波利亞“怎樣解題表”指導下的命題課教學

☉南京師范大學教師教育學院 葛雯琳

波利亞是美國著名的數學家和數學教育家，他對數學思維的研究具有劃時代的意義，其中他提出的“怎樣解題表”更是為中學數學教學提供了可操作性的指導.波利亞指出“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練”，但是這里的“解題訓練”并非是“題海戰術”，而是問題的解決.他倡導的解題是一個探索的過程，是誘發學生思考和創造的過程.而“怎樣解題表”實際上是一個用來培養學生數學思維的智力活動表.有研究者將波利亞的“怎樣解題表”應用于中、高考題的解答，或是習題課的教學中，利用“怎樣解題表”的操作順序解決數學問題，讓學生解一題，會一類.但是筆者認為不應局限于此，在數學命題、定理等的教學中亦可以滲透波利亞的“怎樣解題表”思想.于是筆者結合之前的研究，設計出證明圓周角定理的教學片段，用實例說明如何在命題課中運用“怎樣解題表”.主要通過大量的“解題提示語”來幫助學生完成新知識的形成過程.

一、波利亞“怎樣解題表”的內涵

波利亞“怎樣解題表”主要分為4部分內容：理解題目、擬定方案、執行方案和回顧.

遇到問題，第一步就是理解題意，目的在于對題目的整體分析，把握題目的條件和目標.在理解題目階段，圖形和符號與數學思維緊密相聯，它們的使用有助于思考.因此，我們引入數學符號來表達一個文字提出的條件與結論.符號化的過程也是深入理解題意的過程.

在擬定方案的階段，關鍵是找出已知條件和目標之間的聯系，激發一個“好念頭”的基礎就是“過去的經驗和已有的知識”.因此，“你以前見過它嗎”是建立聯系的第一步，但是有所遺憾的是，一般問題都與已有經驗有所差異，因此，我們需要一些方法來對問題進行處理：對問題形式進行一定的轉化，將一些專業術語轉化為一般的語言分析.例如：“你能重新敘述這個問題嗎？”用不同的方法去表述原題，使問題表述得更具有熟悉度，更簡潔平易，更有希望解決.更甚，我們找不到已知條件和未知量之間的直接聯系，那么可以考慮舍去一部分條件或結論得到相似的問題（特殊化、一般化），借助輔助問題的方法或結果來尋找思路.但我們對一個問題進行分解組合，有可能會在“變”中迷失，因此“回到定義上”作為不斷提醒自己的有效提示語，讓我們能時刻不忘問題之本.

表1

在執行方案的階段，是零碎想法整體化的過程，是分析思路綜合表達的過程.這需要我們做到對每個步驟的來源與作用了然于心.“你能看出來嗎”“你能證明嗎”，從直觀上和形式上檢查每一步驟的正確性，直觀想象和邏輯推理并重而行.

在回顧階段，對問題解決過程進行反思和推廣應用，從而獲得新的方法和經驗.回顧本質上是從“理解性”和“發展性”兩個方面來認識解題的過程.一方面，從理解的角度，回顧解題思路的發現過程，抓住解決問題的關鍵，總結解決問題的經驗與教訓.另一方面，從發展的角度重新認識問題，對問題的方法和結果進行推廣深化，形成反思、評價的良好習慣.

解決一個問題給學生帶來的喜悅感是培養學生數學興趣的一大關鍵，而成功解決問題的路上并非一帆風順，如果教師能夠用這樣激勵性的“提示語”來幫助學生解答問題，讓他們感受到“自然”，在這樣的指引下，學生的獨立思考能力一定會有所提升，對解決問題的方法也會有更深的領悟.從“解題”到“學解題”，是知識、技能到思想方法的升華.

二、在教學中善用波利亞“怎樣解題表”

美國心理學家布魯納曾說過：“教學過程，是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動.”波利亞的“怎樣解題表”提供了一個清晰、完整的解題步驟，可以用于解決各式各類的數學問題.自然地，教學過程作為一個問題提出、求解的活動，“怎樣解題表”在其中也有著重要的地位.“怎樣解題表”含有大量的元認知提示語，這些提示語符合學生學習數學的心理特征規律，能夠啟發學生思考，將內在思維過程轉化成顯性的可操作性程序，對學生思維的發展有很大的促進作用.因此教師在教學中應善用“提示語”.

