立足數(shù)學課堂實施有效教學

汪正文

近日，筆者有幸參加了在宿遷中學舉行的江蘇省第十三屆中學數(shù)學教學高級論壇，并在活動中開設了一節(jié)題為“兩個計數(shù)原理”的主題展示課，受到與會專家的一致好評，現(xiàn)將本節(jié)課的教學設計及授課簡錄呈現(xiàn)給讀者，以期與同行交流.

一、教材背景分析

（一）教學內(nèi)容解析

計數(shù)是人類了解客觀世界的一種最基本的方法，是離散數(shù)學的重要組成部分.兩個計數(shù)原理是蘇教版選修2-3第一章第一節(jié)內(nèi)容，本節(jié)共安排2課時，本課為第1課時.它是我們學習排列、組合和二項式定理的理論基礎與依據(jù)，也是解決很多實際問題的重要工具，在本章中起作奠基性作用.

從認知基礎的角度看，兩個計數(shù)原理實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的拓展應用，是體現(xiàn)加法與乘法運算相互轉(zhuǎn)化的典型例證.從思想方法的角度看，兩個計數(shù)原理的靈魂是轉(zhuǎn)化與劃歸思想、分類與整合思想和特殊與一般思想的具體化身.從數(shù)學本質(zhì)的角度看，以退為進，以簡馭繁，化繁為簡是理解和掌握兩個計數(shù)原理的關鍵.因此，本節(jié)課的主要任務是如何依托學生已有的認知基礎，總結得出兩個計數(shù)原理，能初步領會應用原理解決計數(shù)問題的要領，在探究過程中感悟原理所蘊含的思想方法和探究問題的一般策略.

（二）學生學情分析

對計數(shù)問題，學生在不同的學段都有相應的接觸，在必修2中學習“古典概型”時，突出了枚舉法或樹形圖在計數(shù)中的作用;在生活中，學生也不自覺地會使用“分類”和“分步”的方法來思考和解決問題，具備了一定的歸納、類比能力，這些都是學生學習兩個計數(shù)原理的認知基礎.

原理雖然簡單樸素，但如何讓學生借助已有的數(shù)學活動經(jīng)驗，抽象概括出兩個計數(shù)原理，并領悟其中重要的數(shù)學思想方法，實現(xiàn)認知的飛躍，則是本節(jié)課須突破的難點.

二、教學目標設置

（1）準確理解分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，并能說出它們的聯(lián)系與區(qū)別;

（2）能準確地選擇兩個原理解決一些簡單的實際問題;

（3）通過歷經(jīng)兩個計數(shù)原理的發(fā)現(xiàn)和探索過程，讓學生領悟運用兩個原理所包含的劃歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊到一般的思想方法以及以退為進的思維策略.

三、教學策略分析

本節(jié)課是概念原理課教學的典范，擬定采取以退為進的教學策略，采用“創(chuàng)設情境→問題導引→實例探究→抽象概括→辨析提升→原理應用→反思升華”的探究式教學法，緊緊圍繞如何抽象、如何概括、歸納和怎樣應用等問題展開.

四、教學設計與簡錄

（一）創(chuàng)設情境揭示主題

播放兒歌《數(shù)鴨子》片段，門前大橋下，游過一群鴨，快來快來數(shù)一數(shù)，二四六七八，哎呀哎呀真呀真多呀，數(shù)不清到底多少鴨，數(shù)不清到底多少鴨！

教師：同學們，剛才我們聽的這首兒歌名叫《數(shù)鴨子》，你能說出歌詞向我們呈現(xiàn)了怎樣的

數(shù)學問題？

眾生：數(shù)數(shù)問題.

教師：對，計數(shù)問題.對數(shù)多少只鴨子，我們可以采用枚舉法予以計數(shù).原始人就會利用結繩來計數(shù)，我國早在宋代就出現(xiàn)了用算盤計數(shù)，計數(shù)問題在我們學習生活中隨處可見，它也是我們學習排列、組合、概率、統(tǒng)計的基礎.下面讓我們來看這樣的一個計數(shù)問題.

