基于釘板的皮克定理探究教學

沈曉夢 葉德華 湯苗苗 方瑜 楊建輝

摘 要：探究教學的目的不僅僅是學生對于某一知識點的學習，其主要目的是學生掌握探究未知領域的方法。自主探究教學要求學生自主發現問題、提出猜想、設計實驗方案、實驗驗證、匯報交流。探究中，學生真真切切地經歷探究活動的全過程，積累數學活動經驗，培養學生善于發現問題、分析問題、解決問題的能力。

關鍵詞：探究教學; 皮克定理; 動手操作

中圖分類號：G623.5 ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1006-3315（2019）03-082-002

一、前言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出，教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。有效的數學教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。學生學習應當是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程。[1]

自新課程改革以來，小學數學教學積極倡導自主、合作、探究的學習方式，然而從現實狀況來看，課堂教學中雖然是學生合作探究，但是在合作探究中仍然以老師為主，即教師設計好探究活動，學生按照設計的要求、方法和過程進行動手操作。

《釘子板上的多邊形》是蘇教版五年級上冊P108-109探索規律“釘子板上的多邊形”的教學內容。本節課的教學目標是使學生自主探索、發現釘子板上所圍成多邊形的面積、邊上釘子數與內部釘子數之間的數學關系，并嘗試用字母等式表示關系;使學生經歷探索數學關系的過程，體會用字母表示數學關系的簡潔性，發展觀察、類比、猜想、驗證和歸納總結等等思維能力;使學生獲得成功探索規律的體驗，樹立學習數學的自信心，感受數學規律的奇妙，增強學習數學的積極性。

二、思考

基于以上認識，對于該堂課的探究教學有以下幾點思考：

（一）學生在動手操作中自主發現問題

小學生抽象思維的發展正處于啟蒙階段，主要以形象思維為主，所以小學的探究式教學更加注重操作性。小學生對于數學規律、數學性質的認識，基本是通過直觀模型及一系列動手操作過程來完成的。動手操作，讓學生通過實際操作獲得親身體驗，積累直接經驗，強化學生在數學學習過程中的主體地位，發揮學生的積極性、主動性和創造性，從而自主地投入活動。除此之外，教學過程中提出問題是至關重要的一步。學生自己發現和提出問題是創新的基礎，創新意識的培養應該從小做起。考察我國教育與西方發達國家的教育，大多數人認為一個重要的區別在于我國的教育重在教育學生“如何解決問題”，而忽視了教育學生“如何發現問題”。在《釘子板上的多邊形》這堂課中，釘子板上多邊形的面積和點之間可能存在聯系這一問題需要教師循循善誘，引導學生發現。而不是直接給出問題，既限制了學生的思維，也給學生留下了為什么面積會與點數有關的疑問。

因此，《釘子板上的多邊形》這節活動探究課我建議教師借助教學具釘子板來進行。

首先，每位同學在自己的釘子板上用皮筋圍出不同的圖形。接著，小組內進行討論對比，比較圖形間的差異。在四下《平移》的基礎上，學生很容易地能夠說出圖形的形狀與大小均不同。此處，需要教師進行適當的引導：大小在數學中應該用什么來表示;我們已經學過哪些方法來求出這些圖形的大小;什么方法最簡單;展示一個較復雜的圖形，提問有沒有更簡單的方法。從而引出本節課的探究主題，引導學生自我思考，如果有更簡單的計算方法，那么大小會與圖形的什么有關呢？是周長還是點的個數或者其他因素？教師啟發、鼓勵學生發現問題后，要進行語言組織、提煉數學問題，根據研究價值、難度、復雜度，即是否適合現階段學生研究，來引導學生進行問題的篩選。

（二）學生在對比中自主提出數學猜想

猜想教學能夠引導學生在現有數學基礎上積極探索，主動思考。通過數學猜想不但豐富了學生的數學理論，同時還能夠解決數學理論自身矛盾與疑難問題。[2]在確定本節課的探究問題是釘子板上所圍圖形的面積與點的關系后，教師鼓勵學生自主嘗試，提出猜想。

釘子板上的圖形千千萬萬，學生很容易想到應該先從簡單情形（矩形、直角三角形等）入手。先畫出一系列圖形，對面積進行計數，對點數進行記錄，并嘗試從簡單圖形中找出規律。通過畫圖、分析數據，學生在類比歸納中尋找規律，自主提出猜想。其中，學生在對點進行計數時，可能會忽略點的類型有兩種。因此，區分圖形中點的類型是該探究活動的一大難點，教師可在學生匯報猜想時，進行適當的引導。

