構造全等三角形進行計算

☉山西省北大培文晉中實驗學校 張樹義

☉山西省北大培文晉中實驗學校 孫永清

☉山西省北大培文晉中實驗學校 紫澤麗

我們都知道利用三角形全等可以進行計算，有些計算角度、邊、三角形的面積的題目則需要構造全等三角形.如何構造呢？本文做系統整理，供同行們教學時參考.

例1如圖1，△ABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于點P，求△PBC的面積

分析：三角形PBC的底和高都是未知的，無法用三角形面積計算公式計算.圖中有全等三角形嗎？抓住角平分線和垂直的條件，可延長AP交BC于點E，可得出△ABP△BEP.又知△APC和△CPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可求出三角形PBC的面積.

解：如圖2，延長AP交BC于點E.

由AP垂直∠B的平分線BP于點P，得∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°.

在△APB 和△EPB 中，∠APB=∠EPB，BP=BP，∠ABP=∠EBP，則△APB△EPB（ASA）.

則S△APB=S△EPB，AP=PE.

則△APC和△CPE等底同高.

則S△APC=S△PCE.

例2如圖3，AD∥BC，AB=AD+BC，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，點F在AB上，且AF=AD.若AE=5，BE=4，求四邊形ABCD的面積.

分析：如圖4，連接EF，只要證明△AEF△AED，△BEC△BEF，△AEB是直角三角形，可得S四邊形ABCD=2S△AEB，由此即可解決問題.

解：如圖4，連接EF.

在△AED和△AEF中，AD=AF，∠EAD=∠EAF，AE=AE，則△AED△AEF，則∠DEA=∠FEA，S△AED=S△AEF.

由AB=AD+BC=AF+FB，AD=AF，得BF=BC.

在△EBC和△EBF中，EB=EB，∠EBC=∠EBF，BF=BC，則△EBC△EBF，則∠BEF=∠BEC，S△EBC=S△EBF.

由2∠AEF+2∠BEF=180°，得∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，則

S四邊形ABCD=2S△AEB=20.

對于題目中有三角形角平分線的題，常可把角平分線一側的三角形翻折到角平分線的另一側，構成全等三角形.

例3如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC.若AC=6，求四邊形ABCD的面積

分析：本題中的四邊形是一個不規則的四邊形，不能直接計算，考慮將其中的一個三角形割下來，補在另一個三角形旁，構成特殊的三角形.

解：過點A作AE⊥AC，交CD的延長線于點E，如圖6所示.

由AE⊥AC，得∠EAC=90°.又∠DAB=90°，則∠DAE=∠BAC.

由∠BAD=∠BCD=90°，得∠ADC+∠B=180°.又∠EDA+∠ADC=180°，則∠EDA=∠B.

由∠EAD=∠CAB，AD=AB.∠EDA=∠B，得△ABC△ADE，則AC=AE=6.

則S四邊形ABCD=18.

為了構造全等三角形，常常把圖中某個三角形繞一個點旋轉一定的角度，使相等的線段重合，構成全等三角形.

例4如圖7，AB＝BC且AB⊥BC，點P為線段BC上一點，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝22°，則∠D為________

分析：由已知不難發現△ABP和點P、D所在的三角形已經有PA＝PD，∠A＝∠DPC，要證全等還差一個條件，因∠B=90°，故考慮作DE ⊥BC 于點E，則△ABP△PED，則DE=BP=CE，則∠DCE=45°，則∠PDC=∠DCE-∠DPE=45°-22°=23°.

總之，添加輔助線可以由平移、翻折、旋轉的方法進行添加，有時也通過連接兩點、延長線段、作垂直等方法進行添加，不管哪種方法，都是通過作輔助線，為證三角形全等增加一個條件，解題時可靈活運用這些方法.