基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)*

☉江西省南昌市二十七中學(xué) 翁 荔

希臘哲人德謨克立主張，教育力圖達(dá)到的目標(biāo)并不是完備的知識(shí)，而是充分的理解.物理學(xué)家勞厄則進(jìn)一步指出：“重要的不是獲得知識(shí)，而是發(fā)展思維能力.”問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)以問(wèn)題為中心，通過(guò)解決問(wèn)題來(lái)獲得知識(shí)、方法和思維.學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程就是思維的建構(gòu)過(guò)程，它是學(xué)習(xí)范式的一種變革.基于問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)課堂以探索作為教學(xué)的生命線，在探索中理解數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和思維都有著十分積極的作用.

問(wèn)題解決學(xué)習(xí)中最重要的教學(xué)支持是問(wèn)題案例，這些問(wèn)題案例就像“積木”一樣搭建學(xué)生完整的知識(shí)框架，教師及教學(xué)設(shè)計(jì)者要善于利用不同功能的問(wèn)題案例幫助學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí).生長(zhǎng)型案例的特點(diǎn)是以某一個(gè)容易達(dá)成的問(wèn)題為基礎(chǔ)，其他問(wèn)題按螺旋上升的方式展開(kāi)，后一問(wèn)題以前一問(wèn)題為基礎(chǔ)，但在程度上比之前更深入，使前面知識(shí)不完善之處得到進(jìn)一步的補(bǔ)充和豐富.下面就自己的實(shí)踐來(lái)談?wù)剛€(gè)人對(duì)生長(zhǎng)型案例的研究，不足之處請(qǐng)大家批評(píng)指正.

環(huán)節(jié)一：獨(dú)立思考，探求思路

問(wèn)題1：如圖1，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，N是BM的中點(diǎn)，就稱CN是△ABC的“雙中線”，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，求CN.

問(wèn)題2：如圖2，M是菱形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，N是BM的中點(diǎn)，則稱AN是菱形ABCD的“雙中線”，若AB=4，∠BAD=120°，求AN的長(zhǎng).

問(wèn)題3：如圖3，AN是矩形ABCD的“雙中線”，若AB=4，BC=6，求AN的長(zhǎng).

問(wèn)題4：如圖4，AN是平行四邊形ABCD的“雙中線”，若AB=4，BC=6，∠BAD=120°，求AN的長(zhǎng).

這是一個(gè)以“雙中線”為背景的生長(zhǎng)型案例，按照直角三角形→菱形→矩形→平行四邊形這樣的順序進(jìn)行探究.首先，由學(xué)生獨(dú)立思考，在沒(méi)有老師和同學(xué)的指導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)自己真實(shí)的困惑.

環(huán)節(jié)二：小組合作，交流促進(jìn)

學(xué)生在剛才獨(dú)立思考解決問(wèn)題的環(huán)節(jié)中，會(huì)遇到許多“阻力”，這些“阻力”使他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候沒(méi)有那么通暢.小組成員之間的相互合作，其實(shí)是相互意見(jiàn)的一種交換，彼此“互補(bǔ)”，形成了很多不同的解決方法.

問(wèn)題1：獨(dú)立思考階段，大部分學(xué)生能完成，但有的學(xué)生完成不了，有以下幾種情況.（1）從點(diǎn)C向BM作垂線，構(gòu)造直角三角形，把CN當(dāng)作斜邊求解，但是得不到解題途徑.（2）把∠CBA也當(dāng)作直角，用了兩次“斜邊中線等于斜邊的一半”.（3）使用勾股定理求解BM錯(cuò)誤.

問(wèn)題2：求解問(wèn)題2，學(xué)生想出了很多解法，但是非常遺憾，雖然方法眾多，但是他們遇到了同一個(gè)“阻礙”，就是證明∠BAM=90°，有的是無(wú)法推理，有的是推理錯(cuò)誤，下面列舉部分解法.

問(wèn)題3：這一問(wèn)題，很多小組成功解決了.現(xiàn)列舉部分解法.

問(wèn)題4：同樣部分小組解決了這個(gè)問(wèn)題，可以說(shuō)解法十分巧妙.

環(huán)節(jié)三：教師整理，完善結(jié)構(gòu)

這一系列問(wèn)題在圖形特征上有相似之處，即都涉及了兩條中線.那么，圖形上的相似能否帶來(lái)解法上的相似，類(lèi)比完成呢？從與學(xué)生的交流中發(fā)現(xiàn)，他們都有這方面的嘗試，但都失敗了.為什么呢？歸根結(jié)底，還是對(duì)定理沒(méi)有全方位的認(rèn)識(shí).

