開拓學生數形結合的數學思想
——以二次函數的圖像為案例

☉浙江省桐廬縣實驗初級中學 周建洪

初三學生已經有了一定的數學基礎，但是數學思想的構建仍然是一大難點.回憶自己的中學階段，數學教材分為《代數》、《幾何》、《三角函數》，當時的學習情境歷歷在目，各部分內容都是孤立的體系，教師也很少“灌輸”數學思想，試題的知識點也是無滲透的.現如今筆者成為一名教育工作者，對教數學有了深刻的理解：教給學生的是數學的思想方法，是數學的核心素養.

一、對數、形的理解是課堂教學的前提條件

近來授課的內容是“二次函數的圖像”，是學習過二次函數的概念之后的一節內容，知識內容就是代數向幾何的滲透，是數形結合思想的真實展現.作為這節課的集體備課中心發言人，筆者有著渲染“數學思想”義不容辭的責任.在研究過程中筆者提出了三個觀點：

第一，二次函數是一種自變量與函數對應的關系，按照教材的設計，可以讓學生在課堂上完成最簡單的二次函數y=x2，在x的取值范圍內列出函數對應值表：

表1

第二，讓學生建立直角坐標系（準備好坐標紙），在直角坐標系中將相應的點標出來，然后用光滑的曲線連接起來.將數標成對應的點，繪成二次函數圖像，這正是數形結合思想，在課堂教學中對初中生傳遞這樣的思想，有利于他們數學的能力發展和素質的提升.

第三，引導學生認識二次函數的圖像的具體特點，引出拋物線的概念、拋物線的頂點的概念和拋物線開口的方向等.在課堂上，必須讓學生熟練掌握二次函數的圖像的具體特點，預設具有針對性的課堂填空練習.通過拋物線的基本特征讓學生由形轉化為數，明確拋物線上的任一點如頂點等都是滿足二次函數表達式的，也就是說，在拋物線圖像上取兩個點代入二次函數的一般表達式，就可以得出函數表達式.學生經過反復敲打錘煉，數學思想就會潛移默化，就會成為素質.

筆者的建議很快得到了學科組教師的認為.大家一致認為，從“數”出發，拓展到“形”，是一種無形成為有形的過程；從“形”出發，回歸到“數”，是一種有形成為無形的過程，這都是數學最基本的思想方法.形成數形轉換的思想方法是學習的難點，如果在這方面有所缺失，學生的數學基礎知識就是一些孤立的碎片，就無法完善他們數學思維的學科素養.

二、創設數形轉換的情境是拓展課堂教學的引燃劑

如何在“二次函數的圖像”教學過程中引出數形結合的思想呢？筆者提出了自己的看法.在課堂上創設一個將二次函數與圖像緊密結合在一起的生活實際問題情境，從抽象的函數式轉換為直觀的圖像，從而激發學生的學習興趣，為課堂的學習探究奠定扎實的知識基礎.

在集體備課組討論課堂情境創設這一點上，有的教師認為開門見山是司空見慣的一種做法，可以不創設；有的教師則認為先復習二次函數概念，再導入新課；也有教師和筆者同感，認為情境創設是一種組織課堂教學的形式，是引導學生在課堂上對知識進行探究拓展的出發點，是厚積薄發.如介紹大多數橋梁是根據二次函數的圖像設計的，在課堂上展示一些橋梁圖片，如圖1.

圖1

學生一定會提出質疑，為什么說這些橋梁與二次函數的圖像有關系呢？二次函數的圖像又是怎樣的圖像呢？及時疏導尤為重要.可以讓學生自主作出二次函數y=x2與y=-x2的圖像.

第一步引導是列表：在x的取值范圍內列出函數對應值表：

表2

第二步引導是描點、連線、作圖，結果如圖2.

盡管初中生已經對數從有理數、無理數等方面進行了認識，但對數與形的認識還是很膚淺的，如果在學習二次函數圖像時教師用心引導，在導入新課之前創設讓學生明確、吸納并能夠運用數形結合思想方法的情境，在課堂探究二次函數圖像的過程中運用數形結合思想的步驟、解題方法等，何嘗不是激發學生對數學的知識探究產生興趣的一種有效途徑呢？

圖2

三、動手實踐，讓課堂成為學生勤于思考的主戰場

在設計課堂例題時，筆者提出以教材例題為線，但例題必須是學生動手、動腦的結果，學科組成員一致同意這個意見.但如何引導學生動手、動腦，是獨立思考還是合作探究，則出現分歧.

教材中的例題1：已知二次函數y=ax2（a≠0）的圖像經過點（-2，-3）.

（1）求a的值，并寫出這個二次函數的表達式；

（2）說出這個二次函數圖像的頂點坐標、對稱軸、開口方向和圖像位置.

在集體備課的研討過程中，筆者對教材例題進行了細致分析：題干給出的y=ax2（a≠0）是簡單二次函數的一般表達式，而圖像經過點（-2，-3）體現的是形對應數的思想，這正是例題第（1）問要解決的問題；而第（2）問“說出這個二次函數圖像的頂點坐標、對稱軸、開口方向和圖像位置”則是由數轉形的思想.因此，例題有著代表性和實用性.

為了讓學生明確二次函數圖像在生活實際中的應用，還建議預設搶答的形式處理一些課堂問題，看看如下案例：

某建筑工程師在1000米的河道上設計了一座拱橋，其高為15米，設計圖紙如圖3：

圖3

（1）拱橋的下沿是什么形狀？怎樣建立坐標系？

（2）這條曲線的一般表達式是什么？

（3）你認為該曲線經過了什么點？

（4）寫出該曲線的函數式.

設計這類練習的目的在于對例題進行變式和拓展，學生在例題的基礎上進行搶答，既渲染了課堂氣氛，解決了初中生由于課堂時間過長而引起的倦怠，同時鞏固了學生所學新知，體驗了數形轉換思想在生活實際中的應用.

有的教師提出，學生動手還可以采用教材中的課內練習，這當然是可以實施的.但筆者認為，教材的課內練習與生活實際還是有差距的，學生的練習仿佛純理論的東西，不利于學生開闊視野，結合生活實際才能讓學生更感興趣，有決心去挑戰自己的極限，用數學的眼光看世界.在各抒己見的集體備課活動中，有爭議是難免的.教材編寫專家自有道理，而讓學生的激情迸發出來是教師應具有的專業素養，是教師駕馭課堂的能力.這一環節的設計還是因人而異吧，不再評價各位教師預設的好壞，還是讓課堂實踐給出證明吧.

還有一個課后環節需要簡單地說明一下，那就是課后練習，是課堂知識的延伸，教材習題就很不錯，也可以補充兩道近年來的中考試題.

總之，這次集體備課給了筆者一個中心發言的機會，也可以說是因此再提升教育教學能力的機會.沒有過程的辨析，就沒有教學經驗的升華.筆者在集體備課時也只不過將數形結合思想娓娓道來，而初中數學知識體系中的數學方法和數學思想如繁星滿天.數形結合思想是學生在二次函數圖像問題中解題的基本點，唯有教師在課堂上靈活地“灌輸”數形結合思想，才能激發出學生數學思維的潛能，才能幫助學生開拓數學領域知識素養.