（三）學生在合作中設計實驗開展探究

從自主探究要求看，學生自主設計實驗是數學實驗教學應倡導的核心理念，是引導學生探究學習的關鍵環節，是教學活動由“教”向“學”轉變的重要手段。[3]另外，探究式教學鼓勵在獨立思考的基礎上，以小組或團隊的形式，通過與他人的交流、討論，不斷接受新知識、新思路，發現更多、更優化的解決問題的途徑，從而提高自身知識和能力。[4]探究式教學注重學生自主學習能力的培養，弱化了教師在教學過程中的主導作用。

學生在探究過程中根據所提猜想，共同設計實驗計劃，包括實驗步驟、所需測量數據和數據處理方式等。以合作協同的方式解決問題，既提高了學生的創新能力，又培養了學生的合作參與意識。本探究活動還可以鍛煉小學生的組織分工能力，包括畫圖者、數數者、記錄者，最后共同進行驗證。考慮到小學生的活潑好動，合作探究過程的課堂秩序需要教師不斷維護。

（四）歸納總結，呈現探究結果

分析總結是對實驗過程中所測出的數據進行全面分析，并從數據中發現數學規律，從而找到探究數學規律的基本思路。[3]學生對實驗數據進行獨立的分析總結，有利于提高數學素養，提升數學探究能力，培養數學歸納能力。

學生通過數數、計算、小組合作的方式探索發現多邊形的面積與釘子數之間的關系，驗證多邊形內釘子數是1枚、2枚、3枚……的情況，最后得出一般結論。在歸納總結的過程中，老師需要引導學生嘗試著用字母、等式表示數學關系，數學問題回歸于數學公式，使學生體會用字母表示數學關系的簡潔性。

（五）小組匯報交流

小組匯報不僅僅是結論的匯報，還有實驗步驟、試驗方法、組員工作安排的匯報。在不同組的匯報與對比中，碰撞出學生思維的火花，總結該探究活動最好的實驗設計，比如該實驗數據記錄與呈現較好的方式是列表法，較好的實驗操作步驟利用的是變量控制法。與此同時，匯報交流中如果發現了問題，那么學生又將回到提出猜想的過程，進行新一輪的研究，使學生經歷科學研究的過程，體會到科學探究循環往復、螺旋式上升的特點。

（六）學生在應用中體會數學價值

一方面，這個公式非常好用，尤其是在格子圖上畫的是非常不規則的多邊形的時候。通過對復雜的趣味多邊形（如圖2）進行分割求面積與應用皮克定理求面積，學生可以在實例對比中感受到數學規律的奇妙，體會到數學學習的價值之大，從而增強學習數學的積極性。另一方面，學生能夠認識到現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題均可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。

三、總結

綜上，整節課不是老師講授知識，而是學生自主學習，合作探索規律。學生真真切切地經歷了發現問題、提出猜想、實驗驗證、歸納總結的全過程，積累了數學活動經驗，培養了學生善于發現問題、分析問題、解決問題的能力。本節探究教學的目的并不僅僅是學生對于皮克公式這一知識點的學習，主要目的是使學生掌握探究未知領域的方法。而探究教學中最重中之重的是教師要熬住不透露結論，做一個引導者。同時，在探究活動中允許、鼓勵甚至表揚學生犯錯，科學研究本就是在犯錯中汲取營養，反復循環的過程。在這個過程中學生得以經歷充分的實踐操作、激烈的交流討論，積累感性認識，碰撞出思維的火花。

本文系2017年浙江省大學生科技創新項目：小學數學教學具研制（2017R429011）的研究成果。

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）[S]北京：北京師范大學出版社出版，2012：3.3.

[2]董巧麗.猜想教學在小學數學教學的實踐探究[J]教育現代化，2018，5（20）：313-315

[3]楊娟.從“教動手”到“學探究”——小學數學實驗教學的價值追求及實施策略[J]江蘇教育研究，2018（Z1）：99-102

[4]張胤，胡菲菲.回歸實踐、回歸問題、回歸主體——論探究式教學的本質、特征及實施模式[J]江蘇高教，2013（04）：67-70