初中數(shù)學(xué)“認(rèn)識(shí)封閉”突破策略研究*

☉江蘇省泰興市黃橋初級(jí)中學(xué) 徐新燕

☉江蘇省泰興市西城初級(jí)中學(xué) 周小峰

認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象的存在，已經(jīng)有不少人對(duì)其視而不見，但實(shí)際上，認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)和學(xué)習(xí)帶來一定的警示意義.“把不會(huì)當(dāng)成不能”“對(duì)認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象的忽視”等，都是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)工作者和研究者需要解決的困境.無(wú)論是對(duì)一個(gè)問題或者技術(shù)的不會(huì)，還是將其視為自身能力有限，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來講，都需要全面認(rèn)知，并找到認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象的認(rèn)知方法和體系.

一、認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象的含義

所謂認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象，主要指針對(duì)一個(gè)問題，當(dāng)事者是可以理解并且認(rèn)知的，但是要解決這樣的問題難以使用已有的知識(shí)和理論來突破，由此形成一個(gè)認(rèn)識(shí)到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化困境，這個(gè)過程被稱為認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象.在認(rèn)識(shí)封閉概念中，不是說能解決或者會(huì)解決，而是不具備解決問題的一些必要條件.對(duì)于問題解決的辦法，從問題原因剖析的層面看，有許多角度的因素限制.在討論為何會(huì)出現(xiàn)認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象時(shí)，我們有必要關(guān)注解答問題和解決問題當(dāng)事人是否具備解決這個(gè)問題需要的方法論或者技巧.

主體沒有把握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性是導(dǎo)致認(rèn)識(shí)封閉的主要原因.數(shù)學(xué)方法論或者問題都有對(duì)應(yīng)的知識(shí)理論，如果沒有把握這個(gè)適應(yīng)的范圍，就不能將正確的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)應(yīng)正確的問題實(shí)踐中.所以要科學(xué)把握數(shù)學(xué)知識(shí)的適應(yīng)范圍極為關(guān)鍵，這和數(shù)學(xué)問題實(shí)質(zhì)性理解和數(shù)學(xué)問題認(rèn)識(shí)深度有一定聯(lián)系.此外，個(gè)體缺乏科學(xué)研究的精神是比與個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知深度有關(guān)造成“認(rèn)識(shí)封閉”更嚴(yán)重的現(xiàn)象，如果不能對(duì)一個(gè)知識(shí)適用的實(shí)踐領(lǐng)域有可靠的證據(jù)證明，那么就不能給出成功的反駁例子.

二、教師的認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象

當(dāng)數(shù)學(xué)教師為學(xué)生評(píng)價(jià)問題解答的狀況時(shí)，需要判定是否存在認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象.避免因?yàn)榻處煹恼J(rèn)識(shí)封閉導(dǎo)致學(xué)生正確的解答遭到誤解，由此無(wú)形中對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果產(chǎn)生誤判，進(jìn)而影響學(xué)生對(duì)學(xué)科的學(xué)習(xí)積極性.當(dāng)學(xué)生在解答一個(gè)相對(duì)困難的題目時(shí)，若利用自身學(xué)習(xí)的知識(shí)不能解答，這就需要數(shù)學(xué)教師從自身去尋找原因，是否在題目設(shè)計(jì)和布置方面欠缺思考，找到產(chǎn)生認(rèn)識(shí)封閉問題的原因.如例1中，題中條件的嚴(yán)謹(jǐn)程度導(dǎo)致了“認(rèn)識(shí)封閉”現(xiàn)象的產(chǎn)生.

例1有長(zhǎng)為32米的柵欄，想要利用一面墻來圍成一個(gè)矩形草坪，若墻的長(zhǎng)度不限，設(shè)AB=x，當(dāng)AB為多少米時(shí)，草坪的面積最大？是多少？

所以當(dāng)AB=16時(shí)，面積最大，為128平方米.

