研磨知識體系，提升復習思維
——也談初三數學總復習的教學實效

☉浙江省湖州市南潯區南潯錦繡實驗學校 孔傳輝

初三數學總復習是畢業班教學的一個重要階段，是學生再學習、再創造的過程，也是全面提高學生數學素質，發展學生思維能力，培養學生分析問題、解決問題能力的“收獲季節”.在總復習中通過構建數學知識網絡，精選典型中考題型，歸納數學思想方法，設計分層鞏固練習，積累數學解題經驗，每一節課都覺得時間緊，任務重.如何針對不同復習內容選擇合理的復習方法，運用恰當的教學手段，精選優質的習題，使不同層次的學生都能主動參與，有所收益，真正達到夯實基礎、查缺補漏、拓展提高呢？下面我從構建數學知識框架，合理選題方面淺談本人的幾點探索.

一、自主梳理知識，構建知識網絡

數學復習，知識點的掌握是首要的，也是關鍵的，它是解題之源、思維之本.初三數學復習目標是回顧、理順舊知，更好地形成知識體系，使得知識結構更清晰化、系統化.知識的構建不是簡單的敘述或列舉，更不是知識、方法的簡單重復，而應是學生自主建構、不斷更新、持續生長知識的過程.

（一）妙用板塊形式梳理，清晰創建知識結構

在梳理知識時，傳統的做法是以教師講為主，通常是知識點回顧，一一羅列出，耗時費力、學生較為被動，而學生掌握的更多的是零散、瑣碎的知識.而引導學生厘清知識，自主創建知識小板塊可更好地促發學生的參與感.當知識點較多時，教師可布置預學任務單，讓學生根據要求，先在課外整理，再在課堂上交流.

案例1：在“二次函數”的復習中可形成如下的知識板塊：

（1）概念：形如y=ax2+bx+c（a≠0）.

（3）二次函數的平移規律拓展到軸對稱與旋轉變換（著重頂點與開口的變化）.

（4）求拋物線的解析式（根據條件靈活選擇）.

①一般式：y=ax2+bx+c；②頂點式：y=a（x+h）2+k；③交點式：y=a（x-x1）（x-x2）.

（5）二次函數與一元二次方程之間的關系.

設計意圖：以板塊的形式提煉出二次函數的主要內容，以結構化的形式明晰知識，有效地促進學生的知識建構，有助于學生把二次函數的圖像、性質融會貫通.

（二）活用思維導圖創構，優化知識網絡體系

心理學家認為，數學學習的重中之重就是給學生建立一個數學思維結構.知識的總結，尤其一章內容的總結，需建立知識結構框架，在確定好復習內容后，根據復習目標，通過讓學生（獨立或小組合作）繪制思維導圖，使其參與知識的構建，提高效率的同時，養成自主學習的習慣.

案例2：在“四邊形性質與判定”這節課的復習中，教師可以將需要復習的概念羅列清楚，厘清各個概念之間的關系，讓學生提前利用思維導圖來構建知識框架，使得四邊形內容更加系統化和層次化.圖2和表1是兩名學生整理的四邊形判定與性質的思維導圖：

設計意圖：學生通過小組合作，用思維導圖的形式表征復習內容，別出心裁，增強了參與感，歸納知識點，更加直觀，有利于記憶與理解.

表1

（三）巧用串問以線帶點，聯動突出知識主線

一般可采用一條或幾條主線把知識串聯起來，使知識由點到線，再由線到面.例如“實數”的復習，概念多，較零碎，可找準主線，引導聯系.可以數軸這個知識為主線：數軸給我們提供了哪些信息？通過數軸你能聯系到哪些知識點？（強化數形結合的思想方法）（相反數、絕對值、實數的分類、有理數大小比較……）

這個環節的復習目的是讓學生全面、系統掌握初中數學基礎知識、基本技能，力求全面、扎實、系統，使學生對所學內容形成一個知識網絡體系.“過三關”：過記憶關，過基本方法關，過基本技能關.

