例說初中生數學解題反思的教學指導

☉揚州大學數學科學學院 易子晴

著名數學家波利亞曾經提到：數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題以后對問題解決過程的反思與回顧.但現在仍有很多中學教師并沒有意識到解題反思對學生的重要性，也很少針對解題過程進行引導反思，許多學生也只知道一味地機械地多做題而不懂得對解題過程進行回顧、反思、總結，致使他們的解題能力沒有明顯提升.本文主要針對這一現象提出了教師應注重解題反思并適時引導學生對自己的解題過程進行多維度反思.

一、反思對題意的理解過程

學生在解題中遇到的困難之一是對題意的理解，以信息論的觀點，“題意理解”就是從問題中“如何獲取信息”和“如何加工信息”.

在解題教學中，教師需要引導學生對自己的題意理解中的“獲取信息”和“加工信息”的過程進行反思.具體表現為：引導學生去反思當初在理解題意時，對每個已知條件的解讀是否正確，是否漏掉了關鍵信息，是否漏掉了與已知條件關聯的知識點（獲取信息過程）；每個已知條件是否得到了很好的解釋、組織、轉化（加工信息過程）.

1.對“獲取信息”過程進行反思

例1（新題型）有一架雷達探測儀探測目標位置的結果如圖1所示，如果記圖1中目標點A 的位置為（2，90°），則其余各目標的位置分別是多少？

①學生錯解：可得點B（3.5，30°）、C（-2.5，240°）……

學生錯解思路：以點B為例，橫坐標是過點B作x軸的垂線的垂足的橫坐標，仿佛在3～4之間，應該是3.5，所以橫坐標為3.5.

②學生錯因：學生沒有很好地理解題中橫坐標表示的意義，并且已學的“直角坐標系中橫坐標”的意義使他們產生了思維定式.

③正解：由圖可知，點A的位置為（2，90°），表示點A在第二個同心圓上且在90°的方向上.點B在第四個同心圓上且在30°的方向上，故點B的坐標為（4，30°），同理，點C（4，240°）、D（3，300°）、E（6，120°）.

④引導學生反思：這是一個新定義題目.教師要引導學生發現自己是否沒有很好地獲取已知信息，是否忽略了題目中橫、縱坐標的意義，是否已學的“直角坐標系中橫坐標”的意義使自己產生了思維定式……教師要適時啟發學生反思：做新定義題時，要拋開之前在書本上學到的基本公式、定理，根據具體題目中的具體定義來做題.

2.對“加工信息”過程進行反思

例2（揚州市中考題）如圖2，在等腰Rt△ABO中，∠A=90°，點B的坐標為（0，2），若直線l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分為面積相等的兩部分，則m的值為______.

①學生疑惑：無法判斷直線的大致方向或位置，無法將“直線l把△ABO分為面積相等的兩部分”這一條件進行轉化.

②加工已知信息.信息1“在等腰Rt△ABO中，∠A=90°，點B的坐標為（0，2）”可轉化為點A（1，1）”.

信息2“直線l：y=mx+m（m≠0）”，由于直線表達式的兩項中都有參數m，可提取公因數，則將直線方程轉化為y=m（x+1）（m≠0），進而發現直線過定點（-1，0），這樣就能初步確定直線l的大致方向及確定直線l與線段AB有交點D（如圖3所示）.

信息3“直線l把△ABO分為面積相等的兩部分”，由于直線l的表達式中有未知參數m，故我們要將“分為面積相等的兩部分”轉化為“含參數m的等式”形式才能求參數m.因此轉化為“2S△BDC=S△AOB”，接下來的工作就是用參數m表示S△BDC.

③引導學生反思：反思教師是如何將題中直線方程進行轉化得到大致位置的，反思如何考慮將“分為面積相等的兩部分”轉化為“含參等式”.

在解題教學中，教師要有意識地引導學生對題意理解過程進行反思.當學生積極主動地配合教師進行反思時，學生反思獲得的知識會內化為自己的經驗，經驗能夠被再次調用，從而提高解題效率.

