APOS理論視域下“用字母表示數”教學設計

王群

APOS理論是一種建構主義個體學習理論，有學者認為，學生學習數學概念要進行心理建構，此建構過程需經歷操作或活動（Action）—過程（Process）—對象（Object）—圖式（Schema）等四個階段。以“用字母表示數”一課為例，經歷操作或活動階段，從游戲情境出發，引導學生關注“用字母表示數”的現實模型，經歷提問、操作、計算等活動，從而初步感知概念的本質屬性，建立概念表象;過程階段，運用分析、比較、綜合等方法，幫助學生逐步抽象出概念本質;對象階段，通過簡寫字母式，將概念逐步壓縮為一種心理程序，從而進行符號間的高階運算;圖式階段，引導學生思考概念間的內在聯系，建立必要的模型，將概念內化。

【教學內容】蘇教版五上“用字母表示數”例1～例3。

【教學目標】

1. 初步理解用字母可以表示數，會用含有字母的式子表示簡單的數量、數量關系和計算公式，初步學會計算含有字母式子的值，了解字母式子的乘法簡便寫法。

2. 完整地經歷用含有字母的式子表示簡單的數量、數量關系和計算公式的抽象過程，進一步體會數學的抽象性與概括性，發展符號意識，培養初步的代數思維。

3. 體會數學表達的簡潔之美，培養主動思考、回顧、反思的學習習慣。

【教學重點】會用字母表示數和簡單的數量關系。

【教學難點】理解字母式表示運算結果和數量關系的雙重性。

【教學過程】

一、游戲導入，引入新課

師：同學們用撲克牌玩過24點游戲嗎？看誰最先算出24點。（課件出示撲克牌5、2、3、A）

師：奇怪，沒有看見1呀？（這里的字母A就表示1）

小結：在撲克牌中，人們用特定的字母表示數。算24點時，A就表示1，字母A在這里表示一個確定的數。（板書：表示確定的數）撲克牌里還有哪些字母也表示確定的數呢？

師：其實，不僅生活中有用字母表示數，研究數學更需要用字母表示數。（板書揭題：用字母表示數）你想到什么問題了嗎？帶著這些問題，我們一起走進今天的學習。

設計意圖：數學概念的形成最初要經歷從直觀到抽象的活動過程。這正是操作或活動階段的要義。在該階段中，操作活動將使學生受到外部刺激。外部刺激主要分為情境和操作方式這兩個方面。情境包含生活情境、數學情境等;操作方式不僅包括外在的操作活動，還包括內在的思維活動，如回憶、猜想、判斷、計算等。

在本環節中，教師先組織學生計算24點，極大地激發了他們的學習興趣，將生活經驗與數學知識建立鏈接。待教師揭示課題后，進一步引導學生提問，將他們的真實問題與教學目標進行銜接，使新知學習成為學生的內在需要，從而實現深度學習。

二、自主探究，初步感知

1. 拼擺三角形，為探索用字母表示“變化的數”作鋪墊。

師：讓我們的研究從用小棒擺三角形開始吧，擺一個三角形需要幾根小棒？

師：擺兩個三角形呢？你能用算式表示擺小棒的根數嗎？

師：擺三個三角形呢？小棒的根數會用算式表示嗎？擺四個呢？（課件逐步出現三角形，并依次板書：1個，3根;2個，2×3根;3個，3×3根;4個，4×3根）

設計意圖：在活動階段，個體對接收到的外部刺激進行逐步內化抽象。課件依次呈現三角形的個數，引導學生多次經歷觀察、思考、計算等直觀操作活動。在活動中體會三角形形狀不變是源于小棒根數與三角形個數的穩定關系。在多次活動中剝離直觀屬性，逐步形成小棒的根數與三角形個數關系的思維表象。杜賓斯基認為，數學教學是數學活動的教學，操作運算行為是數學認知的基礎性行為。學生要通過實際演算和頭腦中的心理操作來獲得知識，否則數學概念將成為無源之水，無本之木。

2. 師：在擺的過程中，你發現三角形的個數是變化的，小棒的根數也是變化的，那什么是不變的呢？（圍成一個三角形需要3根小棒）

師：如果老師有足夠多的小棒，你想擺幾個三角形，又需要幾根小棒呢？你想擺幾個？一直擺下去，能擺得完嗎？擺不完怎么辦呢？（板書：省略號）先想一想，再和你的同桌輕聲交流。

預設回答：用字母a表示三角形的個數，小棒的根數就是a×3。

師：a和a×3分別表示什么意思呢？當三角形的個數用a表示時，小棒的根數為什么可以用a×3來表示呢？

小結：和算24點中的字母A不同，這里的a可以表示所有的自然數，a表示的不再是一個確定的數，而是一個變化的數。（板書：變化的數）

3. 師：用n來表示三角形個數可以嗎？這時小棒的根數又可以怎樣表示？指出：同一個數還可以用不同的字母來表示。

設計意圖：當用小棒擺三角形的活動多次重復，被學生熟悉之后，操作活動就可以內化為心理操作，由此進入概念學習的過程階段。學生可以自如地在大腦中實施“擺小棒”的過程。通過讓學生自由說“想擺幾個三角形，需要幾根小棒”，學生會發現三角形越擺越多，而且怎么擺也擺不完，自然引發學生對規律的探索和發現。再通過獨立思考、小組交流等教學策略，學生體會用字母式既表示變化的數又表示數量關系的雙重性。

三、游戲引領，提升感知

1. 在游戲中感受用字母表示相差關系的量。

體驗字母式的形成過程，數學游戲——神奇魔盒。

師：接下來，老師想和大家一起來玩一個小魔術。這里有一個神奇的魔法盒子，它的神奇在于，左邊進入一個數，穿過盒子之后，它就會變成另外一個數。

課件演示：輸入5，輸出15;輸入12，輸出22;輸入100，輸出110。

師：是否有人已經發現了什么？（輸入的數進入盒子出來之后就增加了10）

驗證猜想：輸入10.5，輸出20.5。

2. 嘗試概括，揭示本質。