例說數(shù)學方法在平拋運動求極值的應(yīng)用

馬建明

摘 要：物理問題的極值是高考考察數(shù)學能力的常考的一種題型之一，是高考物理數(shù)學能力的重要體現(xiàn)。掌握極值方法能提高解題能力、提高解題速度及準確率。常見求極值方法有三角函數(shù)法、二次函數(shù)極值法、極限法、基本不等式法（均值不等式法）、求導(dǎo)法等。本文就平時物理教學中所涉及的平拋運動應(yīng)用數(shù)學方法求極值的題目進行舉例剖析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學方法 平拋運動 求極值 應(yīng)用

一、二次函數(shù)極值法求平拋運動的水平最遠距離

例1.如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直。一小物塊以速度 從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時。對應(yīng)的軌道半徑為（重力加速度大小為g）。

解：物塊由最低點到最高點根據(jù)機械能守恒定律及平拋運動規(guī)律的水平位移為： ，由數(shù)學知識可知，當 時，x最大且 ，故選B。

總結(jié)：根據(jù)動能定理得出物塊到達最高點的速度，結(jié)合高度求出平拋運動的時間，從而得出水平位移的表達式，結(jié)合表達式運用二次函數(shù)求極值的方法得出距離最大時對應(yīng)的軌道半徑。

就本題的極值還可以采用求導(dǎo)法求取。對水平位移表達式： ，對x求導(dǎo)則有： 。

再如：一小物塊以速度v 0=10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺上并由高臺上飛出，如圖所示，問高臺的高度多大時，小物塊飛行的水平距離s最大？這個距離是多少？（g取10m/s2）

解：設(shè)物體從高臺上飛出的速度為v，則由機械能守恒定律可得 ，聯(lián)立平拋運動規(guī)律的水平位移為： ，則當 時s最大為5m。

總結(jié)：本題由平拋規(guī)律及機械能守恒定律得到水平距離表達式，再利用二次函數(shù)求極值方法求得s的最大值。

二、基本不等式（均值不等式）求平拋運動動能極值

例2.豎直平面內(nèi)有一個四分之一圓弧AB，OA為水平半徑，現(xiàn)從圓心O處以不同的初速度水平拋出一系列質(zhì)量相同的小球，這些小球都落到圓弧上，不計空氣阻力，小球落到圓弧上時的動能（ ）

A.越靠近A點越大 B.越靠近B點越大

C.從A到B先減小后增大 D.從A到B先增大后減小

解：設(shè)小球落到圓弧上時下落豎直高度為y，水平位移為x，動能為Ek，小球平拋動的初速度為v0，圓弧AB的半徑為R。則由平拋運動得： ，聯(lián)立幾何關(guān)系以及根據(jù)動能定理聯(lián)立得： ，當 ，即 時， 有最小值，則此時Ek最小，因此小球落到圓弧上時的動能從A到B先減小后增大，故C正確。

本題先應(yīng)用平拋規(guī)律和圓方程以及動能定理推理出動能表達式，再應(yīng)用基本不等式（均值不等式）求取極值。

再如：探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀。此隊員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v沿水平方向跳向另一側(cè)坡面，如圖所示以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy。已知山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為 ，探險隊員的質(zhì)量為m，人視為質(zhì)點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。則：此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小？動能的最小值為多少？

解：設(shè)探險隊員跳到坡面上時水平位移為x，豎直位移為H，由平拋運動規(guī)律、動能定理得以及幾何關(guān)系（ ），再聯(lián)立坡面拋物線方程 ，得： 。令 ，則 ，取n=1，即 時，動能有最小值為： 。

總結(jié)：本題先應(yīng)用平拋規(guī)律和拋物線方程以及動能定理推理出動能表達式，再利用換元得到動能表達，最后應(yīng)用基本不等式（均值不等式）求得極值。

三、求導(dǎo)和均值不等式求電場中類平拋運動的速度極值

例3.如圖所示，空間存在水平向右、場強大小為E的勻強電場，在豎直內(nèi)有一個半徑為R的圓、圓心為O，在O點把一個電子豎直向上以不同的初速度拋出，電子質(zhì)量為m、電荷量為-e，不計重力，求電子經(jīng)過圓O到達圓周時的最小速度。

解：電子做類平拋運動，由規(guī)律可得其運動拋物線軌道方程 ，代入電場中圓的方程得到電子打到圓上的位置坐標： ，應(yīng)用求根公式解得： <1>負值不符合物理意義，舍去。

對電子從拋出到它達圓周P點，據(jù)動能定理： <2> 聯(lián)立兩式得： <3>，令 得： <4>，對u求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，則有： ，得 時，小球在打在P點時有最小速度，代入<3>解出最小速度為： ，解得： 。

結(jié)語

用電子的類平拋規(guī)律，導(dǎo)出軌跡方程，在結(jié)合圓方程和動能定理進行推理得到速度表達式，再利用數(shù)學求導(dǎo)方法和均值不等式求得極值。

總而言之，物理的數(shù)學應(yīng)用能力是評價學生綜合能力的一個重要參數(shù)，作為教師要注意研究和持續(xù)研究，平時要注意收集相關(guān)資料進行再研究，注意平時教學中應(yīng)用的積累以提升自身能力水平，以此更好的幫助學生在數(shù)理方法的建模、促進學生的物理應(yīng)用數(shù)學能力。

參考文獻

[1]陳長宏.數(shù)學方法在平拋運動中的應(yīng)用[J].中小學實驗與裝備，2014，24（06）：23-24.

[2]王爍燚.解方程在平拋運動綜合題中的應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航（中旬），2017（02）：48.