重視定義：數學新授課教學的用力點
——以“圓的起始課”教學為例

☉湖北省武漢市第四十五中學 葉 蓓

“圓的起始課”在不少版本的教材上都是通過生活中圓的圖片引入新課，進而給出圓的描述性定義，再給出“集合定義”，整節課中與圓相關的概念瑣碎，教學難有新意，往往還給出很多訓練知識記憶類的習題進行練習，這些“圓的起始課”教學的品質不高.最近筆者有機會執教“圓的起始課”，對比不同版本教材后“教材再建構”，基于深刻理解數學的角度重視圓的定義教學，并成為圓的新授課教學的一個用力點.本文梳理該課教學流程，并給出筆者的教后反思，供分享和研討.

一、“圓的起始課”教學流程

教學環節（一）畫圓活動，形成概念

教學組織：開課時讓學生用圓規畫出一個圓，并安排一個學生到黑板上畫圓，大家觀察在畫圓的過程中，圓是怎樣形成的，讓學生來說圓，從而生成圓的描述性定義.

設計意圖：通過學生的動手實踐，引導學生學會歸納，更注重數學中文字語言的精煉、簡潔，從而掌握好圓的描述性定義.

預設追問1：圓的位置和大小由什么決定呢？

教學組織：學生通過畫圓，得出圓的兩個要素——圓心和半徑.

設計意圖：通過學生的實踐，再次明確幾何圖形的位置和數量等決定性因素.

預設追問2：同一個圓中半徑的數量關系是什么？（學生回答“相等”，引出“一中同長”）

教學組織：通過圓中半徑的不變性，引出數學史“一中同長”.

設計意圖：加深學生對圓的描述性定義的理解.

預設追問3：到定點O等于OA長度的點有什么特點？

教學組織：引導學生復習角平分線的判定和線段垂直平分線的判定，并學會用點的集合來定義，從而得出圓的集合定義.

設計意圖：通過對角平分線和線段垂直平分線的判定，我們可以明確探究“圓的集合定義”，讓學生明白數學概念的一個重要方法——類比法.

預設講授：圓中還有很多相關概念，在小學也或多或少接觸過，現在我們再幫助同學們做一些梳理和明確，教師在圓上依次介紹弦、直徑、弧、等弧的概念及它們之間的相互聯系（直徑是特殊的弦，一條弦對著兩條弧，等弧必須在同圓或等圓中等）.

跟進練習：如圖1，你能說出圖中哪些與圓有關的概念？

圖1

圖2

教學環節（二）典例分析，鞏固定義

例題：如圖2，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.求證：A、B、C、D四個點在以點O為圓心的同一個圓上.

教學組織：學生獨立完成后全班交流展示，教師點評并規范解題格式.

設計意圖：重在分析題目，題中已知矩形，要得到四點在同一個圓上，就是要得到這四個點到點O的距離相等，從而合理利用矩形的對角線相等且互相平分，做到所答即所問.

變式練習：如圖3，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：A、B、C、D四點在同一個圓上.

教學組織：師生一起分析題中已知和求證，學生自己探討解題思路——點共圓的證法，反復強化學生“回到圓的定義去證題”的思想，進一步歸納出證明n個點到某點的距離相等是證明這n個點共圓的基本方法.

圖3

教學環節（三）圖形變式，生成新知

例題變式：如圖4，在AB邊上有點E，DB的延長線上有點F，請指出點E、點F與圓的位置關系.

圖4

教學組織：在解決這個變式問題之后歸納出“在平面內，點與圓的位置關系有：點在圓內，點在圓上，點在圓外”，滲透數形結合的思想，并介紹等價符號“?”.

跟進練習：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.

（1）以C為圓心、3cm為半徑作圓，分析點A、B與圓的位置關系；

（2）以C為圓心、4cm為半徑作圓，分析點A、B與圓的位置關系；

（3）以C為圓心、2.4cm為半徑作圓，分析點A、B與圓的位置關系.

教學組織：教學時讓學生動手畫圓，分析三角形的頂點與圓的位置關系，第（3）問的數據2.4cm恰是斜邊上高的長度，為以后研究斜邊AB與該圓的位置關系預留了一個“數學現實”.

教學環節（四）師生小結，學習展望

小結問題1：本節課我們是如何學習圓的？你對圓的哪些概念印象深刻？

小結問題2：根據以往我們對一個新圖形的研究經驗，你覺得后續還會研究與圓相關的哪些內容？

教學預設：通過小結問題讓學生認識到圓的學習是從圓的定義（兩種不同定義）出發，梳理了圓的符號表示、圓的相關概念（如弦、弧等），并且利用圓的定義證明了矩形的四個頂點共圓.展望后續研究和學習，與圓有關的位置關系，基于圓的對稱性質的研究，與圓相關的運算等，都是學習的重點.

二、教后反思

教研組老師聽課之后對該課的教學表示了肯定，認為我們能夠“學材再建構”，從“教教材”走向了“用教材教”，并且在學程推進過程中，對能放手讓學生展示講解表示贊賞，認為這體現了以學生為主體的教學理念.當然，也有評課老師從理解數學的高度，對教學內容和教學方法提出一些建議，比如，要更加重視“從定義出發”的教學引導，重視“圓的定義”的教學.以下就圍繞如何重視“從定義出發”“回到定義”闡釋幾點教后反思.

（一）在“圓的定義”教學時要“慢”一點

當前由于所謂導學案的推動，不少新授課以“一個定義、三項注意、大量練習”的方式推進學程，這樣的教學方式敗壞了數學的名聲，把數學概念教學異化為習題教學、刷題教學，學生很難達到深刻理解數學概念的追求.就圓的定義教學而言，不少教師從生活中的圖片引入圓的概念，這類圖片中雖然有圓的形象，但是對引出圓的定義沒有多大幫助，而用圓規畫圓這個熟悉的操作，卻體現了圓的本質，所以在“圓的定義”教學時，慢下來，讓學生慢一點畫圓并感受圓是如何生成的，從而加深對圓的定義的概念性理解，為給出描述性定義做好鋪墊.

（二）在“圓的習題”教學時要“回到定義”

在數學新授課教學中，在概念生成之后，常常需要選用恰當的例、習題進行訓練，在組織學生練習之后，教師要講評，講評時可以適當追問學生對解題偏差、解題思路的理解，特別是要引導學生“回到定義”去解題.具體地說，當學生獲得思路貫通之后，教師可通過組織展示學生的步驟，基于“步步有據”解題追求，請學生回答依據，把圓的定義通過具體的題例讓學生反復表述，這也是回到定義去解題的具體操作要義.我們在上面的課堂教學中做得還不夠到位，值得今后改進和強化.

（三）在“小結展望”時要重視“從定義出發”

課堂小結時仍然可倡導本課研究的出發點是“圓的定義”，從圓的定義出發，就可把圓的要素（圓心、半徑）、相關概念（弦、弧等）進行梳理、結構化，完善結構化板書，并從與圓相關的性質進行學習展望，為后續學習提供方向和路徑.這里還可提及“結構化板書”在小結階段的操作要義，這就是把課堂教學進程中形成的一些板書（可能比較零亂、缺少條理）通過一些線段、框架線連接，形成“結構化板書”.