初中數(shù)學(xué)“分式”復(fù)習(xí)的有效探索

☉江蘇省無錫市江南中學(xué) 陸曉冬

在掌握整式運(yùn)算與因式分解的基礎(chǔ)上，我們又學(xué)習(xí)了分式，對代數(shù)式有了更深的認(rèn)識與理解.初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)與式”包括5部分：有理數(shù)、實(shí)數(shù)、整式、分式和二次根式，分式是其中的一部分.后繼學(xué)習(xí)用到分式的不多，只有反比例函數(shù)中有少許應(yīng)用.中考中分式是必考內(nèi)容，尤其是分式的化簡求值常作為解答題出現(xiàn).

一、基礎(chǔ)知識回顧

基礎(chǔ)知識即學(xué)習(xí)中最基本、最常用的知識，它簡單實(shí)用、容易記住，也是最重要的知識，“萬丈高樓從地起”，只有把基礎(chǔ)知識打牢，才能更好地?cái)U(kuò)展和運(yùn)用.當(dāng)然，初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，在教材中都用加粗的黑體字寫出.它包括一些基本概念和運(yùn)算法則.本次在回顧時(shí)，把其中關(guān)鍵詞空出來，希望學(xué)生在填空的同時(shí)引起注意.

（1）一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有______，那么式子叫作分式.

（3）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）同一個______的整式，分式的值不變.

（4）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的______約去，叫作分式的約分.

（5）分子與分母沒有______的分式，叫作最簡分式.

（6）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式化成與原來的分式相等的______的分式，叫作分式的通分.

（7）取分母的所有因式的______的積作公分母，叫作最簡公分母.

（8）分式乘分式，用分子的積作為積的______，分母的積作為積的______.

（9）分式除以分式，把除式的分子、分母______后，與被除式相乘.

（10）分式的乘方要把分子、分母分別______.

（11）同分母分式相加減，分母______，把分子相加減；異分母分式相加減，先______，變?yōu)開_____的分式，再加減.

（12）一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，a-n=______（a≠0）.這就是說，a-n是an的______.

（13）小于1的正數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為______的形式，其中1≤a＜10，n是正整數(shù).

（14）______中含未知數(shù)的方程叫作分式方程.

（15）解分式方程的基本思路是將分式方程化為______，具體做法是“______”，即方程的兩邊乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般方法.

（16）將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值______，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.

二、考點(diǎn)解密

“分式”這一章的知識點(diǎn)比較多，我從近幾年各地中考數(shù)學(xué)試卷中，選取了其中考查分式的典型考題作為例題，通過考點(diǎn)的布列與展示，使學(xué)生進(jìn)一步梳理知識，明白哪些是中考的考點(diǎn)，中考是如何考查的，通過例題的講解與評注，使學(xué)生進(jìn)一步厘清其中的易混點(diǎn)、易錯點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)及重點(diǎn)問題的通性、通法，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解與掌握知識，提高對“分式”這一章重要考點(diǎn)的認(rèn)識.它可以分為分式與分式方程兩大部分的內(nèi)容.

考點(diǎn)精講（一）分式

考點(diǎn)1：分式的定義

分式的定義是整個分式這一章知識的起源，只有弄清了這個概念，才能去界定其他概念.

例1下列式子是分式的是（）.

解析：的分母是數(shù)，不含字母，屬于整式，的分母中含有字母，屬于分式，故選C.

評注：一個代數(shù)式是否是分式，關(guān)鍵看分母，若分母中有字母，那么它就是分式，特別地，中的π雖然是一個希臘字母，但它表示圓周率3.1415926……，是一個確定的無理數(shù)，故不是分式.π在代數(shù)式中出現(xiàn)，都表示圓周率，是一個數(shù).

考點(diǎn)2：分式為0的條件

分式為0的條件，是中考考查的熱點(diǎn)問題，因?yàn)樗B帶考查了分式有意義的條件：分母不為0，它常與絕對值或平方差公式結(jié)合在一起.

例2若分式的值為0，則x的值是（）.

A.1 B.-1 C.±1 D.2

解析：由分式，得|x|-1=0，x+1≠0，解得x=1.故選A.

評注：分式的值為0的條件是：分子為0且分母不為0.也就是說，在分式為0的時(shí)候，不能忘記使分式有意義，若分式無意義，分式的值為0還有什么意義呢？ 所以分式的值為0的兩個條件，必須同時(shí)滿足，缺一不可.

考點(diǎn)3：分式的值

分式的值就是把字母的值代入后求得的具體數(shù)值，它在中考中出現(xiàn)的形式比較靈活，可以與方程結(jié)合，也可以與有理數(shù)的除法法則結(jié)合.

例3若a2-ab=0，則=（）.

解析：a2-ab=0，則a（a-b）=0，則a=0或a=b.當(dāng)a=0時(shí)，；當(dāng)a=b時(shí).故選C.

