“多變”的一線三等角
——一節變式教學課的教學策略研究

☉廣東省深圳市觀瀾第二中學 王振鑫

☉廣東省深圳市龍華區教育科學研究院附屬學校 張 璇

一線三等角是初中幾何教學中一種常見的數學模型，其本質是在一條直線上有三個相等的角.初一階段，學生初識全等三角形的判定時，常見的是有三個直角的頂點在同一條直線上，而隨著難度的不斷增加，這個角可以是直角，也可以是銳角和鈍角.有的題目中，需要對不完整的模型通過添加輔助線的方法構建一線三等角，這便需要學生在掌握基礎模型后，能夠熟練辨析這其中的“變”與“不變”.筆者將結合一節廣東省初中數學交流研討課的執教內容，談談通過類比、轉化等數學思想的培養，讓學生感受專題學習的方式和方法.

一、模型呈現，知性明理

1.固化模型，引發思考

例1如圖1，在△ABE中，∠ABE=90°，AB=BE，AC⊥CD，DE⊥CD，你會得到什么結論？如果改變條件：AB≠BE，你又會得到什么結論？

解析：從題目中發現，在圖中有三個直角，且這三個直角的頂點C、B、D在同一條直線上，這是典型的一線三等角模型.由于AB=BE，易得△ACB和△BED全等.若AB≠BE，此時△ACB和△BED相似.而題目中的難點便是如何找到除了直角相等以外的角相等.

2.旋轉變式，激發興趣

變：如圖2，如果將圖1的模型通過旋轉變化，此時能夠得到哪些結論？

解析：通過旋轉變化，轉到圖2的位置，使得三個角沿著某條直線錯開（即在直線的異側），引發學生的思考，此時如果AB≠BE，能有相似的三角形存在嗎？如果繼續旋轉到特殊的位置，如圖3，此時變成了相似中的常見模型——“子母”型，但其本質還是一線三等角模型.通過不斷旋轉，進一步加深學生對模型的意識，為接下來繼續變式奠定基礎.

3.角度變化，加深模型

變：如果將上述的直角進行變化，變成銳角、鈍角、任意角，（如圖4和圖5）結論是否仍成立？

分析：在這個過程中，盡管角度不斷發生改變，但是其中永遠不變的是這三個相等角的頂點都在一條直線上，這便是這個題目的核心.在圖4和圖5中，與圖1模型相同，其找角相等的方法也一樣，以 圖4 為 例：∠C=180° -∠2 -∠CEA，∠DEB=180°-∠1-∠CEA，由于∠1=∠2，則∠C=∠DEB，此時會得到兩個三角形相似.圖6是圖3的角變換模型，具體找角相等的方法和圖3一樣，同樣可以得到三角形相似.

設計理念：《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題，可以把復雜的問題變得簡明、形象，有助于探究解決問題的思路，預測結果.教師通過模型化例題讓學生感知模型的特點和本質，通過簡單變式加深學生對模型的理解，這對接下來通過添加輔助線深入探究一線三等角模型奠定了基礎.

二、模型應用，聯想構造

1.由45°聯想的一線三等角模型

例2如圖7，已知反比例函數的圖像經過點A（3，4），P為該函數圖像上一個動點，若∠POA=45°，則點P的坐標為________.

解析：構造一線三等角，過點A作AB⊥AO交OP的延長線于點B，過點A作x軸的平行線DA，過點B作BC⊥AD于點C，此時構建一線三等角模型，根據全等三角形的對應邊相等可以得到點B的坐標，進而求得直線OP的解析式，將直線OP的解析式與反比例函數解析式聯立，解方程組便可求出此時點P的坐標.

反思：此題中，出現45°角，引發學生思考，我們常見的什么樣的圖形中出現45°的角？等腰直角三角形.如果本題能夠像圖1那樣構造等腰直角三角形就會解決問題，那么此類問題就可以總結為：45°→構造等腰直角三角形→構造“一線三等角”——全等，如圖9所示：

此種45°角的核心問題就是準確作出垂線，作垂線的方法有很多，但只要保證45°角在直角三角形中，那此時就會構建等腰直角三角形，為構建一線三等角模型奠定基礎.不同的構造方式如圖10所示：

在作垂直時，可以從不同的頂點作垂直，但核心是包含45°角，而從45°角出發的一條直線（即三點共線的“線”）可以是水平的，也可以是斜的，最終轉化為從45°角的端點作“線”的垂線，構建基本模型.

三、模型鞏固，識別應用

一線三等角模型在中考中經常應用，如何能夠準確識別該模型并能夠構造模型則考查學生學以致用的能力，因此教師在上課時應該對比各類習題，加強和鞏固學生對相關模型的識別和鞏固.筆者以近7年來深圳中考題目中該模型的應用為例.

題1：（2017深圳12）如圖11，正方形ABCD的邊長是3，BP=CQ，連接AQ、DP交于點O，并分別與邊CD、BC交于點F、E，連接AE，有下列結論：①AQ⊥DP；②OA2=OE·OP；③S△AOD=S四邊形OECF；④當BP=1時，其中正確結論的個數是（）.

A.1 B.2 C.3 D.4

構造模型，如圖12.

題2：（2016深圳12）如圖13，CB=CA，∠ACB=90°，點D在邊BC上（與點B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q.給出以下結論：①AC=FG；②S△FAB∶S四邊形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC.其中正確結論的個數是（）.

A.1 B.2 C.3 D.4

構造模型，如圖14.

其他年份深圳中考題構建模型前后對比：（題目略）

從上述例題構造模型前后的對比，可以發現試題中所出現的復雜幾何圖形往往是我們所熟悉的基本圖形的整合，由若干個基本模型融合而成.這需要教師在教學中引導學生分析題目本質，關注和提煉基本模型，對分析問題和化繁為簡的能力培養有很好的促進作用.縱觀深圳中考題，每年都會涉及一線三等角模型，此題目通常出現在深圳的壓軸題位置，通過綜合性試題的設置來測量學生對知識點的掌握度和綜合分析能力，這是命題者所關注的，而教師要善于培養學生的“火眼金睛”，去挖掘、去發現這樣的一些基本圖形，往往通過對這些基本圖形的探討，對綜合題目進行有效分解，可消除學生對綜合題的畏懼心理，提高問題解決能力.