例說(shuō)添加輔助線的方法
——一道初中幾何題的解法探究

☉湖北省秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 向曉琳

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，尤其是遇到稍難的幾何題時(shí)，學(xué)生往往不知從何處下手，胡亂添加輔助線，反而使圖形越來(lái)越復(fù)雜，思維更加堵塞，漸漸地對(duì)幾何題敬而遠(yuǎn)之.其實(shí)，添加輔助線是根據(jù)題型來(lái)添加，根據(jù)條件的特殊性來(lái)添加，有時(shí)二者可兼顧.下面就具體例子來(lái)說(shuō)明.

一、典例呈現(xiàn)

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，一個(gè)含45°角的三角板EFG的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，并繞著點(diǎn)E旋轉(zhuǎn).EF交BC于點(diǎn)I，EG交DC于點(diǎn)H.

（1）如圖1，A、B、F三點(diǎn)在同一直線上.

①若DH=2，求BF的長(zhǎng)；

②連接CG，求證：∠HCG=90°.

（2）如圖2，F(xiàn)G經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，若CG=2，求EF的長(zhǎng).

二、解法探究：

（1）①法1：利用三角函數(shù).

設(shè)BF=x，則AF=3+x.

由點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，得AE=DE=3.

由∠AFE=90°-∠AEF，∠DEH=90°-∠AEF，得∠AFE=∠DEH.

則tan∠AFE=tan∠DEH.

法2：利用相似.

設(shè)BF=x，則AF=3+x.

由點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，得AE=DE=3.

由∠AFE=90°-∠AEF，∠DEH=90°-∠AEF，得∠AFE=∠DEH.又∠A=∠D，則△AFE△DEH.

②法1：補(bǔ)成K型圖.

如圖3，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AD，GM交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

易得∠AFE=∠MEG，∠A=∠M，F(xiàn)E=EG，則△AFE△MEG.則AE=MG=3=CD.

由∠ADC=∠M=90°，得DC∥MG.

則四邊形DCGM是平行四邊形.又∠M=90°，則四邊形DCGM是矩形.

則∠HCG=90°.

法2：構(gòu)造全等三角形.

如圖4，連接BE、CE.

易知△ABE和△DCE是兩個(gè)全等的等腰直角三角形.

則BE=CE，且∠AEB=∠DEC=45°，則∠BEC=90°.則∠BEF+∠CEF=90°.又∠GEC+∠CEF=90°，則∠BEF=∠GEC.

在△FBE和△CEG中，BE=CE，∠BEF=∠GEC，EF=EG，則△FBE△GCE.

則∠ECG=∠EBF=135°.而∠ECH=45°，則∠HCG=90°.

法3：證明三角形相似.

易得∠AFE=∠DEH，則sin∠AFE=sin∠DEH.

（2）法1：如圖5，連接EC，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥EG于點(diǎn)Q.

則△CQG是等腰直角三角形.

法2：如圖6，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥FG于點(diǎn)P.

則△EFP和△EGP是兩個(gè)全等的等腰直角三角形.

在幾何問(wèn)題中，輔助線的添加對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，在解幾何題時(shí)經(jīng)常用到.若幾何圖形中的某些量之間的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，為了溝通相關(guān)量之間的聯(lián)系，我們常常要在原圖形中添加輔助線.這樣可以化難為易、化隱為顯.但添加輔助線，要因題而異，雖然變化萬(wàn)千，而且沒(méi)有一個(gè)通法可遵循，但一般都能找到一定的規(guī)律和常用的方法.只要我們知道添加輔助線的目的，在圖形中構(gòu)造我們學(xué)過(guò)的基本模型，然后和模型的特征去比較，就可以利用它們的性質(zhì)去創(chuàng)造有利的條件，從而使問(wèn)題得到順利解決.要想熟練掌握添加輔助線的技巧，必須對(duì)基本圖形的性質(zhì)十分熟悉，多動(dòng)手、動(dòng)腦，善于聯(lián)想，橫向、縱向思維要齊頭并進(jìn).

總之，一道幾何題所考查的知識(shí)點(diǎn)特別多，它不僅涉及學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、所具有的數(shù)學(xué)思想和方法，還涉及學(xué)生的解題能力，所以教師應(yīng)該加強(qiáng)解題思維的分析和學(xué)習(xí)方法的教學(xué)，努力提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.