變式訓(xùn)練時(shí)，教師提出若墻的長(zhǎng)度為10米，其他條件不變，草坪面積最大為多少？那么當(dāng)x=10時(shí)，面積最大，為110平方米.

從二次函數(shù)角度看，解題思路完全沒有問題，但是條件“利用墻”并沒有規(guī)定其中一邊只能為10，還可以如圖2所示圍成草坪，那么這樣草坪的面積就變成110.25，比110大，若題中條件改為靠一面墻圍草坪，就只有第一種情況了.出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象在于條件的給出不嚴(yán)謹(jǐn)，若學(xué)生在解題過程中，思考較多想到了這一點(diǎn)，而教師卻誤判，那么就會(huì)產(chǎn)生認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象.

數(shù)學(xué)本身就是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，站在學(xué)生的角度思考認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象，教師應(yīng)當(dāng)避免這一現(xiàn)象給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題造成不利影響，進(jìn)而影響學(xué)生的身心健康和是非辨別能力.

認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象和認(rèn)識(shí)通暢現(xiàn)象是相互對(duì)立的.但是不能認(rèn)為有了認(rèn)識(shí)通暢就能成功抵抗認(rèn)識(shí)封閉，因?yàn)闊o(wú)論是否陷入認(rèn)識(shí)封閉境地，都需要當(dāng)事者對(duì)解決問題所需要的知識(shí)理論和概念進(jìn)行重新的、全面的認(rèn)知.當(dāng)對(duì)知識(shí)和理論有了實(shí)質(zhì)上的掌握后，才能獲得打通認(rèn)識(shí)封閉通道的根本辦法.數(shù)學(xué)學(xué)科有自身適應(yīng)的對(duì)象范圍，也包括不適應(yīng)的，所以，應(yīng)當(dāng)以辨證的視角和方法來探究認(rèn)識(shí)封閉和認(rèn)識(shí)暢通，這樣才能從本質(zhì)上解決問題.要辨證看待認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象，需要教學(xué)者跳出較低的視角范圍，因?yàn)檎J(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象實(shí)際上和認(rèn)識(shí)通暢現(xiàn)象有著一定的認(rèn)識(shí)聯(lián)系，教學(xué)工作者可以通過正、反兩方面的例子來研究認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象，避免在重復(fù)循環(huán)的認(rèn)識(shí)模式中再次陷入認(rèn)識(shí)封閉境地.

三、學(xué)生的認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象

“把不能當(dāng)能”和“把能當(dāng)不能”是認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象產(chǎn)生的主要體現(xiàn).其中，前者主要指的是對(duì)一個(gè)知識(shí)理論的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)導(dǎo)致當(dāng)事者認(rèn)為能夠利用這一知識(shí)解決問題的錯(cuò)誤傾向；后者則是指本來可以使用一種知識(shí)或者理論解決現(xiàn)實(shí)問題的，但事實(shí)上并沒有使用這一知識(shí).

1.“把不能當(dāng)能”

概念是任何一門知識(shí)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是整個(gè)知識(shí)體系得到有效結(jié)合的根本.數(shù)學(xué)學(xué)科也是由多個(gè)概念連接的有機(jī)體系.各類概念、符號(hào)、公式都是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科的主要部分.因此，每個(gè)組成部分都有其自身的邏輯特征.因此，在解題時(shí)，學(xué)生需要弄清楚每個(gè)題目中各個(gè)概念、公式之間的聯(lián)系，厘清概念間的關(guān)系才能成功解題.但是關(guān)于認(rèn)識(shí)封閉，也有一方面原因來自于思維錯(cuò)誤，也就是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)、公式等概念的理解錯(cuò)誤導(dǎo)致.

