解題教學要重視“破題”與反思回顧
——以兩則解題教學的片段為例

☉江蘇省海安市城南實驗中學 鄧厚波

解題教學、習題講評幾乎在每節數學課中都有體現，但是不同的數學教師對解題教學的認識和理解有很大的不同，特別是一些未經充分準備的解題教學，往往就題講題，沒有觸及問題本質，也就是史寧中教授所指出的：只知道在講題，但沒有“破題”.本文結合最近聽兩節隨堂課中記錄的講題片段，跟進評析并提出教學建議，供研討.

一、兩則解題教學的片段及教學建議

教學案例（一）“含參”二次函數綜合題講評

說明：這是一份中考模考卷的第26題第（2）問，據講評老師說閱卷時發現很多學生沒做出來，班上只有3名學生用了不同的思路解題，上課前布置了這3名學生先講解此題.

習題1：已知二次函數y=-x2+bx-c的圖像與x軸的交點坐標為（m-2，0）和（2m+1，0）.

（2）若y=1時，自變量x有唯一的值，求二次函數的解析式.

生1：題目中提到二次函數的圖像與x軸的交點坐標為（m-2，0）和（2m+1，0），所以可以先求出對稱軸：x=，結合y=1，代入二次函數表達式中，解關于m的方程可得解.

生3：由圖像與x軸的交點坐標為（m-2，0）和（2m+1，0），可以設二次函數的“交點式”為：y=-（x-m+2）（x-2m-1），再把頂點坐標代入計算.

師：這三名同學的解題思路各不相同，他們在解題時都注意到了什么？

師：題目中什么條件可以幫助你得到頂點的坐標？

生1：由（m-2，0）和（2m+1，0）可以得到頂點的橫坐標為

生2：y=1時，自變量x有唯一的值，說明y=1是頂點的縱坐標.

師：生5（成績中上），你在解題時看出頂點的坐標了嗎？

生5：看出來了.

師：后面為什么沒有做出來呢？

生5：后面不知道怎么做.

師：這道題的最終目標是什么？

生5：求這個二次函數的解析式.

師：這就是你應該接著思考的方向，題目中已有解析式y=-x2+bx-c，可以將b、c用m來表示，比如他們3人的做法，可以將解析式重新設為頂點式或交點式，當我們在解題中失去方向時，不妨看看我們的目標，它也許能為我們引路，當我們沿著方向找不到路時，不妨看看條件，它也許就是解題走向成功的基石.

簡評：雖然上述教學對話讓不少學生似乎理解了這道題的解答，但是我們覺得這類問題的教學關鍵沒有講到位.那么什么是這道習題的關鍵步驟？ 除了在上述對話中教師反復提及的頂點坐標我們認為處理這類“含參”二次函數的另一個關鍵就是“消參”，就像二元一次方程組的求解一樣，需要引導學生重視消去多個參數，如不看后續設問，就應該能夠把二次函數解析式中的b、c用含m的式子表示出來，從而再借助對最值或頂點的分析就能實現問題解決.教學中可以適時出示一些提示性、鋪墊式問題：

問題1：用含m的式子分別表示b、c；

問題2：畫該二次函數的圖像（拋物線，草圖），并用含m的式子表示頂點的坐標.

教學組織：教學過程中讓學生圍繞這兩個問題充分討論、交流、展示，可以實現鋪墊問題的教學價值，促進學生想清、想透問題求解的關鍵.

教學案例（二）旋轉后探究定點與動點的最小距離

習題2：在平面直角坐標系xOy中，點O（0，0）、A（2，0）、.將△OAB繞點O順時針旋轉α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′，（其中點A旋轉到點A′的位置）設直線AA′與直線BB′相交于點P，則線段CP長的最小值為（）.

師：由題目我們可以知道，C是定點（-2，0），而P是動點，所以要求線段CP長的最小值，我們需要知道什么呢？

生1：點P的運動軌跡.

師：非常好，那點P的運動軌跡是什么呢？請同學們根據題目中的已知條件先自行畫出圖形來思考.

（學生自己畫圖，教師巡視，發現了幾種不同的畫法，挑選其中的圖1摘記如下，有幾個學生因為畫圖不精準，比如旋轉后△OA′B′的形狀與大小發生變化，影響了思路探究的方向，教師提醒了學生作圖要準確）

師：這種圖形對應的是α在什么范圍內的情形？

生2：0°＜α＜90°.

