基于信息熵的多電飛機供電可靠度評估

祁玄玄，楊興業，熊 鑫，牟成銘，曹建安

(1.西安交通大學電氣工程學院，陜西西安 710049；2.航空工業成都飛機工業(集團)有限公司，四川 成都 610031)

多電飛機技術改變傳統液壓、機械式的動力系統， 將飛機電能的產生、分配和使用集成到一個統一電力系統中，實現多電飛機電能發、輸、變、配的統一規劃。由于多電飛機成品部件數量和種類的增加，多電飛機供電可靠度評估成為一個關鍵問題。如何構建適用于多電飛機可靠度評估的數學模型對其故障預測以及可靠運行具有重要意義。

文獻［1］和文獻［2］介紹了多電飛機電源系統可靠度分析模型，并且從各個方面說明計算多電飛機供電可靠度的重要性。采用故障樹［3-6］對飛機供電系統可靠度進行分析是一種傳統分析方式，該方法是從理論上給出了飛機可靠度分析結果。但是隨著飛機供電系統元件數目的增加，故障樹方法的分析復雜性較大，并且很難對整個供電系統做可靠度評估。后來引入鄰接矩陣算法［7-9］求故障樹的最小割集，以改善故障樹提取割集的效率，該算法具有較強的通用性，在一定程度上彌補了故障樹的不足。但飛機供電系統元件數目的增加使得該算法的分析過程復雜，計算時間較長。由于計算機計算能力的提升，概率分析方法-蒙特卡洛法［10-12］逐漸應用在對復雜系統的可靠度評估中，該方法應用靈活、實現簡單。由于系統元件較多，且故障率較低，如果直接使用傳統蒙特卡洛法對整個多電飛機供電系統做可靠度評估，就需要大量抽樣，這將大大降低該算法的效率。

針對以上問題，通過信息熵［13］引入多元件系統的近似概率分布，該近似概率分布可使可靠度評估方差近似為零，從而改善了抽樣效率。最后通過一個用例驗證了本文的方法在多電飛機供電系統可靠度評估中的優越性。

1 多電飛機可靠度解析模型

圖1為某多電飛機供電系統簡圖，該多電系統由低壓直流電和三相恒頻交流電系統組成［14］。從圖1中可以看出，保護器和發電機以及接觸器構成發電機發電系統。交流發電機系統與直流系統為互為熱備用的并聯系統，應急交流發電機作為冷備用系統的模型。所謂的冷備用意味著當系統的某個供電部件發生故障時，備用供電部件需立即被更換上，并且備用供電部件在備用期間不會發生故障或劣化。雖然單供電模式，比如串聯、并聯或冷備用等可靠性模型都能夠實現系統的供電性能要求，但在元器件老化、失效等約束條件下，系統高可靠性的要求有時無法被滿足。因此為實現多電飛機的高可靠性要求，多電飛機電源系統往往由典型的供電拓撲結構，如串聯、并聯、冷備用等組合而成。

圖1 多電飛機供電系統簡圖

元件的故障概率密度函數為fi(t)，i代表元件個數。為得出元件的故障概率需要對元件的概率密度函數積分，故障概率和“1”作差求出元件t時刻的可靠度Ri(t)。

串聯系統可靠度準則是各個串聯元件可靠度累積為整個串聯系統可靠度，所以得到每個串聯子系統的可靠度函數表達式如下。

式中，Rsn(t)為串聯子系統t時刻的可靠度；m為串聯子系統元件個數；n為串聯子系統個數。

并聯系統可靠度準則是并聯系統故障概率是n個并聯子系統故障概率累積。通過累積先求得系統故障概率，然后與“1”作差得到整個系統的可靠度模型。

式中，R(t)為t時刻并聯系統可靠度；n為并聯系統元件個數。通過上述推導可以得出本文簡化飛機供電系統模型的系統可靠度解析表達式。由于各個元件的概率分布不同，式(2)積分后再累積，所以其復雜性很高。為進一步推出系統可靠度，式(3)的復雜性更加高。式(3)適用于本文飛機供電系統簡化模型。當系統元件數量增加，系統結構也并非簡單的串并聯，那么將很難求出如式(3)那樣的解析式。因此將回避解析法計算系統可靠度。采用蒙特卡洛對當前短時間范圍的飛機系統故障情況抽樣。同時引入信息熵的方法對樣本抽樣概率密度函數進行優化，該概率密度函數可以有效地解決傳統蒙特卡羅方法仿真效率低的問題。為建模方便，本文簡化了過程，假設系統中每個組件的狀態模型是雙態模型。

