建模思想在初中數學復習中的應用

☉甘肅省張掖市山丹育才中學 劉 榮

所謂“數學模型”，是指用數學符號和形式化的語言，對某一研究對象的主要特征、關系進行抽象性和概括性的表述.“數學建模思想”作為一種數學思想方法，就是將需要解決的數學問題，通過轉化，化歸為已經解決或容易解決的數學問題，并綜合運用所學的數學知識和技能進行求解.

一、建模思想類型題的特征

在歷年中考中，數學建模思想類型題越發突出，大多考查數學思想和方法的靈活運用，主要體現在解決生活中的實際問題的應用題.

1.主要特征

（1）“新”.創設“新”情境，提出“新”問題，富有“新”含義，生成“新”感悟.

（2）“熟”.題型所選擇的背景材料都源自學生較為熟悉的日常生活中，具有時代的氣息，并富有教育價值.

（3）“深”.引導學生從具體的生活實際中感悟抽象的數學意義，有著較深的立意，培養學生對數學模型的運用能力和應用數學的意識，其中涉及的數學知識較“易”，卻具有較高的思維價值，讀懂讀透是一道難關.

（4）“活”.題目以考查學生的綜合運用能力為主，注重能力的考查，在解題方式上具有較強的靈活性，充分體現了數學學科核心素養.

2.解答步驟

（1）建模.在解題的過程中，數學建模是解題的基礎.所謂“建模”，也就是說，在讀懂和理解的基礎上，將問題的本質轉化為數學問題.

（2）求解.靈活運用所學知識和技能，分析數學模型，進而解決純數學問題.

（3）分析.對借助模型求解的結果進行分析，并做出預測、判斷及控制.

（4）檢驗.借助實際現象和一些數學去檢驗模型是否合理、實用和正確，而后寫出結論.

二、中考命題的走向和建議

筆者翻閱往年的中考試題發現，不少方法類試題和函數圖像相結合，與學生的日常生活貼合度較高，透過研究函數的數學性質去考查學生對函數知識的實際應用能力，尤其是運用函數解應用題這種題型出現頻率比較高.因此，教師應當予以重視，積極引導學生體會數學思想方法，關注知識的梳理，并歸納內在的關聯.

很多時候，教師以教材知識的傳授為主，重視教材中的概念、定理、公式、證明、計算等，卻忽視日常生活與數學知識的關聯，導致學生解決實際問題時束手無策，無法綜合運用數學知識去解決縱橫交錯的實際問題.

因此，教師需引導學生關注熱點生活情境，關注數學知識與日常生活的聯系，實現真正意義上的數學源自生活實際，又可以創造性地解決生活實際問題；收集數學實例，在進行課題學習時，給學生創設更多實踐操作的機會，引導其進行分析、推理、轉化、遷移，樹立應用數學的意識.當然，建模思想必不可少，數學教師還需引導學生建構數學模型，進而解決實際問題.

三、中考中建模思想的應用

在中考綜合復習的過程中，需以數學教材作為介質，不斷改革教學方法，并借助觀察、搜集、比較、歸納、轉化等一系列活動，科學地加工和處理情境式應用題，進而建構數學模型，提升數學能力.

1.方程（組）模型

所謂“方程（組）模型”，也就是借助方程（組）模型去探究日常生活中的數量關系，進而解決生活實際問題.借助抽象化的“方程（組）模型”，在清晰的數量關系中展現實際問題，使人們對日常生活中的打折、銷售、儲蓄利率、分期付款、工程問題等有一個理性的認識.

例1某工廠生產機器，在第一季度共生產甲和乙兩種機器共480臺.而后進行技術改進，并制定計劃在第二季度共需生產甲和乙兩種機器共554臺，且甲機器的產量需比第一季度的產量增加10%，乙機器的產量需比第一季度的產量增加20%.請問：這家工廠在第一季度生產了多少臺甲機器和多少臺乙機器？

2.不等式（組）模型

在人們的日常生活中，數量之間的不等關系遍及每一處，如市場營銷的一些方案設計問題等，都可以通過剖析數據，建立相應的不等式模型，進而解決實際問題.