問(wèn)題1是整個(gè)解決問(wèn)題中的源問(wèn)題，其中兩條中線的作用，一條是利用中點(diǎn)求出線段一半的長(zhǎng)，另一條的作用是和直角三角形結(jié)合，利用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”來(lái)解決問(wèn)題.問(wèn)題2對(duì)比問(wèn)題1的條件，兩中線依然存在，不同的條件是90°換成了菱形和120°，那么菱形和120°可否轉(zhuǎn)化成90°呢？問(wèn)題3和問(wèn)題4能否由之前的解題經(jīng)驗(yàn)獲得一些思路呢？根據(jù)學(xué)生的完成情況，教師提供了一組解法：

環(huán)節(jié)四：回顧總結(jié)，提升認(rèn)識(shí)

首先肯定學(xué)生的“百花齊放”，在解決問(wèn)題的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了多種解法，有些解法充分體現(xiàn)了學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，這一點(diǎn)，也是大家作為一個(gè)學(xué)習(xí)團(tuán)體可以互相學(xué)習(xí)之處.

最后，根據(jù)學(xué)生的答題情況，引導(dǎo)大家思考如下問(wèn)題，教師總結(jié).

思考一：這節(jié)課大家討論了三角形和四邊形中的“雙中線”，結(jié)合以前的學(xué)習(xí)，由“中線”這個(gè)關(guān)鍵詞你能夠想到的解法有哪些？

從學(xué)生的答題情況來(lái)看，由中點(diǎn)引發(fā)的求線段長(zhǎng)的一半、構(gòu)造中位線是學(xué)生圖示當(dāng)中能夠存在并且容易激活的，但是直角三角形斜邊中線，是學(xué)生腦海中沒(méi)有的組塊，或者是處于較低的一級(jí)水平的組塊.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生補(bǔ)充了原有圖示，使得圖示所表征的內(nèi)容越來(lái)越細(xì)致、廣泛.教師和學(xué)生一起總結(jié)形成網(wǎng)絡(luò)圖，（如圖5）此圖仍需后續(xù)學(xué)習(xí)繼續(xù)完善.這節(jié)課的問(wèn)題解決還涉及另一項(xiàng)能力的培養(yǎng)，就是識(shí)圖補(bǔ)圖.網(wǎng)絡(luò)圖中有雙向箭頭，從左到右的箭頭是形成解決問(wèn)題所需要的命題系，從右到左的指向是識(shí)圖補(bǔ)圖的一種參照.

思考二：今天的問(wèn)題解決中出現(xiàn)了120°，你認(rèn)為它發(fā)揮了什么作用？你覺(jué)得像這樣能夠促進(jìn)問(wèn)題解決的特殊角還有哪些？

對(duì)于“特殊角”，在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，學(xué)生在解題中經(jīng)常會(huì)遇到30°、45°、60°這樣的特殊角，但對(duì)120°、135°、150°這三個(gè)鈍角并不是很熟悉，這三個(gè)角其實(shí)是60°、45°、30°角的補(bǔ)角，可以轉(zhuǎn)化成這三個(gè)特殊角.同時(shí)，120°=30°+90°，135°=45°+90°，150°=60°+90°，這也是這三個(gè)鈍角能夠在直角三角形中發(fā)揮作用的關(guān)鍵.另外，學(xué)生也想到22.5°、15°分別是45°、30°的一半，也是特殊角.

思考三：在問(wèn)題4的解決中，兩組學(xué)生用了簡(jiǎn)單巧妙的方法，想想看，如果把問(wèn)題4中的邊長(zhǎng)由6換成8，還能用此方法嗎？在教師提供的解法中，問(wèn)題1、2、3都用了直角三角形斜邊中線解決，問(wèn)題4沒(méi)用，是哪些條件不滿足導(dǎo)致的？

學(xué)生的解法其實(shí)是針對(duì)特殊問(wèn)題的特殊解法，并不通用，要讓學(xué)生意識(shí)到這一點(diǎn).教師的解法沒(méi)用斜邊中線，而是另辟蹊徑，原因是斜邊中線和直角很難同時(shí)存在，這一問(wèn)題的解決加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)定理運(yùn)用的靈活性.

理解數(shù)學(xué)知識(shí)、提高思維能力、學(xué)會(huì)思考問(wèn)題，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo).這就要求教師把這三者融入到教學(xué)中，使學(xué)生成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題的人.這節(jié)課是圍繞“雙中線”展開(kāi)的一節(jié)中考復(fù)習(xí)課，問(wèn)題從簡(jiǎn)單的圖形開(kāi)始，逐步深入.主要目的是加強(qiáng)所學(xué)知識(shí)的深度和廣度，力圖達(dá)到多角度理解知識(shí)，多方位聯(lián)系概念.

教學(xué)的目的不是讓學(xué)生強(qiáng)記解法，也不是大搞題海戰(zhàn)術(shù)，要讓學(xué)生把具體的知識(shí)忘掉以后，頭腦中還能剩下數(shù)學(xué)的東西，就需要教師的精心設(shè)計(jì)與有針對(duì)性的深化，這無(wú)疑為問(wèn)題解決的教學(xué)提供了一個(gè)很好的模式.