2 多電飛機可靠度估計模型

2.1 蒙特卡洛模型

基于非序貫蒙特卡洛模擬法飛機供電系統可靠度評估過程如下。

(1)隨機抽樣決定元件狀態。

根據式(4)得出系統元件狀態。

式中，Xin代表第n個元件的第i次抽樣狀態，“1”代表故障，“0”代表非故障；ξni代表第n個元件的第i次隨機抽樣數；un代表第n個元件的故障概率。

(2)分析系統狀態。

采樣得出系統組件的狀態并分析系統是否可以正常供電。故障為“0”，運行為“1”。失負荷評估函數為F(X)。

(3)更新系統的可靠度。

根據式(5)得出當前抽樣次數下系統可靠度估計值E^(F)。

式中，N為樣本總數；F(Xi)為第i次抽樣系統評估狀態。

(4)判斷是否跳出迭代。

式中，V(E^(F))代表可靠度估計值方差。根據計算方差系數β的值，判斷其是否小于設定的閾值，當值小于閾值跳出循環，否則繼續執行進行抽樣。

2.2 信息熵模型

由于飛機供電系統可靠度較高，在進行蒙特卡洛抽樣時很難抽樣得到系統故障元件，這樣計算得出的系統可靠度基本為1。這顯然不是本文需要的。為了提高采樣效率，改善原本系統的概率的分布f(x，u)為最優概率分布g(x)，使得方差系數理論上可以為零。但是g(x)往往很難求解。為此，引入信息熵熵方法近似求解，信息熵一般用來衡量目標分布與預測值分布之間的差距。利用信息熵構造了接近g(x)分布的概率分布。

飛機供電系統的可靠度評估表達式如下：

式中，f(x，u)為系統元件狀態的概率密度函數；I為失負荷標志函數；s(x)為系統在狀態x時系統供電量；r為負荷量；N為抽樣次數；Xi為第i次抽樣系統狀態；l為可靠度估計值。為了提高抽樣效率需要對式(7)進行變形。變形后的概率密度可以使可靠度方差系數為零。變形如下：

式中，L(x)為系統元件原概率密度函數和改進后概率密度函數比值，常被稱為似然比；g(x)是任意的概率密度函數。式(8)的蒙特卡洛估計值為：

式中，Xi為在概率密度函數g(x)下某次抽樣得到的系統狀態。

當g(x)=gopt(x)時，l的系統可靠度估計方差為零。gopt(x)的表達式為

可以看出原來的概率密度函數除以l后的概率密度函數可使可靠度估計方差為零。因此蒙特卡洛抽樣時，就可以在gopt(x)概率密度函數下，隨機抽樣得出N個樣本。但是從式(10)可以看出gopt(x)和l相關，可l卻是待求量可靠度，所以直接使用gopt(x)概率密度函數是不現實的。

本文引入概率密度函數f(x，v)作為gopt(x)的近似概率密度函數。為了衡量f(x，v)和gopt(x)的接近程度，利用信息熵來衡量目標分布與近似概率分布之間的距離D。如式(11)所示。

最小化f(x，v)和gopt(x)的接近程度就是求D的最小值，也就是求 －∫gopt(x)ln(f(x，v))dx的最小值。最后等價于式(12)的最大值問題。

將式(10)中的gopt(x)代入式(11)得到式(13)。

由于l對于已知系統是常數。所以式(13)的等效估計值為

式中，Eu為概率密度函數f(x，u)抽樣求均值。上面的推導都是在概率密度函數的基礎上。由于本文變量為離散量，所以需要把概率密度函數轉換為概率分布函數。比如 f(x，u)轉換成 F(x，u)，f(x，v)轉換成 F(x，v)，積分變成求和。

X是通過概率分布函數F(x，u)抽樣得出的系統抽樣樣本。由于根據F(x，u)采樣產生的有效樣本較少，因此利用重要抽樣法代替F(x，u)為F(x，w)。所以式(14)變形為式(15)。

式中，Ew為概率密度函數f(x，w)抽樣求均值。其中W(X；u，w)=F(x，u)/F(x，w)。通過式(15)的極大值求解就可以得出系統的最優概率分布函數F(x，v)。可以看出式(15)的最大值求解是個多變量極大值優化過程。引入差分進化來迭代求解得出F(x，v)。然后在新的概率分布函數下抽樣得出樣本，根據式(4)求解出系統可靠度指標。

為了進一步提高采樣效率，通過對偶變數法(對偶抽樣)一次采樣產生彼此負相關的隨機數。利用相關點間負關聯的這個特點快速減小估計值的方差。

3 仿真與驗證

3.1 實例化系統估計模型

根據文獻［15］中相關數據，給出兩個系統模型下供電系統各個元件的分布類型和參數。如表1所示為主要元件的失效分布參數。

表1 主要元件失效分布參數

本文中測試函數IS(X)＜r代表系統故障情況，S(X)＜r時為0，代表故障，S(X)＞r時為1，代表運行。S(X)代表多電飛機系統的總發電量，r代表多電飛機總負荷。系統元件數目為n。規定Xk代表系統狀態空間向量 X 中的第 k次取值，X=［x1，x2，…，xn］。系統元件為雙態模型，ui代表元件i的故障概率。ui的具體數值由元件的失效概率密度函數積分得到。根據以上假設得出系統狀態概率分布函數F(x，u)。

