在數學解題教學中提升學生核心素養之思維能力例談

寧智明

解數學題是每位中學生一定會遇到的問題。幾乎所有學生都希望自己具有較高的數學解題能力，但事實并非如此。許多學生常常向教師提出如下的問題：“課能聽懂，書能看懂，就是題不會解，遇到有一定難度的題目更是感到束手無策。即使能解出，多半是碰來的，缺少一般方法，而且解出題后收獲也不大。”筆者帶著這些問題進行了深入的思考。結合自己的課堂教學實踐，筆者認為上述現象的產生主要是下面三個原因造成的：一是基礎知識不扎實;二是缺少科學的學習方法;三是核心素養之思維能力低下。其中核心素養之思維能力低下是最主要的原因之一。下面筆者根據教學實踐，通過案例說明怎樣在解數學題的教學中提升學生的核心素養之思維能力。

一、造成學生核心素養之思維能力低下的原因分析

造成學生思維能力低下的原因很多，鑒于個人認識的范圍，僅就其中三個原因進行簡要分析。

1.缺乏核心素養要求的知識與技能的積累和變換訓練，造成學生思維的深刻性能力低下。思維的深刻性能力是指能夠把握事物的關鍵和本質的能力。

【例1】 已知：a，b，c∈R+，且a+b+c=1，

求證：

此題曾在高三學生中作過練習，不少學生能夠證明到如下的程度：

（說明：運用不等式的有關性質，可證明出和 ）

有少部分學生又進行了如下的分析：

欲證：

只需證：

而

故無法直接推出

（說明：

此后，多數學生未能夠順利證出上面的結論。事實上，只要對欲證不等式進行靈活地變換，問題不難解決。

欲證：

只需證：

即

而由于 ，故1-27abc≥0

并且顯然有

故上述不等式成立，從而原命題得證。

在這里，學生能力低下體現為不能運用數學基本技能對不等式? 進行靈活變換。

【例2】比較log 2 3和log 3 4的大小。

對這個題目，絕大多數學生都可以做到如下的地步：

只須判斷lg3-lg2>0的符號，而判斷lg3-lg2=lg3-lg2的符號，運用對數函數的性質，只須比較3與2的大小。

至此，學生便無法前進了。因為他們無法把3與2化為可比較的形式，體現為缺乏基本技能。

事實上，∴2< 3，從而命題得證。此處學生能力低下體現為沒有想到< 這種技能。

從【例1】和【例2】我們可以看出，學生在解題過程中所遇到的障礙是一些關鍵步驟，而這些關鍵步驟的解決則需要用到數學的基本技能和變換，我們恰恰又在這些方面沒有對學生進行很好的訓練，因而造成了學生解決問題的關鍵步驟的能力低下，實質上也就造成了思維的深刻性能力低下。

2. 缺乏核心素養要求的批判質疑的思維意識，造成學生思維的逆向性能力低下。學生思維的逆向性能力是指能夠從事物的反面分析事物的能力。

筆者在高三課堂上讓學生做了下面的題目（未給任何暗示）：

【例3】 若a，b∈R+，求證：10（a+b）>ab

全班絕大多數學生都相信這個命題是絕對正確的，很虔誠地做了十多分鐘，并運用了許多不等式的性質。到后來，僅有兩名學生對命題本身產生了疑問，但沒有準確地指出命題的錯誤所在。事實上，只要對欲證不等式進行適當的變形，不難指出其中的錯誤：欲證原式，只要證10（+）>1。但我們發現，若a，b取較大的正數時（+）將會很小，而10是常數，因此10（+）也會很小，不可能一定小于1。鑒于這種分析，只要令a=b =100，立即就會說明原命題是錯誤的命題。

這個事實比較典型地說明了學生缺乏核心素養要求的批判質疑意識。而我們平時在這方面的訓練又很少，平時學生練習的命題絕大多數是真命題，所以造成了他們思維的逆向性能力低下。

3. 缺乏核心素養要求的獨立思考、獨立判斷的意識以及做出選擇和決定的能力，造成學生思維的獨立性能力低下。思維的獨立性能力是指善于獨立思考，并有自己見解的能力。不少學生由于暫時不會解題，又不敢大膽嘗試，便對自己的能力產生了懷疑，從而使自信心受到了打擊，進而使思維的獨立性受到影響。按照心理學的理論，學生此時心境處于消極狀態，思維水平也低于常態。正如前述，學生在解【例3】時，當難以繼續解題時就出現了自信心不足的狀態。如果這種情形在解題過程中經常出現，而教師又沒有給予及時的指導，就會造成學生思維的獨立性低下，并且很有可能使學生產生自卑或自責心理，最終導致學習興趣下降。而缺乏興趣則是提升核心素養之思維能力的最大障礙之一。

對上述三個方面的分析，我們可以看出，學生的思維能力低下的原因之一是由于教師在平時教學中，缺乏提升學生核心素養之思維能力意識和系統訓練。依據教育學理論，任何一種能力的獲得，都必須經過系統的訓練，而我們恰恰在上述幾個方面對學生缺乏系統的訓練，因而造成了學生核心素養之思維能力低下。