【設計意圖】以一首熟悉的兒歌開始，輕松活潑引入話題.同時也說明總數(shù)不大時，我們可以采用枚舉法計數(shù).簡短的幾句話，把學生帶進一個嶄新的數(shù)學世界，激發(fā)學生的求知欲望—到底如何計數(shù)？概率、統(tǒng)計到底學什么？

（二）問題導引設置懸念

引例2014年宿遷地區(qū)私家車的保有量為33.62萬輛，隨著經(jīng)濟的發(fā)展，到2020年，私家車的保有量將達到60萬輛，交管部門現(xiàn)推出新的個性化牌號的規(guī)則：

（1）①號位必須選擇英文字母，③號位為文字母或阿拉伯數(shù)字，其余三位均為阿拉伯數(shù)字;

（2）英文字母不得選用I、O、Q.

試問，到2020年這樣的個性化牌號的容量能否滿足要求？

教師：這個問題你還能一一列舉嗎？

眾生：不能.

教師：為什么？

生1：數(shù)目太大.

教師：對，對大數(shù)的計數(shù)問題，枚舉法就顯得力不從心，此時就迫切需要我們探索一種新的

計數(shù)方法——這就是我們今天所要研究的內(nèi)容——兩個計數(shù)原理.

【設計意圖】通過生活中的學生熟悉實際問題切入，將學生的思維帶入悱憤狀態(tài)，提高了學生參與學習的積極性，同時也突出了學習本節(jié)課的必要性.

（三）實例探究提煉本質(zhì)

實例探究1

師：下面我們先來從兩個簡單的問題著手探究.

問題1 （1）（我的老家在安慶，國慶節(jié)期間，我回家探親）已知從鎮(zhèn)江到安慶直達火車每天有4列，直達汽車每天有3班，試問我要從鎮(zhèn)江到安慶，有多少種不同的直達方法？

（2）節(jié)目主持候選人中有4名男同學，8名女同學，若從中選一人主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？師：（讓學生思考片刻）你的答案是多少？又是怎么想的？

生2：有7種直達方法，因為火車和汽車班次之和為7，從中任選一個車次即可.

教師：還有其他解釋嗎？

生3：乘車方式有兩種方案，若選火車，則有4種，若選汽車，則有3種，所以總的乘車方法數(shù)共有4+3=7種.

教師：說得非常好，我乘車回家有兩類辦法，第1類辦法，乘火車有4種方法;第2類辦法，乘汽車有3種方法，所以總的方法數(shù)為這兩類辦法數(shù)之和.（追問）我若選乘了火車，還可以選乘汽車嗎？為什么？

生3：不能，因為你任選一種方法都可以回家.

教師：對，我沒有分身之術，任何一種方法都可以一次性完成這件事，并且兩類辦法不可同時選擇，它們之間是相互排斥的，那么請你類比剛才的分析，說說你對問題（2）的理解.

生4：選一名主持人，有兩種方案，若選男生則有4種，若選女生有8種選法，所以總的方法數(shù)為這兩類的方法數(shù)之和4+8=12種.

教師：很好，掌聲！

【設計意圖】問題背景貼近生活，其重要性不在于問題本身，而在于問題蘊含的“分類，加法”的一般性道理.所以，教學中教師的問法要有導向性，在師生對話中，要讓學生感受到這個問題的共性及所蘊含的“分類，加法”的本質(zhì).

問題2：討論問題1的（1）與（2）有何共性？

（小組討論2分鐘，代表交流，組員補充，教師總結，注意：要扣住“兩類，一步到位，類類互斥和加法”來分析.教師提示：這兩個問題的具體情境雖然不同，但都是在完成一件事.）

共性：（1）都是計算完成一件事情方法種數(shù);

（2）完成這件事情都有兩類辦法，每類辦法都可一次完成（一步到位）且類類互斥;

（3）總的方法種數(shù)為各類辦法數(shù)之和.

【設計意圖】通過自主思考、小組討論和相互交流和補充，在教師的引導下，總結出問題的共性本質(zhì)，為理解和歸納原理做鋪墊.

問題3：從鎮(zhèn)江到安慶，若未來每天還增開2個班次的直飛航班，我若回家又有多少種不同的直達方式？

生5：有三類回家方式，第1類，乘火車有4種;第2類，乘汽車有3種;第3類，乘飛機有2種，所以直達方式共有9種.