波利亞的提示語具有兩個共同的特征：常識性和普遍性.因為常識性，所以學生自己也可能想出類似的問題，比較自然.因為普遍性，所以不直接指向結果，而是讓學生有“事”可做，學生能夠在自己的探索下進行活躍的思維活動，逐漸接近問題的中心，成功解決.如果教師經常使用這些“提示語”，并且學生在相同的“提示語”的幫助，反復幾次，學生必然會注意到這些提示語進而嘗試自己運用這些提示語，但凡有一次成功就能讓學生對這些提示語有所領悟，從而逐漸理解、掌握、應用，形成自己的解題方法，歸納出自己的“提示語”.授之以“魚”不如授之以“漁”，進而授之以“欲”.學生學到的遠比具體的數學知識更加重要.

因此，在教學中教師若能將“怎樣解題表”融于平時教學，善用“提示語”指導教學，必使學生的數學興趣、數學思維有很大的提升.

三、圓周角定理教學片段

在引導學生猜想“圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半”后進行驗證，本設計意圖如下：

讓學生探索知識形成的過程，體會特殊化的轉化思想和分類思想，掌握解決問題的一般規律，培養學生的創造、探索精神.

1.理解題意

用符號、圖形語言表示出已知數、未知數、條件.

師：我們現在要驗證猜想：圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半.

師：題設是什么？

生：一個圓周角，它所對弧的度數.

師：結論是什么？

生：圓周角的度數是它所對弧度數的一半.

師：你能否畫個圖來解釋這個猜想？

學生畫出了一個圓周角∠BAC.

師：完整了嗎？請你用你引入的符號來表述一下題設.

學生意識到題設中有兩個量.

師：“它所對弧的度數”要怎么表示？回到定義上.

生：指弧所對圓心角的度數，（在圖上畫出了圓心角∠BOC）已知圓上一段弧BC，它的圓周角是∠BAC、圓心角是∠BOC，要證明：

在老師的幫助下將問題用符號語言表述為：

已知B、C是圓上兩點，A是圓上優弧BC上異于B、C的一點，證明：

設計意圖：著名數學教育家斯托利亞爾曾說過：“數學教學也是數學語言的教學.”數學語言具體分為符號語言、文字語言和圖表語言，簡約而精準.將文字語言符號化、圖形化是理解題意的關鍵，學生在“翻譯”中抓住定理的關鍵要素，加深對問題的理解.

2.擬定計劃——實施計劃

師：你打算怎么證明？

生：這個∠BAC的位置我不確定.

師：很好，你意識到一個關鍵問題：點A是圓O上異于B、C的任意一點，這意味著有無數個圓周角.以前是否遇到過類似的問題？無限多個圓周角，是無數種情況嗎？

師：我們之前是怎么解決無數多種情況的問題的？

生：取特殊.

師：無限多是不好研究的，我們可以化無限為有限，找到最特殊的位置關系，從最簡單、最特殊的情況入手.

設計意圖：圓周角定理證明的難點：無限種情況沒有辦法一一討論，對于這樣的情況，是否能借助以往的經驗？由簡入繁，通過一種簡單情形的解決得到啟示，進而解決復雜多樣的情況，學生在證明定理中也學習到解決問題的一般思想方法：轉化思想.

師：（幾何畫板展示點A運動）當點A運動的時候，觀察∠BAC什么時候最特殊.

學生找到了最特殊的情況，如圖3.

師：你能直接看出結論嗎？

生：感覺像.

師：此時圓心O和圓周角∠BAC有著怎樣的位置關系？

生：點O在∠BAC的邊上.

師：現在，你對驗證我們的猜想有計劃了嗎？

生：分情況：點O在∠BAC的邊上和點O不在∠BAC的邊上.第一個比較好證.

師：你先從簡單的情況下手，這是一個很好的策略.那你打算如何證明點O在∠BAC的邊上的情況呢？是否見過相同的問題？

生：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和.

師：你想到了一個很有用的定理.你能利用它嗎？

生：∠BOC=∠BAC+∠ABO，我不知道∠BAC和∠ABO的關系，它們看著像相等.如果它們相等，就可以了.

師：你看出了∠BAC=∠ABO，那你能否證明它們相等？你是否利用了所有的已知數據？有沒有潛在的條件？

生：圓的性質！△ABO是一個等腰三角形，那就可以了.

