診評與改進：習題講評聽、評課的追求
——以兩則解題教學片段為例

☉甘肅省高臺縣第三中學 陳 波

中考復習期間會遇到不少較難的函數填空題，通常位于一些模考試卷的填空題的最后一題位置.而有些講評往往只是滿足于答案的獲得，缺少對問題更有深度的回顧與反思，常常是“入寶山而空返”.本文整理近期在中考復習期間的聽課所見、所聞與所思，供分享和研討.

一、較難填空題講評的聽課記錄與診評改進

說明：以下聽課記錄并不是同一節課中收集的，也不是來自同一個老師或班級.

案例1：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x軸于A、B兩點，若此拋物線在點A、B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）有且只有8個整點（橫、縱坐標都是整數的點），則a的取值范圍是_______.

師：這道題沒有一名同學做對，我們一起來探究.由已知條件可以得到什么？

生1：因為a＜0，所以拋物線開口向下，可以畫出拋物線的大致圖像，先將函數解析式配方成頂點式y=ax2+4ax+4a+1=a（x+2）2+1，所以拋物線的對稱軸為直線x=-2，頂點是（-2，1），假設交點A在左邊，點B在右邊，則點A，然后我就不會了.

師：很好，請坐，你得到的這些結論很有用，是我們接下來解題的依據.請大家思考一下，拋物線在點A、B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）有且只有8個整點，這8個整點的橫、縱坐標需要滿足什么條件呢？

生2：這8個點的縱坐標只能是0或1，縱坐標為1的整點只有1個，是（-2，1），還有7個點的縱坐標是0，且在線段AB上，線段AB的中點為（-2，0），符合要求，所以左邊還有3個點，橫坐標是-3、-4、-5；右邊還有3個點，橫坐標是-1、0、1，所以

師：非常好！解這個題目的關鍵在于找到這8個整點的位置，分析到最后類似于我們常做的不等式組有3個整數解的問題.很多看起來很難的題目，一層層剖析開，最后還是回到了我們常做的一些題目.面對最后一道選擇題和最后一道填空題不要害怕，看好條件慢慢分析，會有辦法解決的.

課堂診評與教學改進：這道較難題的講評雖然也有師生對話、互動講評，也得到了這道較難題的答案，但是對很多學生來說，效果并不明顯，因為正如生1一樣，當得到了兩個交點A、B的坐標之后，后續求解仍然是難理解的，因為生2所提出的不等式是一個含根號的陌生的繁難不等式，教學的難點之一也在于此.教師在備課時需要深刻理解這道習題，想清辨明這道習題的理解難點與教學難點.我們認為，這個問題難點有以下兩處：

難點之一，帶領學生想清圍成區域內整點分布的位置.具體來說，圍成區域內部是不存在整點的，整點都在邊界上，而作為邊界之一的拋物線的頂點就是符合要求的一個整點，然后就是x軸上存在整點，這樣就把目光聚焦到數軸上分析整點個數，進而基于對稱性分析出拋物線與x 軸的交點（右邊的）的橫坐標介于1和2之間（如圖1）.

圖1

難點之二，帶領學生想清拋物線與x軸的一個交點的橫坐標的取值范圍是1≤x＜2.進一步如果利用上面生1、生2的方法，會出現繁雜不等式.可以借助拋物線“穿過”x軸前后分別在x軸上方或下方來構造不等式組，這就是當x=1時，函數值大于或等于0；當x=2時，函數值小于0.

案例2：已知點A在函數的圖像上，則y1、y2、y3的大小關系是______.如果點A（a，y1）、B（a+1，y2），則y1、y2的大小關系是______.

師：這道填空題第一問大家完成得很好，但是第二問有不少學生做錯了，大家對這個題目的第二問有什么想法？

生1：我覺得可以先畫出草圖，然后分情況討論：

①A、B兩點都在y軸的左側，當a＜0，a+1＜0，即a＜-1時，y1＞y2.

②點A在y軸的左側，點B在y軸的右側，當a＜0＜a+1，即-1＜a＜0時，

圖2

1°若-1＜a＜-0.5，則y1＞y2；

2°若a=-0.5，則y1=y2；

3°若-0.5＜a＜0，則y1＜y2.

③A、B兩點都在y軸的右側，當a＞0，a+1＞0，即a＞0時，y1＜y2.

師：很好，這名同學根據A、B兩點不同的位置情況分了五種情況討論，考慮得很全面.但是我們要注意答題時要總結，合并結論.其他同學再想想，他的方法能不能更優化？

②當a＜-0.5時，點A離對稱軸更遠，則y1＞y2；

③當a＞-0.5時，點B離對稱軸更遠，則y1＜y2.

師：很好.這名同學充分利用函數圖像的性質，簡潔、明了地解決了問題.所以我們一定要熟練運用函數圖像，有時候解題會事半功倍.

課堂診評與教學改進：雖然學生利用函數圖像順利解決了問題，但并不如教師點評的那樣“熟練運用函數圖像，有時候解題會事半功倍”.事實上，學生針對這道習題利用畫圖分析的“以形助數”方法并不是最優的，教師應該有解法最簡、最優的專業評價，對于這道習題，直接代入計算并利用“作差法”是更簡更優解法.解法如下.由題意得，接下來討論與0的大小，即可比較出y1與y2的大小.

二、關于解題教學的進一步思考

1.教師對較難題要有深刻理解

從上面兩則聽課案例來看，教師本人對這兩道較難題的理解并沒有達到深刻程度.具體來說，較難題的深刻理解，包括解題思路的貫通，特別是多種解法的預設，對問題深層結構或本質的洞察，還有對問題考查的知識點、方法或策略都要有全面的分析，對考題不同解法的繁簡要有對比，從學情出發精準研判學生可能的障礙點、關鍵步驟、易錯點，等等，這些都是在解題教學備課時要下足功夫的.否則開課之后就會出現一些泛泛的評論、“亂點贊”式的評析.

2.教學時針對學生進展來引導

在聽課中發現，兩位教師解題教學進程中，先讓學生表達解法、思路或解題念頭是可行的一種教學組織，而不是教師一言堂.然后，當學生不能順利推進解題思路，思維受阻時，教師的引導就非常關鍵，而不只是把這個疑難點推向其他優秀學生，繼續推進解法，直至思路貫通，講題結束.我們認為，可以針對學生思路受阻的步驟進行深入分析，引導更多學生參與評析.為什么進展不了？這些繁難解法能否有效轉化，避免自己陷入繁難？多引導學生思考這些問題，不僅有助于最終問題獲解，而且能讓學生通過解題學會解題，在以后獨立面對陌生問題時，學會自主調控解題節奏與獲得解題念頭.

3.解后回顧時要注意比較優化

在上文記錄的兩段解題教學的最后，教師都沒有安排解后回顧的環節，這也是造成“入寶山而空返”的原因.對于案例1中的函數難題，要在解后回顧中安排學生想清辨明哪些步驟是該題的關鍵步驟，哪些地方是易錯之處，這樣學生就多了深入反思解題步驟的機會，也能“事后諸葛”分析出這類問題的“破題”關鍵.而對于案例2中的習題，雖然教師安排了另一個學生再次講解不同思路，但是只是原有“數形結合”思路上一次改進或簡化，沒有從方法上進行大的思考方向的調整：從“以形助數”走向“以數馭形”.