例2圖3是一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖，該幾何體是由n個(gè)完全相同的正方體組成的，請(qǐng)問：正方體個(gè)數(shù)是幾？

大部分學(xué)生的答案都如圖4、圖5所示，但也有少數(shù)學(xué)生給出了圖6中所示幾何體.這道例題不僅考查三視圖相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，還考查幾何體的相關(guān)概念及性質(zhì)，也就是說圖6算不算一個(gè)幾何體.根據(jù)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看，面動(dòng)得體，因此至少有一個(gè)面是幾何體的公共面，還有內(nèi)部需要具有空間連通性，圖6是由兩個(gè)幾何體組合而成的，并不算作幾何體.此題中將一個(gè)不能稱為幾何體的圖形稱為幾何體，脫離幾何體定義，“將不能當(dāng)能”也是認(rèn)識(shí)封閉的一種.由于數(shù)學(xué)公式或者概念認(rèn)知誤區(qū)的出現(xiàn)導(dǎo)致對(duì)實(shí)踐應(yīng)用范圍的認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，這也是許多學(xué)生認(rèn)識(shí)封閉的一種原因.

2.“把能當(dāng)不能”

例3某花圃發(fā)現(xiàn)盆栽價(jià)格與盆栽中花株數(shù)有關(guān)，每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利3元，以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元，要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？

教師讓學(xué)生A與B上黑板演示做題過程.

學(xué)生A：設(shè)每盆花增加x株，則每盆花有（x+3）株，每株盈利（3-0.5x）元，所以（x+3）（3-0.5x）=10，得x=1或x=2，所以每盆植入4或5株.

學(xué)生B：設(shè)每盆花應(yīng)植入x株，則9+（x-3）（3-0.5x）=10，得x=4或x=5.

這時(shí)有些學(xué)生就會(huì)認(rèn)為學(xué)生B是錯(cuò)誤的，這就產(chǎn)生了“把能當(dāng)做不能”的認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象.他們認(rèn)為方程9+（x-3）（3-0.5x）=10中（x-3）與（3-0.5x）中的x含義不同，（x-3）中的x表示的是每盆應(yīng)植入的株數(shù)，而（3-0.5x）中的x表示的是每盆應(yīng)增加的株數(shù)，這是因?yàn)閷W(xué)生A的答案造成的定式思維，認(rèn)為（3-0.5x）就應(yīng)該表示單株花的平均盈利，但學(xué)生B的方程中（3-0.5x）其實(shí)表示的是增加盈利平均到增加的x-3 株花的單株花的平均盈利，若式子列成學(xué)生就易理解了.

作為教師，應(yīng)當(dāng)注重認(rèn)識(shí)封閉對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)帶來的不良影響.但是最終提醒我們的是，當(dāng)前的考試模式已經(jīng)不再適用新時(shí)代的教學(xué)需要.在學(xué)習(xí)成果的檢驗(yàn)中，我們基本上都是應(yīng)用考試的辦法讓學(xué)生和教師產(chǎn)生知識(shí)的交流，但是由于雙方的思維不可直接接觸，教師要完全弄清楚學(xué)生的思維和想法存在一定難度，所以對(duì)于學(xué)生的思維，教師在不能表述和理解的同時(shí)，也不能故意去抹殺.可以考慮改變以往的封閉式考試模式，提倡和鼓勵(lì)面對(duì)面問答的形式讓學(xué)生參與考試，避免教師陷入認(rèn)識(shí)封閉境地.

四、總結(jié)

盡管有時(shí)教師在認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象中對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果有所影響，但是這一問題若能及時(shí)被意識(shí)到，并正視問題，直面認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)工作者需要具備的科學(xué)精神和態(tài)度.無(wú)論是學(xué)生還是教師，都容易陷入認(rèn)識(shí)封閉區(qū)域，因此都需要及時(shí)認(rèn)知到這一點(diǎn)，從而認(rèn)真對(duì)待.對(duì)此我們可以知道，對(duì)于任何一個(gè)學(xué)科來講，教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)精神都會(huì)經(jīng)歷一系列挑戰(zhàn)，這其中包括認(rèn)識(shí)封閉.所以，教師唯有堅(jiān)持研究“認(rèn)識(shí)封閉”，終將以自己的科學(xué)態(tài)度戰(zhàn)勝認(rèn)識(shí)封閉，迎來教學(xué)認(rèn)識(shí)的突破.