m，V1=0.004 m3）Fig.4 Influence of RC pipe diameter variation on insertion loss of system（L1=0.30 m，V1=0.004 m3）

由圖4 可知，隨著外接管系通徑的增加，RC的固有頻率增加，插入損失最大幅值對應的頻率值與RC 的固有頻率相等，這說明RC 對與其固有頻率相等的主系統的特征線譜減振效果最好。此結論與RC 的動力諧調消振特征吻合，從固有頻率的求解來看，也能相應地驗證插入損失推導結果的合理性。針對不同外接管系通徑的取值，隨著頻率的增加，系統插入損失幅值基本為定值，總體呈小幅增大的趨勢。

2.1.2 外接管系長度

根據定義的外接管系長度L1的取值范圍，計算得到系統插入損失和RC的固有頻率f1，如圖5所示。

圖5 RC 不同外接管系長度對系統插入損失的影響（d1=5.0 mm，V1=0.004 m3）Fig.5 Influence of RC pipe length variation on insertion loss of system（d1=5.0 mm，V1=0.004 m3）

由圖5 可知，隨著外接管系長度的增加，RC的固有頻率減小，而長度變化對不同固有頻率處插入損失幅值的影響并非單調增或單調減的關系。隨著頻率的增加，采用不同的外接管系長度取值計算得到的插入損失幅值基本不變，總體呈小幅減小的趨勢。

2.1.3 外接腔體體積

根據定義的外接腔體積V1取值范圍，計算得到系統插入損失和RC 的固有頻率f1，如圖6 所示。

由圖6 可知，外接腔體體積變化對系統插入損失幅值的影響與外接管系長度的變化規律接近，系統插入損失隨外接腔體體積的增加呈增長的趨勢，其遞增幅度相比外接管系的影響相對較明顯。

2.2 對系統頻帶內聲壓級的影響分析

考慮到減振控制中系統頻帶內聲壓級變化也是評價減振裝置減振效果的重要指標之一，為從系統總體角度研究RC 的減振特性，選取0～100 Hz頻率分析RC 對系統頻帶內聲壓級的控制效果。根據表1 所列相關參數的取值，結合式（7）和式（22），可求解得到加裝RC 前、后的聲壓級減少量。圖7 所示為外接管系通徑、長度及外接腔體體積在離散取值下計算得到的系統頻帶內聲壓級減少量。

圖6 RC 外接腔體體積對系統插入損失的影響（d1=5.0 mm，L1=0.30 m）Fig.6 Influence of RC cavity volume variation on insertion loss of system（d1=5.0 mm，L1=0.30 m）

圖7 在0～100 Hz頻帶內RC結構參數對聲壓級減小量的影響Fig.7 Influence of RC structural size variation on sound pressure level reduction within 0～100 Hz frequency band

由圖7 可知：外接腔體體積V1從0.002 4 m3增至0.005 6 m3，在0～100 Hz 分析頻帶內，系統聲壓級減少量提高了約15 dB；外接管系通徑的增加將提高RC 對系統頻帶內聲壓的減振效果，但增幅隨著外接腔體體積的增大而逐步減緩；外接管系長度的增加總體上能夠實現對系統頻帶內聲壓的減振，但尺寸越大，對系統的減振效果呈逐步下降的趨勢。

3 RC 結構尺寸變化對系統減振效果的靈敏度分析

根據以上RC 結構尺寸變化對系統減振效果的影響規律可知，在RC 的固有頻率處，系統插入損失幅值最大；從0～100 Hz 頻帶內的聲壓級減少量來看，不同結構尺寸對系統的減振效果影響有所不同。為此，針對各類結構尺寸變化的幅度同步細化開展了系統減振效果的靈敏度分析，結果分別如表2～表4 所示。由各表可知外接管系的通徑、長度及外接腔體體積取值與RC 固有頻率處插入損失最大值（ILmax）、頻帶內聲壓級減少量的對應關系。

表2 外接管系通徑與系統插入損失最大值、頻帶內聲壓級減少量的對應關系（L1=0.30 m，V1=0.004 m3）Table 2 Interrelation between pipe diameter variations and insertion loss maximum，sound pressure level reduction（L1=0.30 m，V1=0.004 m3）

表3 外接管系長度與系統插入損失最大值、頻帶內聲壓級減小量的對應關系（d1=5.0 mm，V1=0.004 m3）Table 3 Interrelation between pipe length variation and maximum insertion loss，sound pressure level reduction（d1=5.0 mm，V1=0.004 m3）

表4 外接腔體體積與系統插入損失最大值、頻帶內聲壓級減小量的對應關系（d1=5.0 mm，L1=0.30 m）Table 4 Interrelation between cavity volume variation and maximum insertion loss，sound pressure level reduction（d1=5.0 mm，L1=0.30 m）

圖8 和圖9 所示為RC 各結構參數變化幅度對系統振動控制效果的靈敏度分析結果。

圖8 RC結構參數變化幅度對系統插入損失最大值的靈敏度Fig.8 Sensitivity of RC structural parameter variation to maximum insertion loss

圖9 RC 結構參數變化幅度對系統聲壓級減少量的靈敏度Fig.9 Sensitivity of RC structural parameter variation to sound pressure level reduction

由圖8 可知，以RC 外接管系通徑d1=5.0 mm、外接管系長度L1=0.30 m、外接腔體體積V1=0.004 m3為基準，針對各類參數在±10%，±20%，±30%，±40%變化條件下，分析系統插入損失最大值的變化幅度改變情況。總體上，外接管系通徑對系統插入損失最大值的影響較為敏感，外接管系長度的影響次之，外接腔體體積的影響相對較小。因此，在針對特征線譜消振需求開展RC 結構參數設計時，建議重點關注外接管系尺寸的選擇。

由圖9 可知，外接腔體體積對系統頻帶內聲壓級減少量的影響較為敏感，外接管系通徑的影響次之，而外接管系長度的影響則相對較小。因此，針對頻帶內減振控制需求開展RC 結構參數設計時，建議重點關注外接腔體尺寸的選擇。

4 結 論

本文基于波動理論開展了RC 減振特性研究，求解了加裝RC 后聲壓傳播的解析式，并選擇不同的RC 外接管系通徑、長度及外接腔體體積，開展了各結構尺寸變化對系統插入損失幅值和頻帶內聲壓級的影響特性分析及靈敏度分析，得到如下主要結論：

1）RC 在其固有頻率處能夠對主系統共振峰實現有效控制，減振效果明顯；外接管系通徑、長度和外接腔體體積的變化對固有頻率處插入損失最大值的影響不具有單調增或單調減的規律；隨著頻率的增加，插入損失隨著外接管系通徑、外接腔體體積的增加呈小幅增長的趨勢，而隨外接管系長度的增加則呈小幅減小的趨勢；同時，由各結構尺寸的變化對插入損失最大值的靈敏度分析可知，針對特征線譜消振需求開展RC 結構參數設計時需重點關注外接管系尺寸的選擇。

2）以實現在0～100 Hz 頻帶內減小系統聲壓級為目的，分析RC 結構尺寸變化對減振效果的影響可知，外接腔體體積和外接管系通徑的增加可提高頻帶內的減振效果，外接管系長度的增加對系統頻帶內的減振效果呈逐漸下降的趨勢；同時，由各結構尺寸變化對頻帶內聲壓級減少量的靈敏度分析可知，針對頻帶內減振控制需求開展RC 結構參數設計時需重點關注外接腔體尺寸的選擇。