設計意圖：在解決問題的過程中，教師應引導學生充分調用以往學習的經驗與知識，通過一些提示語“你之前見過這樣的問題嗎”，讓學生感悟到數學知識、數學問題之間的聯系，從而加深學生對問題的理解，也在無形中增加了學生的數學信心，將陌生的問題熟悉化.

師：根據你的思路實施你的證明.

證明略.

師：檢驗你的每一個步驟，你能否清楚地看出你的步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的呢？

教師與學生檢驗證明過程.

設計意圖：初中生正處于直覺思維與抽象思維的過渡期，教師應遵循學生的數學學習特點與心理發展規律，通過詢問學生：“你能看出來嗎”，培養學生的直觀想象能力，在此基礎上詢問：“你能證明這個結論嗎？”讓學生體會到數學的嚴謹性，證明是檢驗想象的最佳途徑，可培養學生的邏輯思維能力.

師：我們已經驗證了點O在∠BAC的邊上時結論成立.這道題解決了嗎？

生：沒，還有其他情形.點O在∠BAC的內部、外部時.

師：當點O落在∠BAC的內部時，你能證明結論嗎？

師：這個問題與我們剛解決的問題相關嗎？你能不能利用它？

生：應該能，但是這不是三角形，更別說等腰三角形了.

師：為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？

學生提出：連接AO并延長，與圓O交于另一點G.

師：出于什么目的？

生：這樣就出現了等腰三角形.

師：此時，你能證明嗎？

學生實施證明過程.

師：通過添加輔助線，我們將點O落在∠BAC的內部轉化成了點O落在∠BAC的邊上的情形.

師：我們討論了點O落在∠BAC上、點O落在∠BAC的內部的情況，還有點O落在∠BAC的外部的情形.這種情形我們該怎么證明？你能否利用之前的結果和方法？

生：按照之前方法，添加輔助線，連接AO，并延長與圓O交于另一點G，此時得到∠BOG=2∠BAG.

師：這與你要證明的結論有關嗎？

生：只要∠COG=2∠CAG，相減就是我們要證的結論.

師：∠COG=2∠CAG是你猜想的還是你驗證的？

生：我猜的，但是可以證明，就像證明第一種情況一樣.

師：所以實際上，我們是把點O落在∠BAC的外部轉化成點O落在∠BAC的邊上的情形.給出你的具體證明.

證明略.

師：通過以上三種情況的討論，我們發現：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，那么自然地，同弧所對的圓周角相等.

設計意圖：教師通過“提示語”引導學生借助以往知識和經驗去聯想、去轉化，往往需要一些輔助元素，將原題變換一下，增加問題的“相似度”，但是要提醒“要證明的是什么”，在變化中不要忘了原來的問題是什么.在這個過程中，學生充分利用腦中的知識網絡，重組改造，一步步解決問題.

3.回顧

（1）反思總結.

回顧我們驗證猜想的整個過程，同學們有什么感想？你能回答出以下問題嗎？

①當我們遇到不熟悉的問題時，我們是怎么做的？

想想之前有沒有遇到過類似的問題，借助已有的經驗去解決問題.

②當我們遇到無限多種情況無法一一討論時，我們采用什么樣的方法？

尋找特殊的情況，將無限多個圓周角轉化成三類有限的情況去討論.

③采取這種方法的依據是什么？

依據點O與圓心角∠BOC的關系，通過有限的分類驗證了無限的問題.

④在解決第二類和第三類問題時，我們添加了輔助線，這一做法出于什么樣的目的？

利用已有的結果和方法，將第二類和第三類情形轉化成第一類情形.

（2）推廣深化.

你能不能把這個結果或方法用于其他的問題？

設計意圖：回顧小結是提升學生能力的重要階段，不僅是強調這節的重點、難點，更是從更高的角度審思這部分內容，將數學思想方法外顯化，進行歸納、提煉，形成解決問題的一般方法，讓學生有更多的收獲.

四、結語

波利亞說：“只要應用得當，如果你向自己提出表中的這些問題與建議，可以幫助解決你的問題；而如果你向你的學生提出同樣的問題與建議，你就可以幫助解決他們的問題.”平時教師若能有意識地將“怎樣解題表”的思想滲透于命題課教學，不僅可以幫助學生解決現行的問題，還能啟發學生運用這些“提示語”和方法自我幫助，培養學生獨立解決問題的能力.在應用“怎樣解題表”時，要注意根據學生反應靈活使用，上述操作并非死板的順序.