讓數學概念教學“慢”下來
——記一次“多邊形”的聽課、評課與再設計

☉江蘇省常熟市實驗中學 季葉紅

教研組的觀課研究是各校開展的一項常規教研活動，但有些學校因為種種原因，聽課、評課流于形式，開課質量不高、評課也是“無話則短”，匆匆收場，讓參與觀課、研究的老師感到這種教研活動的“無趣”，對于參與其中的青年教師來說，更加沒有得到應有的專業提升.筆者最近參與一次校級聽、評課活動，課后除了一些空話、贊歌式的點評，也聽到一些有質量的商榷性建議，本文記錄這次教研活動，并在活動之后繼續開展教學研究.下面整理這次教研活動的一些聽課手記、評課觀點及教學再設計，供分享和研討.

一、八年級“多邊形”聽課手記

說明：這是八年級上學期一節新授課，學生之前剛剛學過三角形的內角和、外角性質，教師引導學生類比三角形的概念歸納出多邊形的定義及相關概念（邊、角、對角線），接下來是研究多邊形的內角和性質.

教學片段（一）多邊形內角和性質的教學

師：同學們復習一下三角形內角和，再觀察圖1中的三個圖形：

課堂觀察：學生在老師的“引導”之下，很多對圖1中三個圖形（四邊形、五邊形、六邊形）內角和都順利解決，并總結出多邊形內角和與三角形內角和的關系，從而歸納出多邊形內角和公式.教學進程推進非常高效，學生似乎也學得很有興趣.

接著，教師安排三道練習題，檢測學生對于多邊形內角和公式的理解及應用情況.

對于直接應用的題目，大部分學生能夠熟練應用公式解決，但是對于稍有變化的題目，部分學生不能靈活變通，無法獨立解決.

教學片段（二）一道練習的學生講評

例題：如圖2，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數.

教學觀察：這一環節用去近10分鐘，學生紛紛積極參與（上臺講解不同解法的學生多達5人次），很多學生愿意把自己的方法分享給其他同學，學生共同合作學習.不少“學困生”參與的熱情十分高漲，學生自主學習的熱情很高.

二、評課意見摘要

課后，參與聽課的老師進行了評課，多數評課意見是貼標簽式、唱贊歌式的“說好話”“空泛之談”，也有一些商榷意見，以下是幾種典型建議或觀點.

觀點1：探究多邊形內角和性質時，可以放手讓學生用不同方法探究，而不是設計好流水線式問題，禁錮學生思維活躍的空間.這里可否引導學生嘗試多角度分割三角形？平面上只需再找一個點，就可以與多邊形的頂點構成三角形.這個教學環節體現了從特殊到一般的研究方法，讓學生找出從一個頂點引出對角線條數、分成三角形的個數、內角和與邊數的規律.但是本課教學時直接就給出了探究多邊形內角和的方法，即分成三角形，固化了學生的思維.學生在小學時對多邊形內角和已經有了一點了解，所以在初中階段應該更加強調更高層次的證明.想起自己在這個內容教學時的一些經驗，在教學中可以發現，學生能想到的研究內角和的方法還是比較多的，比如，有的學生將五邊形分成了一個四邊形和一個三角形，有的學生想要用度量的方法等.這時指出學生所提出的研究方法的利弊之處，更有利于學生發散思維的形成和對內角和證明方法的理解.

觀點2：在研究了多邊形內角和之后可否追問：同學們還想研究多邊形的什么性質？由內而外學生會自然由上一課時給出的外角定義提出研究多邊形的外角和.這時候讓學生大膽猜測，然后小心求證，放手讓學生探究.

觀點3：這是一種典型的應試教學下的習題課教學，屬于應該拋棄的“一個定義，三項注意，大量練習”（章建躍語）教學方式.從定理教學或概念教學來看，應該注意概念、定義的生成、歸納與證明，讓學生感受數學的邏輯、理性精神，即理解“客從何處來”.

觀點4：這節課的備課要注意查閱、研習“教參”旁白、腳注上大量的說明，如類比、推廣、特殊到一般、從簡單出發、化未知為已知等，這些都是具體細節處理時的立意.

三、多邊形教學重點、難點與教學建議

多邊形的教學值得研究和推敲，因為一節課容量有限，學生需要學習什么，教師該把什么教給學生，把重點環節放在哪里，這些都非常關鍵.

1.明辨多邊形的教學重點與難點

多邊形是接續在三角形之后學習的，所以它的生長點在三角形.比如，三角形是按圖形定義、三角形要素（邊與角的關系）、三角形相關要素（如三角形中的重要線段，三角形外角，三角形的周長與面積等）展開學習的，這是研究一個新圖形的基本套路.我們完全可以類比三角形學習的方法和重點，想清多邊形的教學重點也應該是多邊形的定義、多邊形要素之間關系、多邊形相關要素之間的關系，并在這樣的路徑下漸次生長、豐富知識結構，而不是快速推進，搞“一個定義、三項注意、大量習題”的教學方式，雖然上文記錄的習題教學片段也有學生精彩的表現，但那是多邊形后續習題課教學時可以有的課堂表現，不應該成為多邊形新授課的教學重點.

多邊形教學的難點則在新元素——對角線的介入，會引發很多新的功能或性質，比如，在探究多邊形內角和性質時，對角線就起到很大的作用，成為有效轉化的重要工具；而多邊形對角線還涉及如何“有序”計數的方法滲透，這些都是多邊形教學中的難點，處理得當，不但可讓學生對與對角線有關的知識有較深的理解，還能通過研究一個新的幾何對象的相關要素，使學生學會研究方法，并向學生傳遞“成果擴大”的研究取向.

2.多邊形的學程導進與操作建議

對于本節課，我們為什么要研究多邊形的內角和與外角和？教師可以引導學生類比已學的三角形相關知識去思考這一部分的知識框架，從而明確學習目標.因此，第一個環節可以圍繞我們已經學過三角形的哪些相關知識（定義、邊、角、“三線等”），思考對于多邊形我們已經掌握了什么（定義、對角線、正多邊形等），還可以研究什么.這種對于知識體系的整體把握能夠培養學生自主學習、探索的能力，對學生來說將是受益無窮的.

接下來，可以引導學生尋求一種方法歸納出多邊形的內角和公式，作為工具方便使用.這個環節不可操之過急，問題的設計也應該更具開放性.

因此，如圖3，有三個圖形，不添加對角線，學生小組進行合作探究，看能否探討出方法.如果學生沒有思路，可以提示學生思考四邊形與三角形的關系，引導學生通過分割的方法求出四邊形的內角和，請一組學生展示完整探究過程，再請其他小組同學類比此方法，探究并歸納出多邊形內角和的一般計算公式.

在學習得出四邊形內角和之后，可以跟進提問：如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么大小關系呢？你能證明嗎？通過剛才的探究過程，學生對于這個問題大致有兩種思路，第一種是延續前面的方法，連接對角線進行分割；第二種方法是直接應用多邊形內角和公式.一方面，學生會加深對復雜圖形進行分割研究的方法的理解；另一方面，可以加強學生對本節課重點知識的熟練掌握及應用.

課堂小結時，安排總結這節課我們是如何研究多邊形的，學到了什么內容，又學到了哪些方法，對于多邊形后續還可以研究什么問題，這樣的數學教學，不光是知識的傳遞，也應該是方法或套路的傳遞.