解題中常用的數學思想例談

何衡林

摘 要 數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學行為，數學思想對數學方法起指導作用，本文對解題中常用的數學思想作一粗淺的探討。

關鍵詞 數學思想;方法;解題

中圖分類號：A，B014 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）16-0169-01

數學思想是人們在通過數學活動認識世界的過程中所形成的基本觀點，亦是對數學的知識內容和使用方法的本質認識，是對數學規律的認識。簡而言之，數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學行為，數學思想對數學方法起指導作用。

在解題過程中常見的數學思想有：方程思想、數形結合思想、整體思想、轉化思想等。解題的價值不是答案的本身，而在于弄清楚是怎樣得到這個解法的，是什么促使你這樣想的，這實際就是數學思想問題。

一、方程思想

方程思想，是指把所研究的數學問題的已知量與未知量之間的數量關系轉化為方程組，從而使問題得到解決。許多同學在學習中往往見到了方程才想到用方程的思想來解決，而事實上，許多題目表面上看是非方程的問題，有的甚至是幾何問題，但運用方程的思想來求解，使問題得到解決。

例：若和是同類根式，求、的值。

分析：已知條件中，沒有方程，由同類根式的定義構造出關于、的方程組，求出方程組的解便是問題解決。

解：由同類根式的定義，得

解得：。

二、數形結合思想

一般地，人們把代數稱為“數”而把幾何稱為“形”，數與形表面看是相互獨立，其實在一定條件下它們可以相互轉化，數量問題可以轉化為圖形問題，圖形問題也可以轉化為數量問題。數形結合思想是把數式與圖形結合起來，用代數方法分析圖形，用圖形直觀表示數、式中的關系。數形結合的思想是解決問題的重要方法，“數”與“形”的結合，使抽象思維與形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用。因此，靈活運用數形結合進行解題，往往是行之有效的方法。

例：解方程：。

分析：初看這是一道純代數題，通常的解法是分段定出的取值范圍，分類討論絕對值符號再去絕對值符號，但這樣較費時費勁。若利用絕對值的幾何意義，則可快捷求出解來。

解：如圖，畫數軸，設A（-1），B（1），由絕對值的幾何意義，求這個方程的解即是在數軸上找到與點A、B的距離和為4的點。若設所求的點為，因為AB=2，則點的位置只能在點A的左邊或點B的右邊，易得。

所以，原方程的解為。

三、整體思想

從整體上去認識問題思考問題，常常能化繁為簡，變難為易，同時又能培養思維的靈活性、敏捷性。對于某些數學問題，若從局部著手，求出“個體”可能比較困難，有時甚至不可能，但當從整體考慮，避開求“個體”，把整體代入，可能會使計算容易進行，達到捷足先登的效果。

例.已知，求的值。

分析：欲求，最易想到先求的值，但這樣計算十分冗繁，如從整體上考慮，將化成，再由已知條件，設法求的值，便可輕松求解。

解：∵

∴

∴

∴

四、轉化思想

轉化思想方法是解數學題的一種常見的、重要的策略方法，它蘊含著極其豐富的內容，如新舊知識間的轉化，互逆運算間的轉化，未知向已知的轉化，特殊與一般的轉化，靜動之間的轉化等等。轉化思想的解題過程的實際是一系列轉化的過程，為了探求問題的解決途徑，往往要改變問題的形式，從而揭示出未知與已知的內在聯系，使問題易于解決。掌握轉化思想，有助于新知識的領會和掌握，有助于提高解題能力，有助于培養和發展思維能力。在解決數學問題中，運用轉化思想可以化繁為簡，把握解題的關鍵，突破解題的難點，探明解題的方法，從而提高解決問題的能力。

總之，在解題中，只要切切實實把握好上述幾個典型的數學思想方法，就一定能提高解題能力、學習效率和數學能力。

參考文獻：

[1]李翼忠主編.中學數學方法論.