師：還有同學畫的是旋轉角度在90°＜α＜180°、180°＜α＜270°或者270°＜α＜360°的吧，你們把圖形檢查一下：是否精準構圖？通過這些有代表性的圖形，你能發現點P的運動軌跡嗎？如何說明呢？

（學生眉頭緊鎖，感覺還是無從下手）

師：換個問題，你能求出∠APB的度數嗎？請同學們對照各自所畫的圖形求解.

（學生思考，在練習本上書寫過程，教師在巡視過程中發現一些成功的解法，安排相應學生上臺講解）

生3：由旋轉過程我們可以知道，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，所以可以得到△AOA′～△BOB′，所以∠OAA′=∠OBB′.又∠OAA′+∠OAP=180°（平角的定義），所以∠OBB′+∠OAP=180°，所以在四邊形OAPB中，由四邊形內角和為360°，可以得到∠AOB+∠APB=180°，所以∠APB=90°.

師：嗯，好，說得非常詳細.得到∠APB=90°.那么其他不同旋轉角度情況下是不是也能得到∠APB=90°呢？哪個同學來說明一下？

生4：同樣可以得到，因為證明相似或推導等角的一些要素都沒有變化，只是圖形位置發生了變化.

師：你們分組再互相講解一下證明直角的過程.

師：現在知道了始終有∠APB=90°，那你說點P的運動軌跡是什么呢？

生5：以AB為直徑的圓.

生6：會！

師：那么，誰來給大家說一下？好的，你上臺講解一下.

生6：首先，我們可以知道點P運動的圓的圓心，記為點Q，其坐標為，半徑為2.CP最小就是CQ-r，即

師：同學們聽懂了沒有？

生：（齊）懂了.

師：好的，如果我要求CP長的最大值呢？

生：（齊）CQ+r.

師：相信同學們下次再遇到這類題型應該能夠解決了.

簡評：這道考題突破的關鍵是三角形繞原點旋轉后其中一組對應邊所在直線的夾角問題，從上面的教學對話來看，教師在這個方面引導學生進行了較為深入的討論，并且在不同旋轉后的圖形位置進行了畫圖探究，教學用時較多.我們認為，從解題教學效率來看，不宜讓學生畫出這么多旋轉之后對應的圖形，這些圖形的精準構圖耗時費力，是一種較為盲目的試探性質的“實驗畫圖”，通過大量“實驗畫圖”發現規律對于考場上解決這類問題消耗的時間來說成本太高，并不是有效的應試解題指導.考慮到選擇題解題的特殊性，我們可以任選一個旋轉角度，以特殊角度30°、45°或90°為例，可以構造一些特殊位置，獲得求解方向之后，引導學生“走向一般”進行思考、歸納并大膽猜想，如果有條件，教師課前應該制成幾何畫板的演示課件，以提高課堂效率.

二、進一步的思考

（一）開展較難習題講評之前教師精心備題

從上面兩則解題教學片段來看，教師在上課之前都對相關學生答題進行了批閱，教師本人也理解了學生的一些不同解法，所以安排了不同學生上臺講解，并跟進追問，看似準備得比較充分，其實精心備題還有很多可以提升之處，比如，教師要想清問題求解的關鍵步驟，并從學情研判出發，思考多數學生不能順利求解的原因是什么，需要在哪些方面加強引導、教學干預，就如我們在上面提供的一些操作性建議一樣，這樣的“鋪墊式問題”在課前充分預設了，就可以讓課堂討論、交流有一個主線，以免學生的講題“踩著西瓜皮，滑到哪里是哪里”，造成解題教學效率的低下.

（二）解題教學后要安排解后回顧、明辨難點

從上面兩個解題教學的片段來看，教師在解題教學之后，都沒有引導學生反思回顧，想清辨明這些較難題的關鍵步驟、易錯之處，這是一種教學遺憾.美國著名數學教育家波利亞在名著《怎樣解題》中一再強調解后回顧的重要性，是值得我們傾聽的，并將這種解后回顧與反思傳遞給學生，讓他們也懂得解后回看問題結構、關鍵步驟、難點障礙點等，這樣的教學環節就像從“黑暗中摸索”走向“開燈看清”一樣，不可或缺.