二、精選例題，建構思維

精心選題是上好復習課的重要一環，選題得當事半功倍，否則勞而無功，達不到預期的目的，因此教師應結合《義務教育數學課程標準（2011年版）》《考試說明》，從提高學生數學能力出發，以課例、中考試題、學生錯題典例為生長點，形成生長鏈，使學生實現從知識的內化到能力的遷移、升華.

（一）立足教材，注重例題變式的精選——引導生長點

源于教材，活用教材，很多例題具有科學性、示范性、導向性，而且教材中的例題有規范的解答過程，控制了教材的深度和知識的輻射范圍.立足教材的基礎，同時挖掘一些典型例題的內涵與外延，就是注重例題的改編與變式，讓學生在已有的基礎上進行思考與衍生.

案例3：（浙教版八上）如圖3，已知點C為線段AB上一點，△ACM和△BCN是正三角形.求證：AN=BM.

（1）將△CNB繞點C順時針方向旋轉60°、120°、180°（如圖4、圖5、圖6），AN和BM相等嗎？為什么？

（2）如果正三角形換成正方形（如圖7），AN與BM有什么關系？

（3）如果A、B、C三點構成一個三角形的三個頂點，在AC、BC上向外作正三角形或正方形（如圖8、圖9），這時AN與BM又有什么關系？

設計意圖：通過“形變擴思”，以“形”設疑，以“形”引思，以“形”促思，除了能提高學生學習的興趣，圖形的多次演變，還將促使學生的思維活躍、擴展，在信息的多次變化中，引導學生思維的生長點.

（二）著眼中考，注重改編精選考題——拓展發散點

初三數學復習堅持以課標為主線，以考試說明為根本，中考數學試題往往具有較強的熱點性、導向性、典型性，很多題目的設計都堅持了能力立意，將數學知識、方法、技能和數學思想有機結合起來.精選中考試題，解析建模，應用遷移，通過改編例題，以期舉一反三.

案例4：【模型建立】

（1）如圖10，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E.求證：△BEC△CDA.

【模型應用】

（2）如圖11，一次函數y=-2x+2的圖像與y軸交于點A，與x軸交于點B，過點B作線段BC⊥AB且BC=AB，直線AC交x軸于點D.

①求點C的坐標，并直接寫出直線AC的函數關系式；

②若點Q是圖11中坐標平面內一點，當以點A、D、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形時，直接寫出點Q的坐標.

設計意圖：通過三垂直的全等三角形這一基本模型生長問題，進一步拓展到函數圖像中求點的坐標，讓學生積累識別、應用模型的經驗，理解問題本質，領悟數學化歸思想.

（三）析錯糾誤，注重錯題精選典例——明晰錯誤點

引導學生在數學作業中建立錯題檔案.要求學生準備錯題本，收集摘錄平時作業、測驗中經常性出錯的題目和給自己留下深刻印象的錯題，建立錯題檔案.對于每道錯題，都要分析錯誤原因，列出正確的解法，并且得到體驗和啟發.表2是錯題本的模板.

表2

摘用學生錯題時，通常選取同一解法中同一知識點的不同錯題，也注重選擇比較典型的題目，一題多解的各種解法及對解法進行分析和評價，通過討論和評析，互相學習他們的經驗和方法，進行對比分析，舉一反三，觸類旁通，加深對數學知識內涵與外延的理解，提煉數學思想方法，提高數學學習能力.

解題時應讓學生掌握概念的實質，嚴格審題，周密思考，訓練思維的嚴密性.

案例5：（1）若關于x的分式方程有一個正數解，則k的取值范圍是______.

分析：先解方程得x=6-k.因為x＞0，所以k＜6.x≠3這個條件很容易被忽略.

（2）已知函數y=（m-1）x2-2mx+4.證明：不論m取何值，此函數總與x軸相交.

分析：對二次函數來說，a≠0的條件至關重要，不可忽視.但第（2）題未強調是二次函數，應分m-1=0和m-1≠0兩種情況討論求解.

