區域的參數方程與區域圖像

周方敏

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶 526061）

1概論

一般說來,曲線C:f(x,y)=0將平面分成3個不交的部分,分別是{(x,y)|f(x,y)＞0},{(x,y)|f(x,y)=0}和{(x,y)|f(x,y)＜0}.由不等式組

已知函數表達式求作函數圖像,這一知識點在各類數學教材中都有充分介紹,學生也得到了充分訓練；但是對于已知“區域表達式”(區域的參數方程)求作區域圖像,和從區域圖像寫出區域的參數方程,各類數學書籍幾乎沒有涉及,包括國內流行的微積分教材[1]和國際著名的微積分教材[2-5].尤其是極坐標系下重積分的計算,大部分教材只注重講述數學原理部分,但對于基本計算方法(主要是極坐標系下區域圖像與區域方程之間的轉換)缺乏具體介紹.而區域的參數方程與區域圖像之間的過渡正是重積分計算的關鍵之處,各類數學書籍對此知識點的疏漏是導致重積分難學的一個重要原因[6-7].

筆者根據多年的教學經驗,對此知識點作一歸納總結,旨在輔助二重積分計算的教學,對于一般的區域及其參數方程不做系統深入的研究.本文只討論邊界為封閉的簡單凸曲線的單連通區域,其他類型復雜的區域可以分割成這種最簡單的區域.對于重積分(不包括反常積分)的計算而言,積分區域是否包含邊界并不重要,因此,除非特別指出,對于平面點集D，本文將所有包含D的內部且含于D的閉包的點集看作是相同的.

確定的平面區域D可以分解為由單個不等式所確定的平面區域的交，所以根據不等式組(1)作出D的圖像并不困難.

另一方面,根據平面區域的圖像求其參數方程(區域參數化),學生比較難以掌握,各類數學書籍也疏于介紹.本文介紹一種易于掌握的“可視化”方法,原理是利用“平行于”坐標軸的曲線網分割區域.簡而言之,先取一“平行于”坐標軸的動曲線(直角坐標系下是直線,極坐標系下是圓或射線),保持該曲線與區域相交并將該曲線沿坐標軸方向“平移”,考察在平移過程中動曲線的2個臨界位置(得到一對邊界)和含于區域內部的曲線段端點的軌跡(另外一對邊界),將4個邊界的方程求出可得區域的參數方程.在每個坐標系下,動曲線都有2種取法,所以每個平面區域都有2個參數方程,分別對應2種不同的積分次序.

以上方法同樣適用于將三維空間區域參數化.三維空間有3種坐標系,但區域參數化的方法相同.步驟是：首先取一個“平行于”坐標面的曲面,保持與區域相交并讓它沿坐標面方向“平移”,得到的2個臨界位置即區域的一對邊界,該動曲面截區域所得的平面區域可用上面的方法再參數化,綜合起來可得空間區域的參數方程.

可見,本文提供的方法可以統一處理所有情況下區域的參數化問題,而現行微積分教材對此問題的處理方法講述得都很隱晦.

2 直角坐標系下平面區域的圖像與參數方程

例2在平面上作出點集D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤x2}的圖像.

圖1 例2的圖像

分析這是比較典型的積分區域.點集表達式中有4個不等式,分別對應區域的4個邊界.作圖步驟如下：

1)先作出曲線x=0,x=2,y=0,y=x2的圖像；2)分別確定 0≤x,x≤2,0≤y,y≤x2所表示的4個區域；3)取4個區域的交集即為所求的圖像,見圖1.

實際問題中出現的區域一般都告知由若干條曲線圍成,這時需要寫出區域的參數方程,只有參數方程才可用于計算二重積分.平面區域都有4個邊界；都有2個參數方程（分別看作X型區域和Y型區域）.

例3[8]142如圖2,設區域D由拋物線y2=x和y=x-2圍成,求D的參數方程.

圖2 例3的圖像

分析區域D可以寫成{(x,y)|y2≤x≤y+2},但這不是區域的參數

例1 直線y=ax+b將平面分成3個部分,這3個部分的方程分別是y=ax+b,y＞ax+b和y＜ax+b.類似地,拋物線y=ax2+bx+c和圓x2+y2=1也將平面分成3個部分,只需要將方程中的等號換成大于號和小于號即可得到另外2個部分的方程.

這一知識點在中學其實已有介紹,但是沒有繼續深入介紹下去.方程,無法用于二重積分的計算.這里介紹一個易于掌握的“可視化”的方法.首先作出函數y2=x和y=x-2的圖像,將圍成的區域用陰影標記,注意2條曲線的交點為(1,-1)和(4,2).