教師：也就是總的方法數(shù)為三類辦法數(shù)之和.

實例探究2

問題4：（1）從鎮(zhèn)江到安慶，我若先從鎮(zhèn)江乘火車到合肥，再于次日從合肥坐汽車到安慶.

一天中，火車有4班，汽車有3班，那么兩天中，從鎮(zhèn)江到安慶共有多少種不同的乘車方式？

（2）節(jié)目主持候選人中有4名男同學，8名女同學，現(xiàn)從男女同學中各選一名來共同主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？

教師：說說你對問題（1）的看法.

生6：4×3=12種.

教師：你又是怎么想的？

生6：如果乘火車1，則汽車就有3種乘法，同樣乘火車2、3、4，汽車都有3種乘法，所以就是3+3+3+3=4×3=12種.

教師：他是將火車分為四類，每一類都有3種乘汽車方法，由分類計數(shù)原理知共有3+3+3+3，再將加法優(yōu)化運算后寫為4×3=12種，說得非常好.（追問）這件事可以一次性完成嗎？

生7：不可以，需要分兩步完成，第1步先從鎮(zhèn)江到合肥，第2步再從合肥到安慶.

教師：那寫成4×3后，4和3分別表示什么？

生7：4和3分別表示完成第1步和第2步的方法數(shù).

教師：也就是說，完成這件事情的方法總數(shù)為完成這兩步的方法數(shù)之積，哪一種寫法更簡便呢？

生7：后一種，乘法.

教師：問題5的問（1）與問題1的問（1）在完成這件事情的方式上有何不同？

生7：問題1只需要一步就可以完成，而問題5需要分兩步才能完成，少一步都不行.

教師：對，缺一不可，還有不同嗎？

生8：問題1是兩類辦法數(shù)之和，而問題5是完成兩步的辦法數(shù)之積，而且完成第1步的方法和第2步的方法之間是不相互排斥的.

教師：說得太好了（掌聲）！我們把步與步之間不相互排斥稱之為“步步獨立”，請類比問題5的（1），說說你對（2）的理解.

生8：要完成選主持人，要分兩步完成，第1步選男生，有4種選法;第2步選女生，有8種選法，則總的選法數(shù)為兩步方法數(shù)之積4×8=32種.

【設計意圖】一方面，通過類比分類計數(shù)原理，讓學生歸納出分步計數(shù)原理，既起到溫故知新的作用，又達到提高學生的類比轉(zhuǎn)化能力;另一方面，從加法原理過渡到乘法原理，體現(xiàn)了兩個原理間的內(nèi)在聯(lián)系，最后落腳點在“分步，乘法”這兩個特征上，有利于新原理的主動建構.

五、反 思

有效教學，是指在師生雙方的教學活動中，通過運用適當?shù)慕虒W策略，使學生的基礎性學力、發(fā)展性學力和創(chuàng)造性學力得到很好的發(fā)展.學生的進步和發(fā)展是衡量課堂教學有效性的唯一尺度.

（一）“熟悉學情”是數(shù)學課堂有效教學的前提

奧蘇貝爾的經(jīng)典名言：“將全部教育心理學一言以蔽之曰：影響學習的唯一重要的因素：學習者已經(jīng)知道了什么.”教學內(nèi)容必須緊扣教學目標、適合學生的認知水平，靠近他們的最近發(fā)展區(qū)，教學才能引起學生廣泛的聯(lián)想和認知沖突，在獲取數(shù)學知識的同時，體驗數(shù)學知識形成與發(fā)展.

（二）“以生為本”是數(shù)學課堂有效教學的核心

要相信：我們的學生能學習、能自主學習、還能幫你教學.教師應學做一名智慧的聽眾，教學中適當轉(zhuǎn)化思維，促學生開口講;通過真誠傾聽，讓學生講清楚;適時點撥，助學生講明白.將第一思考時間還給學生;將第一表達機會還給學生;將第一體驗過程還給學生;將第一認知反思還給學生.

【參考文獻】

[1]崔允漷.有效教學[M].上海：華東師范大學出版社出版，2009.