評注：根據(jù)有理數(shù)乘法法則，當(dāng)ab=0時(shí)，必有a=0或b=0；根據(jù)有理數(shù)除法示則，當(dāng)時(shí)，必有或當(dāng)時(shí)，必有

考點(diǎn)4：分式的化簡求值

分式的化簡求值，就是將分式化為最簡分式或整式，然后將字母的值代入求值.它是中考考查的高頻點(diǎn)，因?yàn)樗C合考查了因式分解、數(shù)與式的運(yùn)算，同時(shí)是化歸思想的一種體現(xiàn).

例4化簡分式：并從1、2、3、4這四個數(shù)中取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值.

解析：先化簡分式，即：原式=

由x2-4≠0，x-3≠0，x2-4x+4≠0，得x≠2，x≠-2且x≠3，則可取x=1代入，得原式=3.

評注：在分式的化簡求值問題中，先化簡再求值，分式化簡其實(shí)就是分式的通分、約分和因式分解的綜合運(yùn)用，加減運(yùn)算運(yùn)用通分，乘除運(yùn)算運(yùn)用約分，在確定最簡公分母和確定公因式時(shí)運(yùn)用因式分解.選擇合適的值代入，不是任意選擇，而是選擇不會使分母為0的值代入.

考點(diǎn)精講（二）分式方程

考點(diǎn)1：分式方程的解

分式方程的解，就是使分式左、右兩邊相等的未知數(shù)的值，這樣的問題，對于分式方程來說是個難點(diǎn)，因?yàn)樗笙冉庖粋€含字母系數(shù)的分式方程，在解方程時(shí)，把字母看作已知數(shù)，只有x是未知數(shù)，然后對分式方程的解進(jìn)行討論.這樣的問題，綜合了分式方程的解法、分式方程的解、一元一次不等式的解法等知識.

例1已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，那么a的取值范圍是（）.

A.a＞1 B.a≥1 C.a≥1且a≠9 D.a≤1

解析：解分式方程，得x=

則a的取值范圍為：a≥1且a≠9，故選C.

評注：此類題解答的一般步驟是：解分式方程，根據(jù)條件建立不等式且分母不為0；解不等式確定字母的取值范圍.解分式方程時(shí)，按解分式方程的一般步驟進(jìn)行；建立不等式時(shí)要同時(shí)考慮分母不為0.

考點(diǎn)2：分式方程的增根

分式方程的增根，是指使最簡公分母為0的根，這樣的根，對于分式方程來說，是增根，所以它不能代入分式方程，對于分式方程去分母后的整式方程來說，它是整式方程的根，所以它可以代入去分母后的整式方程，因此這樣的根仍然很有用.

例2關(guān)于x的分式方程

有增根，則m的值為______.

解析：方程兩邊都乘（x-1），得7x+5（x-1）=2m-1.

由原方程有增根，得最簡公分母（x-1）=0，解得x=1.

當(dāng)x=1 時(shí)，7=2m-1，解得m=4，所以m 的值為4.

評注：增根問題可按如下步驟求解：（1）讓最簡公分母為0確定增根；（2）化分式方程為整式方程；（3）把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

考點(diǎn)3：分式方程的應(yīng)用

方程是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的一種數(shù)學(xué)模型，分式方程也是如此，所以實(shí)際生活中的一些問題可以運(yùn)用列分式方程解決.這也是學(xué)習(xí)分式方程解法的目的之一.

例3用A、B兩種機(jī)器人搬運(yùn)大米，A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)20袋大米，A型機(jī)器人搬運(yùn)700袋大米與B型機(jī)器人搬運(yùn)500袋大米所用時(shí)間相等.求A、B型機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少袋大米.

解析：設(shè)A型機(jī)器人每小時(shí)搬大米x袋，則B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x-20）袋.

解這個方程，得x=70.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=70是方程的解，所以x-20=50.

答：A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)大米70袋，B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)50袋.

評注：列方程解應(yīng)用題一般步驟為：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、作答.其中的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系.題目中的數(shù)量關(guān)系比較多，每個數(shù)量關(guān)系只能用一次，即列代數(shù)式用過的，列方程時(shí)就不能再用了.

三、復(fù)習(xí)建議

在本章知識中，“類比”和“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想貫穿其中，類比分?jǐn)?shù)理解分式，遇除法轉(zhuǎn)化為乘法，遇異分母轉(zhuǎn)化為同分母，遇分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.在理解的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵在于計(jì)算的訓(xùn)練，本章的重點(diǎn)是分式的運(yùn)算與解分式方程，應(yīng)抓住核心知識進(jìn)行訓(xùn)練，通過訓(xùn)練形成技能，通過做練習(xí)在手的動作上留下記憶.計(jì)算始終是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，而馬虎是計(jì)算的大忌，所以認(rèn)真、細(xì)致復(fù)習(xí)是本章內(nèi)容的又一關(guān)鍵.