方法1將其看作X型區域：

1)作1條水平直線,上下移動此直線并保持與區域相交；

2)該直線能達到的最高位置即區域的上邊界：y=2；

3)該直線能達到的最低位置即區域的上邊界：y=-1；

4)含于區域內部的線段的左端點的軌跡為區域的左邊界：x=y2；5)含于區域內部的線段的右端點的軌跡為區域的右邊界：x=y+2.由此得區域的參數方程為

方法2將其看作Y型區域：

1)作1條豎直直線,左右移動此直線并保持與區域相交；

2)該直線能達到的最左位置即區域的左邊界：x=0；

3)該直線能達到的最右位置即區域的右邊界：x=4；

4)含于區域內部的線段的上端點的軌跡為區域的上邊界：y=x1/2；

由此得區域的參數方程為

交換積分次序是計算重積分的一個重要技巧,利用區域的2個不同的參數方程可以交換積分次序.

例4交換積分次序這是將D看作X型區域得到的方程,我們只需將D看作Y型區域并將區域表達式寫出即可.過程為利用例2的方法將D的圖像作出，再根據例3的方法將D的另一參數方程寫出(具體方程見例3),所以

解由積分表達式可知積分區域的方程為

3 極坐標系下平面區域的參數化

極坐標下平面區域的圖像與參數方程的互化與平面區域的情況類似.相應的動曲線可以取為端點為原點的射線,其運動為以原點為中心轉動；或者取為以原點為圓心的圓,其運動取為半徑的增大.這里默認的極坐標系以原點為極點,以x軸正半軸為極軸.

例5求區域在極坐標系下的參數方程；

方法11)過原點作1條射線,以原點為中心轉動此直線并保持與區域相交.

2)該直線能達到的“最小角度”是區域的1個邊界：θ=-π/2；

3)該直線能達到的“最大角度”是區域的1個邊界：θ=π/2；

4)含于區域內部的線段的1個端點的軌跡是區域的1個邊界：r=0；

5)含于區域內部的線段的另外1個端點的軌跡是區域的1個邊界：r=2cosθ.由此得區域的參數方程為

方法2 1)以原點的圓心作1個圓,保持與區域相交，將圓的半徑逐漸增大；

2)該圓半徑能取的最小值是區域的1個邊界：r=0；

3)該圓半徑能取的最小值是區域的1個邊界：r=2；

4)含于區域內部的圓弧的1個端點的軌跡是區域的1個邊界：θ=arccos(r/2)；

5)含于區域內部的圓弧的1個端點的軌跡是區域的1個邊界：θ=-arccos(r/2).由此得區域的參數方程為

對于方法2,常見的教材均未作介紹,一則因為此方法常涉及反三角函數,不便于計算；二則因為不必要,因為如果將方法1中的結果視為直角坐標系下的結果,使用直角坐標系下的方法可以得到方法2所得的結果(即交換積分次序).這里為完整起見,仍將其列出.

4 空間區域的參數化

空間區域的參數方程的求法與平面區域的情況也類似,只是更復雜一點.每個空間區域都有3組邊界,因此有3!=6種不同的參數方程.空間有直角坐標系、柱面坐標系和球面坐標系3種坐標系.本文的方法對這3種坐標系均適用.對于球面坐標系,采取在直角坐標系下建立極坐標系的方法,即直角坐標系下點(x,y,z)與相應的極坐標系下的點(r,θ,φ)滿足關系

例6[8]159設空間區域Ω由3個坐標面及平面x+2y+z=1圍成,求Ω的參數方程.

解 1)作1個水平平面,將其上下移動并保持與區域相交；

2)該平面能達到的最高位置即區域的上邊界：z=1；

3)該平面能達到的最低位置即區域的下邊界：z=0；

4)該平面截區域Ω所得的(含參量的)平面區域為Dz={(x,y)|x+2y＜1-z,x＞0,y＞0}(確切地說是所截區域在xoy面上的投影).利用例3的方法可得Dz的參數方程為Dz={(x,y)|0≤x≤1-z,0≤y≤1-2y-z}.綜上得區域的參數方程為

4)該平面截區域Ω所得的(含參量的)平面區域為(確切地說是所截區域在xoy面上的投影).利用例5的方法可得Dz在極坐標下的參數方程為

綜上得區域的參數方程為

例7[8]161設空間區域Ω由曲面z=x2+y2與平面z=4圍成,求Ω在柱面坐標系下的參數方程.

解 1)作一水平平面,將其上下移動并保持與區域相交；

2)該平面能達到的最高位置即區域的上邊界：z=4；

3)該平面能達到的最低位置即區域的下邊界：z=0；

例8求空間區域Ω={(x,y,z)|(x-1)2+y2+z2≤1}在球面坐標系下的參數方程.

解 1)作經過z軸的半平面,將其繞z軸轉動并保持與區域相交；

2)該半平面能達到的“最小角度”是區域的1個邊界：θ=0；

3)該半平面能達到的“最大角度”是區域的1個邊界：θ=π；

4)該半平面截區域Ω所得的(含參量的)平面區域為Dθ={(r,φ)|r≤2sinφcosθ},利用例5的方法可得Dθ的參數方程為Dθ={(r,φ)|-π/2≤φ≤π/2,0≤r≤2sinφcosθ}.

綜上得區域的參數方程為Ω={(r,θ,φ)|0≤θ≤π,-π/2≤φ≤π/2,0≤r≤2sinφcosθ}.