二、在解題過程中提高核心素養之思維能力

筆者認為，在掌握好基礎知識和基本技能的前提下，解題時，遵循如下的一些原則，對提升學生的核心素養之思維能力會有所幫助。

1.核心素養要求學生能夠思維縝密地分析問題。實質上就是要求我們在教學中加強對學生思維的周密性能力的培養。思維的周密性能力是指能夠全面分析事物的能力。學生在動手解題之前，必須回答如下的問題：命題的已知條件是什么？需要做什么或證明什么？只有當命題的題設和結論都搞得很清楚，而且已經牢牢記住的時候，才能開始解題。要解題，就應當充滿信心，要堅信通過努力，問題一定會得到解決。這樣做實質上就是對思維的周密性能力和獨立性能力的培養和提高。

2.核心素養要求邏輯清晰，能運用科學的思維方式認識事物、解決問題、指導行為。因此，學生在解題時應遵循的邏輯順序是：先仔細觀察題目所屬的類型，用解同類型題目的一般方法進行嘗試（如【例1】屬于不等式證明，可以用綜合法和分析法嘗試）;如不能解決，則要考慮運用一些數學基本技能或變換（如【例2】中運用了）;如果仍然不能解決，就應該運用逆向性思維，重新考察題目本身，看看題目本身的條件或結論是否存在問題，能否通過具體驗證的方法找出命題錯誤（如【例3】中結論的錯誤），前述的邏輯過程是思維逐步深化的過程，實質上也就是尋求事物本質的過程，因而有助于思維的深刻性和逆向性等能力的提高。

3.核心素養要求培養學生勇于探究、不畏困難、堅持不懈的探索精神。當學生解不出題時，他們往往會采取如下三種態度：第一，徹底放棄或一直解下去。徹底放棄等于失敗，一直解下去實際上是自責心理的表現，這在解題中均屬不理智行為，是下策。第二，尋求老師或同學的幫助。這種態度的優點是可以及時解決問題，吸取他人的思考方法，缺點是失去了獨立思考的機會，此屬中策。第三，暫時放棄，但并不忘記，而是經常思考，直至得出自己滿意的結果，很顯然，這是上策。這種態度才會有助于核心素養所要求的勇于探究、不畏困難、堅持不懈的探索精神的培養。

三、通過解題后的反思來提高核心素養之思維能力

我們知道，解題過程本身就是提高學生核心素養之思維能力的過程，但解出題后的反思過程卻往往被學生所忽視，大多數學生解出題后往往一放了事，從而失去了進一步提高自己思維能力的機會，這正是他們感到無所收獲的原因所在，筆者認為，如能解出題后再從下述方面進行反思就會得到較大的收獲，其核心素養之思維能力也會得到進一步的提高。

1.核心素養要求學生能多角度分析問題。實質上就是要培養學生的廣闊性思維能力，思維的廣闊性能力是指能從不同的角度分析事物的能力。教師可以通過一題多解的教學對學生進行訓練提高。

如【例2】還可用基本不等式進行證明，

因為log23-log34=

顯然，

所以lg2·lg4

而lg23>lg2，由此命題得證。

經常進行一題多解訓練的最大優點就在于，能夠開拓思路，使學生養成一種從多角度分析問題的理性思維習慣，在一定程度上可以避免那種遇到難題時所出現的束手無策的現象。

2. 核心素養要求培養學生勇于探究的好奇心和想象力。實質上是要提高學生思維的發展性能力。思維的發展性能力是指能夠從一事物出發，思考方向四處擴散，最終找出事物本質或發現新問題的能力。在教學中，教師可以通過聯想的方式對學生進行訓練提高。聯想的方式很多，從題目本身出發進行聯想就是一種有效的方法。下面僅就其中兩個方面舉例說明。

（1）變換題目條件或結論，并滲透其他知識，將其演變為另外形式的題目。

如對【例1】可作如下的演變：由于條件a，b，c∈R+，a+b+c=1往往與三角類型的題目相聯系，聯想到一個習題結論：長方體的一條對角線與一個頂點上的三條棱所成的角分別為α，β，γ，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=1.

因此，可令a=cos2α，b=cos2β，c=cos2γ，于是【例1】可變為如下的形式：設α，β，γ分別為某長方體的一條對角線與一個頂點上的三條棱所成的角，試證：

≥（證明從略）

（2）把題目推廣為更一般的形式。

仍以【例1】為例進行說明，如果聯想到以前曾經證明過的一個命題：已知a，b∈R+且a+b=1，求證 再與【例1】的形式比較，便不難得到如下的推廣形式：若a1，a2，Λ，an∈R+，且a1+a2+Λ+an=1

求證：n（證明從略）

在聯想過程中，值得說明的是，聯想所得到的結果，有些可以當時解決，有些則不容易當時解決，如上述【例1】的推廣形式，用初等方法證明很繁雜，中學生很難解決，但是運用數學分析中的有關結論，問題就容易解決。遇到這種情況，不妨暫時記下來，待今后慢慢解決，這也就是核心素養所要求培養的問題意識。正像G.波利亞在《怎樣解題》一書中寫道：“你解答的也許是很普通的題目，但是如果它能喚起你求知的欲望，驅使你去創造，如果題目又是你自己解出來的，你就會經歷從事發現所必需的智力的緊張，同時體驗到勝利的歡樂。”

中國學生發展核心素養以培養“全面發展的人”為核心，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新六大素養，其中的科學精神要求主要是學生在學習、理解、運用科學知識和技能等方面所形成的價值標準、思維方式和行為表現。具體包括理性思維、批判質疑、勇于探究等基本要點。在教學的實踐中，我們認為，數學解題教學是培養學生核心素養所要求的理性思維、批判質疑、勇于探究等方面思維能力的有效方法和途徑。