例談滲透在圓錐曲線中的平面向量

王寧寧

摘 要：平面向量既有大小又有方向，在平面幾何學中有舉足輕重的地位，可以連接不同的考查內容，利用平面向量，可以將幾何圖形轉化為代數分析，從而進行定量分析。解決圓錐曲線與平面向量交匯題的關鍵是設相關點的坐標，將平面向量用坐標表示，運用相應的平面向量坐標運算法則或運算律或數量積的意義，將問題中向量間的關系（相等、垂直、平行、和差、數量積等）轉化為代數關系從而解決問題。

關鍵詞：平面向量；圓錐曲線；橢圓；拋物線

平面向量具有“代數與幾何”的雙重身份，在數學王國中多處露面，活動頻繁，算得上一個善于處理問題的“外交家”，下面我們將要看到的是平面向量在圓錐曲線領域所發揮的作用，希望大家能夠從二者的親密接觸中了解熟悉平面向量的功能。

一、利用向量解決圓錐曲線的軌跡問題

例1已知=（x，0），=（1，y），向量與向量垂直.求點P（x，y）的軌跡C的方程.

點評：本題考查直線與拋物線的相交等知識，是一道綜合性試題，重點考查利用數學知識解決問題的能力，向量在這里作為工具起到了一定的作用，使得問題處理顯得非常的簡單利落，體現了向量處理問題的簡潔性.

三、利用向量解決圓錐曲線中的取值范圍問題

點評：本題考查圓錐曲線中的橢圓的有關性質等基礎知識，涉及到解三角形、三角函數等知識，我們巧妙的采用了向量的數量積的坐標運算來處理，體現了向量與曲線的關系，提示我們重視向量的工具性的應用.

四、利用向量解決圓錐曲線的離心率問題

點評：本題考查橢圓與直線等的有關知識，關鍵是依據試題條件尋求a、b、c的等式，求解此類問題的前提是正確理解解析幾何中平行、三點共線等的關系與平面向量中的共線向量有異曲同工的作用，轉化與劃歸數學思想蘊含其中.

五、利用向量解決圓錐曲線中的探索性問題

例5設 G、H分別為非等邊三角形ABC的重心與外心，A（0，2），B（0，-2）且（λ∈R）.

（1）求點C（x，y）的軌跡E的方程；

（2）過點（2，0）作直線L與曲線E交于點M、N兩點，設，是否存在這樣的直線L，使四邊形OMPN是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.

分析：試題中出現了平面幾何中三角形的重心、外心，解析幾何中的橢圓，平面向量中向量加法的平行四邊形法則等知識，首先通過G是重心及向量的共線（）寫出了相關點G與H的坐標，又已知H為外心，得到等式，從而得到動點C的軌跡方程.第二我們通過條件中的，知四邊形OMPN是平行四邊形，又已知四邊形OMPN是矩形，可得向量垂直關系，結合韋達定理，求得k的值.

解：（1）由已知得，又，∴，

∴直線l為：，故存在這樣的直線l能夠使得四邊形OMPN是矩形，且直線的方程為。

點評：本題考查平面幾何、解析幾何、平面向量等基礎知識，是一道綜合性、探索性的試題，要求比較高，必須具有多方面的知識及靈活應用這些知識的能力，向量在這里發揮了很重要的作用（向量的共線、向量的垂直等）。

參考文獻

[1]肖慧.平面向量與圓錐曲線的結合 [J].中學生百科（高中語數外），2010，7：26-27.

[2]李平珠.向量“搭臺” 曲線“唱戲”——向量與圓錐曲線綜合問題例談[J].甘肅聯合大學學報（自然科學版），2010，6：122-124.

（作者單位：山西省洪洞縣山焦中學）