初中幾何解題模型在教學活動中的應用

張靜

【摘 要】初中數學幾何教學一直是教學的重點和難點，在課堂時間有限的情況下，應用幾何解題模型能幫助學生理解問題本質，提高課堂效率。本文從解題模型的角度出發，探索初中幾何教學的有效方法。

【關鍵詞】初中數學；幾何解題模型；教學應用

蘇科版教材在八年級上冊開始進入復雜幾何知識教學，此時知識點大量增加，內容比較多，加上問題類型復雜多變，很多學生不能靈活運用相關知識點解決問題，常感到解題困難，思路不準確或沒有頭緒。按照傳統教學模式，教師會根據章節和進度按部就班的教學，這種方式容易造成解題內容太分散，學生重復勞動，事倍功半。筆者認為教師應該轉變教學理念，以解題模型為基礎，將分散的問題集中，幫助學生構建更加全面和立體的知識框架。

一、利用幾何解題模型，將實際問題轉化成數學問題

新課標要求新時代的學生要學習有用的數學，因此近年來的數學問題與實際生活聯系越來越密切，而很多學生由于年齡小，生活閱歷不足，在解決實際問題時往往無從下手。

問題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數量關系。

圖1

圖2

圖3

小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG=BE，連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是。

探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=1/2∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由。

實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進。1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離。

這個問題較長也較復雜，尤其是第三問，文字敘述貼近生活，結合方位角，圖形中給出的線段和角的關系不但隱蔽，還比較分散，大多數學生看到這么復雜的問題，往往沒有明確的解題思路。筆者在授課時將該問題設計成一個專題，稱為“角含半角”幾何模型，從如圖1入手，引導學生去學習用旋轉構造全等三角形的方法解決問題，當學生理解并會類比解決圖2后，我請學生比較兩幅圖并歸納共同點：①∠EAF=1/2∠BAD；②對角互補，將圖3分散的信息集中之后得到了和前兩幅圖一樣的共同點，學生恍然大悟，直接運用和圖2的結論一舉解決了圖3的實際問題。

二、掌握幾何解題模型，實現特殊

解決了該問題之后，筆者提出問題：“對圖1你們還有什么變化方案？”課堂氣氛頓時熱烈起來，學生分組畫圖并討論，筆者進行補充，總結如下：

角含半角模型——90°含45°（正方形）

圖4

當∠EAF=45°時，通過旋轉構造三角形全等同樣可以得到結論：①EF=DF+BE；②△CEF的周長為正方形ABCD周長的一半。另外，通過調換條件②和結論①的位置，結果依然成立。當點E在CB的延長線上，其余條件不變時，結論會變成EF=DF-BE。筆者沒有簡單的就題講題，而是順勢向學生繼續提出：“如果將上述問題中外面的正方形變成特殊的三角形，其它條件不變，這個結論還成立嗎？”這個有點難度，但結合最近剛講的勾股定理，得到結論如下：

角含半角模型——90°含45°（等腰直角三角形）

圖5

當具備兩個條件①Rt△ABC；②∠DAE=45°時，通過旋轉構造直角三角形BD2+CE2=DE2。當點D在CB的延長線上時，結論BD2+CE2=DE2仍然成立。

通過以上幾何解題模型教學，筆者在相對較短的時間里引導學生了解并掌握了該模型的條件，解題思路，輔助線做法與常規結論，正面影響了學生的學習策略，由知識學習變成體驗學習，發現學習，學生像蜜蜂采蜜一樣，不斷釀制知識的花蜜。由此，學生的思維和問題解決能力得到了發展，課堂效率也得到了提高。

參考文獻：

[1]王磊.初中幾何題的解題思路分析[J].語數外學習（初中版

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