例2一超市銷售多種商品，其中甲型商品一件進價為10元，以15元的價格售出；乙型商品一件進價為30元，以40元的價格售出.

（1）假如這一超市一次性購進80件甲型和乙型兩種商品，進貨總價為1600元，請問：購進的甲型和乙型商品各為多少件？

（2）這一超市為達到甲型和乙型商品一共80元的總利潤（利潤=售價-進價），進貨總價比600元多，但不能超過610元，請你設計出合理的進貨方案.

3.幾何模型

幾何和人們的日常生活息息相關，如建筑、測量、道路的拱橋設計等都會牽涉到圖形的性質問題，學生需將一些生活問題抽象轉化為幾何問題，從較為復雜的圖形中將基本模型分離出來，進而解決.這類幾何建模問題，在中考中主要考查學生的數學思想.

例3如圖1所示，該紙片為正方形，此正方形ABCD的邊長是3，點E位于邊BC上，點F位于邊CD上，折疊該紙片，將邊AB和AD沿著邊AE和邊AF向內側折疊，使點B和點D重合在點G上，現有BE=1，請問：EF的長為多少？

4.函數模型

函數展現的是事物之間的普遍關聯，體現了實際中縱橫交錯的數量關系和運動規律.日常生活中的很多問題，如最小成本、獲利最大、最優化方案等，都可以通過函數模型求解.筆者探究發現，在中考中函數模型發揮著舉足輕重的作用，分值也是顯而易見的，堪稱中考熱點題型之一.

例4某一商店進購一批商品，其進貨價格為每件60元，并以每件80元的價格賣出，每月可賣出300件，經調查顯示：在單價上升1元的情況下，此商品每個月的售出量則相應減少10件.

（1）請寫出每個月售出此商品的利潤y（元）和單價上升x（元）之間的函數關系式；

（2）當單價是多少元時，此商品每個月銷售的利潤達到最高值？獲取的最大利潤是多少？

5.建立概率模型

概率問題，在經濟、管理、自然科學等各種領域都有涉及和應用.比如，彩票的中獎率、預測比賽的結果等問題，都可借助概率模型解決.

例5現有不透明的袋子中裝有編號為1、2、3、4的四種形狀、大小、質量完全相同的圓形小球，甲、乙兩人完成游戲：兩人各自從袋子中取出1個球，而后將兩個人手上的小球編號相乘，當積是奇數時，判甲獲勝；當積是偶數時，判乙獲勝.問：你認為這個游戲規則公平嗎？請借助概率進行闡述.

6.統計模型

統計這一類型的應用題，在科學領域和人類生活中都起著廣泛的作用.這種題型主要檢測學生的統計思想、綜合應用能力和分析并處理數據的能力，借助收集數據、分析數據，進而做出合理化的決策.如競聘選舉、投標問題、公司招聘等，將日常問題抽象轉化為統計模型，借助統計的相關知識解決.

例6一單位打算從單位內部競聘出一位管理人員，現有出A、B、C三名候選人，經歷筆試和面試兩場測試后，三人的成績如表1所示：按照流程還需組織民主投票，單位共200名員工，投票（不可棄權，且每人只能投1票）后，每獲取1票便得1分，A為25%，B為40%，C為35%.

（1）請算出A、B、C三人的民主投票得分情況；

（2）如何根據筆試、面試和民主選舉這三場測試的平均成績確定競聘人選？

（3）假如按實際需求，該單位根據筆試、面試和民主選舉三場測試的分數以比例4∶3∶3來確定人選，請問：A、B、C三人中，哪一位會被選中？

表1

總之，幫助學生建構模型解決應用問題可以積極、有效地提升學生的數學知識、數學技能和綜合能力.復習課的精彩，需要數學教師有效整合知識，總結數學方法，滲透數學思想，進而培養應用能力，啟迪學生的數學靈感，培養學生的思維品質.