一道條件相互矛盾的中考試題

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 鐘夢圓

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 劉成龍

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 董萬平

試題命制是一個嚴肅而充滿創造的系統工程.命題既要關注知識、能力、素養的考查，又要注重合適的難度、有效的信度和適當的區分度的設置，更要關注試題的嚴謹性.嚴謹性是數學的基本特征，它要求數學試題內容科學、表述準確、條件相容、問題明確等.中考作為初中階段最重要的區域性考試，對試題命制有很高要求.但遺憾的是，在歷年的中考命題中都會有試題因不嚴謹而出現錯誤.比如，2018年貴州省黔東南·黔南·黔西南中考數學第22題（下文簡稱第22題）第（Ⅱ）問就是一道錯題.本文分析該試題出錯的原因，并給出優化的方案及命題啟示.

一、試題回放

試題：（第22題）如圖1所示，CE是⊙O的直徑，BC切⊙O于點C，連接OB，作ED∥BO交⊙O于點D，BD的延長線與CE交于點A.

（I）求證：AB是⊙O的切線；

二、（Ⅱ）的六種解法

解法1：（命題組提供的參考答案）如圖2，在Rt△ACB中，tan∠A=在Rt△OCB中，則于是

解法2：如圖2，在Rt△ADO中，則AD=4，于是所以AE=

解法3：如圖2，根據解法2可知AD=4，由切割線定理可得AD2=AE×（AE+2），即16=AE×（AE+2），解得AE=

解法4：如圖2，由前文解法可知AD=4，BC=，所以BD=BC=

解法5：由圖2可知S△ACB=S△AOD+2S△OCB，則

解法6：如圖3，取DE的中點F，連接OF，過點D作DP⊥OE于點P.

易得OF為DE的中垂線.

六種解法呈現了五個不同的結果，為什么呢？我們不妨先看看解法中條件的使用情況：解法1、4、5、6中，兩個條件均使用了；解法2、3僅使用了條件.疑問產生了：條件為什么沒有用完呢？在使用相同條件時為什么會出現不同的答案呢？于是，我們可以大膽猜想試題有誤.

三、試題錯誤分析

分析1：從角度入手，探索∠A、∠DEO的正切值間的關系

分析2：從面積入手，探索∠A、∠DEO的正切值間的關系

分析3：從平行邊入手，探索∠A、∠DEO的正切值間的關系

過程略.

從上面的分析可知：tan∠A與tan∠DEO之間的關系為：但試題條件中兩個正切值之間不滿足這一關系，造成條件之間相互矛盾，從而導致試題錯誤.實際上在這一關系下，tan∠A與tan∠DEO這兩個條件只需一個即可完成試題的解答，這為試題的優化提供了方向.

四、試題優化

優化后的條件間不再相互打架，實現了內在的和諧統一.

五、命題啟示

命題工作責任重大，不容許出現絲毫錯誤.如何才能命制出一道道質量較高的試題呢？我們認為至少要做到四個方面：一是命題者要學習命題相關理論——命題工作的方向保障，提高理論認識，用命題理論指導命題實踐，做好命題工作的頂層設計；二是命題者要提高學科素養——命題工作的動力源泉，提高對數學問題的認識與理解，切實做好命題工作的現實創新；三是命題者要啟動磨題程序——命題工作的生命線，通過對試題多次、反復打磨，不斷優化素材呈現形式和條件表達方式，充分把握試題的嚴謹性、合理性和科學性；四是命題者要建立試做機制——命題工作的必然要求，試做是磨題的延續，是命題工作的最后一個環節，通過試做感受試題的難度、發現試題的不合理因素，便于及時糾正和優化，為最終呈現一道道高質量試題把好出爐關.誠然，命制高質量試題不易，但理應成為命題者們不懈的追求和使命.