初中數學二次函數解題方法與技巧

周浩然

摘 要：當今世界科學技術快速發展，新的問題也不斷出現，數學作為一門有效解決問題的工具學科，在多種領域發揮了它的優勢和作用。同時，為了深入研究數學對象，初中數學的知識難度越來越大，這給我們學生帶來了無形的壓力。數學的確很難，但它也有很多的規律和技巧可循，根據自己的學習經驗，筆者在文中探討了初中數學二次函數的解題方法與技巧。

關鍵詞：初中數學;二次函數;解題方法與技巧

二次函數是初中數學中的重要模塊，其基本內容與近現代數學的發展有密切的聯系，對學生學習高等數學知識也有很大的促進作用，因此，我們在學習過程中要對二次函數提起足夠的重視，從而攻克這道難關，以下是我解決二次函數問題的一些技巧。

一、求解二次函數表達式的技巧

初中數學考察二次函數時經常會讓學生求解二次函數y的表達式，首先，我們應該知道二次函數有哪些表示形式。常見的有一般式：y=ax^2+bx+c （a≠0），頂點式：y=a（x-h）^2+k （a≠0），其頂點為（h，k），對稱軸為x=h和交點式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標。求解二次函數表達式的常用方法是待定系數法，我們應該根據題目給出的條件，設出恰當的表達式形式。當給出了拋物線上的任意三點時，我們可以設置一般式;當給出了拋物線的頂點或者最值或者對稱軸時，我們設置頂點式;當給出了拋物線與x軸的兩個交點坐標或已知對稱軸與x軸的交點距離時，我們設置交點式。接著，根據所設的基本形式開始求解。最后，當我們求出表達式，要將已知點回代入表達式，從而驗證其正確性。比如，這道問題：已知二次函數的圖象經過點（0，-3），且頂點坐標為（1，-4），求它的解析式。題目已經明確給出了頂點坐標，因此設解析式為頂點式：y=a（x﹣1）^2-4，再將點（0，-3）代入，求出具體的待定系數a=1，所以解析式為y=（x﹣1）^2-4，化簡得到y=x^2-2x-3。

二、求解二次函數圖像與性質的技巧

二次函數的圖像與性質也是一個常見的考點，其圖象是一條拋物線，它的性質包括開口方向、對稱軸、頂點、最值等，需要注意的二次函數的頂點不一定是它的最值，我們應該考慮到自變量x的取值范圍，結合圖像，看看題目給出的x范圍能否包含頂點處的橫坐標。對于二次函數y=ax^2+bx+c ，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當a>0時，拋物線開口向上;當a<0時，拋物線開口向下，并且a的絕對值越大，圖像的開口就越小;常數項c決定拋物線與y軸交點，二者交于（0，c）;圖像的對稱軸為x=-b/2a，頂點為（-b/2a，（4ac-b^2）/4a），當自變量x的取值范圍為全體實數時，y在x=-b/2a處取得最大值或最小值（4ac-b^2）/4a。二次函數的頂點式和交點式經過適當的變形可以得到一般式，所以我們只要熟練掌握一般式的性質即可，當然如果知道了頂點式，就可以直接寫出頂點，要根據實際情況處理問題。比如這道題，求函數y=x^2-2x+3的圖象的頂點坐標。我們有兩種兩種解題思路：一，直接用二次函數頂點坐標公式求解。二，將二次函數解析式由一般形式轉換為頂點式從而得到答案。y=x^2-2x+3=（x-1）^2+2，所以頂點坐標為（1，2）。總之，對于求解二次函數性質的習題，我們要結合函數圖像，充分理解并且掌握二次函數的基本性質，達到熟記于心的程度，這樣才可以迅速準確地解決問題。

三、求解二次函數應用題的技巧

在二次函數的考察中也有很多應用題，題目通常以生活中常見的事例為背景，以此鍛煉學生運用數學知識解決實際生活問題的能力，達到學以致用。在解決這些問題時，我們要注意，考慮x和y的實際含義，不能有違生活常識。例如這道題：某商店銷售一種商品，每件的進價為2.50元，銷售量與銷售單價滿足如下關系：單價是13.50元時，銷售量為500件，而單價每降低1元，就可以多售出200。問銷售單價多少時，可以獲利最大。通過分析，我們可以設每件商品降價x元，總利潤為y。商品的售價就是（13.5-x），單個商品的利潤是（13.5-x-2.5），此時商品的銷量為（500+200x），根據總利潤=單個商品利潤*銷售量，我們得到y=（13.5-x-2.5）*（500+200x）=-200x^2+1700x+5500，然后求出其頂點坐標為（4.25，9112.5），因此，當每件商品降價為4.25元，即售價為9.25元時，可取得最大利潤9112.5元。縱觀二次函數的應用題，大部分都是以函數最值為考點，只要我們設出合適的未知量，并正確找到數量關系，就可以妥善地解決問題。

二次函數的相關考題靈活多變，它有時會與圖形、不等式、方程、絕對值等結合，讓我們覺得無從下手，但是只要我們認真鉆研，掌握一些相關的解題規律和解題技巧，就可以成功解決，并且在解題過程中鍛煉我們的數學思想和數學思維。

參考文獻：

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