二、反思解題所涉及的知識

在數學解題活動中，會涉及許多數學的公式、定理、定義.教師要適時引導學生在解題中自主調節知識間的分析與轉化過程，引導學生在解題后對題目涉及的知識及知識間的聯系進行反思、總結，進而幫助他們建構知識網絡.

例3（南京市中考題）如圖4，在四邊形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD，O是四邊形ABCD內一點，且OA=OB=OD.求證：∠BOD=∠C.

①加工已知信息.信息1“∠C=2 ∠BAD”且要證明∠BOD=∠C，由信息1得即證∠BOD=2∠BAD.

信息2“OA=OB=OD”怎樣利用？

方法1：聯想外接圓的相關知識（A、B、D三點共圓，同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍）.

方法2：聯想三角形外角的相關知識（延長AO至點E，∠BOE=2∠BAO，∠DOE=2∠DAO）.

②引導學生反思：反思與題目相關的知識，反思通過共點三邊相等（OA=OB=OD）就能聯想到“三點共圓”，反思“要證∠BOD=2∠BAD”，可以聯想到“三角形的外角等于不相鄰的兩內角之和”，反思“一題多解”.

三、反思解題所蘊含的數學思想方法

在數學解題活動中，總會蘊含一些重要的數學思想方法，因此反思數學思想方法成為反思活動的重點之一.教師需要引導學生反思這些思想方法是如何在解題中運用的，它們是否能在其他類型的題目中運用.這樣不斷地引導反思，有利于學生對數學思想方法進一步理解、領悟、運用.

例4（蘇州市中考題）如圖5，已知AB=8，P為線段AB上一個動點，分別以AP、PB為邊在AB的同側作菱形APCD 和菱形PBFE，點P、C、E在一條直線上，∠DAP=60°，M、N分別是對角線AC、BE的中點.當點P在線段AB上移動時，點M、N間的距離最短為______.

①學生錯解：如圖6，作點M（或點N）關于線段AB的對稱點Q，然后連接QN（或QM）與AB交于點H，認為點P在點H時，點M、N間的距離最短.

②學生錯因：求最短距離時，學生慣用“作對稱點”的方法來解題.此時，學生的思維定式影響了解題過程.

③正解：最小值還能利用函數的思想方法來求解.

根據信息1“AB=8，P為線段AB上一個動點”可設AP=x，則PB=8-x，如圖7，連接PM、PN，接著可用x來表示線段PM、PN的長度.

信息2“點M、N分別為兩菱形對角線的中點”，則∠MPN=90°，再利用勾股定理進一步表示MN的長度，最后通過函數求最值.

④引導學生反思：反思“作對稱點”的方法適用于哪種題型，此題（點P、M、N都是動點）為什么不能用此方法，反思利用函數思想求最值問題.

四、反思解題的思考過程

教師要引導學生在數學解題活動過程中或結束后，努力回憶解題的全部思考過程，回憶自己是怎么理解題意的，怎么運用知識的，怎么進行知識點的轉換與變形的；回憶自己的思路與老師或者同學的思路之間存在哪些差異，走過哪些彎路，為什么會走彎路，有什么經驗可以吸取.引導學生進行這種全方位的反思，有利于培養學生的反思習慣，有利于使學生獲得解題經驗并提高解題能力.

五、結語

數學學習離不開解題活動，解題活動亦離不開解題反思.解題反思能幫助學生更好地理解問題、總結問題、得到經驗，進而提高解題質量.當然，除了上述解題反思角度，教師還可以引導學生反思錯題、反思一題多解等.因此現代教師必須了解解題反思的重大意義，在課堂上積極幫助、引導學生對解題活動進行多方位反思.久而久之，學生會樂于通過解題反思來幫助自己形成批判、創造性的思維，從而實現波利亞曾指出的“掌握數學意味著什么？這就是善于解題.不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題”的境界.