例談一道中考壓軸題的解題分析和解題方法

查書平

【摘要】2018年曲靖市中考數學壓軸題是以二次函數為基礎的綜合性問題，如何才能找到解決這類問題的解題途徑？本文試從解題過程分析和解題方法兩個方面進行分析，通過捕捉有用信息、已有相關儲備信息提取、有效整合三個方面揭示了其分析過程，并用有效的解題方法來指導，讓解題分析過程變成一個簡明扼要的解題過程.

【關鍵詞】綜合性問題;解題分析;解題方法

一、試題呈現

（2018年云南曲靖23·12分）如圖所示，在平面直角坐標系中，直線l：y=13x-45與x軸交于點A，經過點A的拋物線y=ax2-3x+c的對稱軸是x=32.

（1）求拋物線的解析式.

（2）平移直線l經過原點O，得到直線m，點P是直線m上任意一點，PB⊥x軸于點B，PC⊥y軸于點C，若點E在線段OB上，點F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且 PF=3PE.求證：PE⊥PF.

（3）若（2）中的點P坐標為（6，2），點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，當PE⊥PF時，拋物線上是否存在點Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點Q的坐標;如果不存在，請說明理由.

二、解題過程分析

（一）捕捉有用信息

結合試題捕捉到以下信息：

解決（1）問信息：點A是直線l：y=13x-43與x軸的交點;拋物線經過點A，且對稱軸為x=32.

解決（2）問信息：直線m由直線l平移得到且經過原點O.PB⊥x軸，PC⊥y軸，PE=3PF.

解決（3）問信息：點P坐標為（6，2），PE⊥PF，四邊形PEQF是矩形.

（二）已有相關儲備信息提取

結合試題提取已有相關信息：

信息1：待定系數法求拋物線解析式;拋物線對稱軸為x=-b2a.

信息2：平移前后的直線k值不變;過原點的直線為y=kx的形式.

信息3：證兩直線垂直只需證他們的交角等于90°;相等銳角的同名三角函數值相等.

信息4：存在性問題的解題模式：假設結論成立;分類思想.

信息5：矩形的性質：對邊相等且平行，每一個內角是直角.

信息6：全等三角形的判定及性質;相似三角形的判定及相似三角形的性質.

（三）有效整合

有效整合是指把捕捉到的有用信息與提取的已有相關信息結合起來分析，并畫出思維導圖，使之成為一個完整嚴密的邏輯結構.

試題解題思維過程導圖：

三、解題方法

第（1）小題：對稱軸已知、一次項系數b已知，利用對稱軸公式求出二次項系數a;點A在二次函數圖像上已知，進而把點A代入解析式求c.

第（2）小題：證PE⊥PF轉化為證∠FPC+∠CPE=90°，進而轉化為證∠FPC=∠EPB，證∠FPC=∠EPB轉化為證cos∠FPC=cos∠EPB即可.

第（3）小題：探究矩形存在性問題，假設Q存在，設出E點坐標為（m，0），分E點在B點左側時m<6或E點在B點右側時m>6;畫出圖形.

則問題轉化求含字母m的Q點坐標，當PE⊥PF時，△PBE≌△QMF，△PBE∽△PCF.利用全等及相似即可求出含字母的Q點坐標.再把Q點代入二次函數解析式即可求出Q點.

總之，以二次函數為基礎的綜合性問題綜合性強、難度較大，學生解答這類問題要有較強的基礎知識和基本技能，熟悉的解題方法;較強的捕捉信息、提取信息、整合信息能力，才能在具體的解題情境中有效解題.