由于S(X)＜r是小概率事件，因此本文先設法改變概率分布函數F(x，u)為F(x，v)。在改進后概率分布函數F(x，v)下系統可靠度估計如式(17)所示。

式中，W(X，u，v)是修正系數。具體形式如下：

狀態空間概率的變化由參數向量v=［v1，v2，…，vn］決定，現在的問題即尋找最優的v以求取F(x，v)。由于差分進化具有結構簡單，性能優越，且算法存在可協同搜索的特點。采用差分進化算法求解最優v，能夠達到快速優化目標參數v的目的。

3.2 實現流程

①參數初始化。

初始化參數向量v，優化過程樣本規模N，系統元件故障率ui，故障率縮放因子k，差分進化迭代次數Ns。對偶變數法下抽樣樣本規模Nd，方差收斂系數β。

②確定優化目標函數。

根據系統元件故障率ui，故障率縮放因子k，隨機抽樣N個抽樣樣本。根據式(15)確定優化目標函數。

③變異。

種群中第i個體變異。通過差分策略實現個體變異。

④交叉。

交叉操作的目的是隨機選擇個體并確定是否接受上一步驟的結果。

⑤篩選。

采用貪婪選擇策略，即根據目標函數值進行優勝劣汰的進化。

⑥條件判斷。

判斷差分進化迭代次數是否達到Ns。如果達到進入下一步，此時系統概率分布函數為F(x，v)，否則跳轉回步驟③。

⑦對偶變數法抽樣。

在區間［0，1］內產生n個樣本數組，同時用1減去該數組得到其對偶數組。通過式(4)得到本次抽樣系統元件狀態。

⑧計算可靠度指標。

根據式(15)計算可靠度指標。

⑨條件判斷。

判斷方差系數是否滿足收斂條件。如果滿足跳出循環，輸出相關信息和圖形，否則跳轉至步驟⑦。

3.3 仿真結果分析

圖2為系統元件的參數利用解析法得到各個元件可靠度分布曲線。可看出系統元件可靠度大體上在運行3000 h就會變得十分不可靠。

圖2 可靠度分布曲線

為驗證本文算法的優越性，使用傳統的蒙特卡洛法、解析法和基于信息熵的可靠度評估法仿真計算A和B系統。

為驗證本文算法的收斂特性，仿真了蒙特卡洛法和基于信息熵的可靠度評估法的方差系數收斂特性。此階段仿真的是在1000 h時刻的系統可靠度。同時為了保證計算結果的準確性，對A系統進行了3次可靠度評估。然后取3次結算結果的平均值作為最終結果。如圖3所示是采用Matlab仿真后方差系數收斂圖。

圖3 方差系數收斂圖

從圖3方差系數收斂圖可以看出，基于信息熵的可靠度評估法在評估飛機供電系統可靠度時具有非常好的收斂特性。本文方法在仿真次數為10000次的時候就可以達到很好的收斂穩定性，而傳統的抽樣法需要在30000次的時候才可以達到很好的收斂穩定性。相比較而言本文算法在收斂性上提高了2倍。

為驗證本文算法的準確性，本文分析解析法和基于信息熵的可靠度評估法可靠度隨時間變化特性。

圖4所示為電源系統可靠度隨時間變化的分布曲線。紅色線代表本文方法，藍色線代表傳統解析法。圖4可以看出對于A電源系統和B電源系統本文方法相比較傳統方法計算結果十分接近，從而驗證了本文算法的準確性。

圖4 電源系統可靠度

從上面分析可以得出對于電源系統的可靠度分析，采用基于信息熵的可靠度評估法所得可靠度估計模型的分析結果與直接采用蒙特卡羅仿真所得的可靠度分析結果相比收斂性較好，與傳統解析法所得的可靠度分析結果相比計算結果準確性較為接近，計算模型的復雜性較小。因此，該模型可以滿足航空電源系統可靠度估計的要求。

4 結束語

本文使用基于信息熵的可靠度評估法評估復雜系統可靠度；采用信息熵引入其概率密度分布，從而使得可靠度方差在理論上為零；然后采用差分進化求取近似概率函數；最后在近似的概率分布下，結合對偶變數法，對整個系統抽樣做可靠度評估。文章最后采用一個算例，分別使用解析法、蒙特卡洛法、基于信息熵的可靠度評估法做可靠度評估。從收斂性上分析，本文方法與直接蒙特卡羅仿真所得的可靠度分析結果相比，收斂性提高2倍有余。從計算準確性上分析，本文方法與傳統解析法所得的可靠度分析結果相比，計算結果準確性較為接近。所以綜合分析本文方法非常適用于多電飛機電源系統可靠度評估。