設計意圖：以上兩例說明不掌握數學概念的實質，命題結論成立的條件、適應范圍，運用時就容易產生錯誤，在復習中，教師要有意識地設計一些類似的“陷阱”，以訓練學生思維的嚴密性.

三、反思提煉，升華思維

反思是一條能夠有效地使學生學習能力得到升華的途徑，失去了反思，也就失去了創造力，同時會陷入題海中，教師要通過題后小結、課堂小結用心地培養學生反思的良好習慣.

（一）課堂互動中引導學生反思、內化

課堂是教育教學工作的靈魂.課堂上的45分鐘是教師完成教學任務的主陣地，是學生學習知識的前線.課堂效率也決定著學生學習的效率.學生的反思往往不是與生俱來的，而是通過教師的教學及啟發，然后結合自己的主觀意識和自身的能力得到技能的提升.在課堂中，教師多結合習題給予指導，留出時間讓學生進行反思，并對反思的結果進行交流，教師給予補充，確實提升學生的概括能力、抽象能力、表達能力，促進學生知識構建，使學生更好地把握課堂知識的全貌.

（二）典例解析生成中引導學生拓展提升

初三學生具備了一定的反思能力.有的自我反思意識較強，反思力較強，有的自我反思意識薄弱，反思力不足.所以在教學過程中，要有意識、有目的、有計劃地教給學生自我反思的方法，提供各種載體和平臺培養學生自我反思的能力，培養學生的反思性學習習慣，這不僅能激發學生的學習興趣，而且有助于增強學生學習的積極性和主動性.在數學學習中，其主要表現為：善于從多方面、多角度、不依常規地去思考問題、發散思維，善于多方探求，對于一個問題，能通過聯想、類比、遷移，獲得解題的方向，尋求解決問題的最佳方案，從而自主提高自己的綜合素質，挖掘自己的潛能，不斷提高自身的數學素養.

案例6：在專題復習圖形的折疊問題時，可以說2017年金華中考第23題非常經典，如圖12，將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點A的對稱點D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC底邊上的高線EF、HG折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形.類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼合成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形.

（1）將?ABCD紙片按圖13所示的方式折疊成一個疊合矩形AEFG，則操作形成的折痕分別是線段________、________；S矩形AEFG：S?ABCD=________.

（2）ABCD紙片還可以按圖14所示的方式折疊成一個疊合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的長.

（3）如圖15，四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10.小明把該紙片折疊，得到疊合正方形.請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出AD、BC的長.

問題1：折疊問題中首要抓住什么？重疊的是哪些圖形？

問題2：要折成正方形，有什么折法？小組合作并展示.

兩種折法：如圖16與17.

設計意圖：本題是由較為常見的折紙而引入的數學問題，通過折痕的不斷變化，從特殊到一般，從而生長成層次性較強的問題鏈，形成思維場，關鍵是要引導學生抓住基本支架——折疊后的等量，從不同視角（勾股定理、相似三角形對應邊成比例）建立方程，再結合示例動手操作得到正方形，感悟數學思想的靈動，促進思維的迸發.

本例講述完后，讓學生點評悟與得，幾何好像推理斷案，從基本圖形中找到蛛絲馬跡，合并條條線索，通過層層剖析，由淺入深，自現象而本質，從具體而抽象，一步步深入思考和探究，做出科學的推理和正確的判斷，培養了思維的邏輯性，鍛煉探索問題的能力，從而產生“深者得其深，淺者得其淺”的效果.數學復習課不僅僅是刷題的程序化教學，更多的是激發學生思考、拓展學生思維的師生互動教學.

教學實踐表明，構建數學知識框架，精心選題，反思提煉是提高復習質量的保障，三者缺一不可.在初三數學總復習中，把分散的知識點連成線、結成網，使所學知識系統化、條理化，挖掘教材，夯實基礎是根本；精選習題，提質減負是核心；強化訓練，發展能力是目的.反思總結，深化思維，關注知識關聯生長，只有這樣，才能以不變應萬變，以一題帶一片，融會貫通，開發學生的思維空間，真正提高學生的綜合能力及水平，提高初三數學總復習的針對性和實效性.