也談正四面體的前世今生

胡傳興

摘 要：在立體幾何中雖然多面體的家族很龐大。可是正多面體的成員卻很少，僅有五個。正多面體是立體幾何中比較特殊，而且內涵較豐富的幾何體，而正四面體是其中最簡單的正多面體，并且它與另外一個特殊的幾何體——正方體有著千絲萬縷的聯系，因此在各種考試中它深受命題老師的青睞。要想在碰到四面體時能猶如庖丁解牛一般地游刃有余，教師有必要且必須弄清楚它的來龍去脈，也就是它的前世今生是什么。

關鍵詞：高中數學;關系問題;正四面體

圖1：如圖取正方體的四個頂點M，B，D，S并連接MB，MS，MD，SD，SB，DB。因為四面體M-BDS的各棱均為正方體的面對角線，因此各棱長均相等，所以四面體M-BDS為正四面體。由此可知正四面體的前世就是正方體的一部分，那么正四面體的各種性質都可以放在正方體這個平臺來考慮，并且當我們碰到正四面體時首要考慮的是它的由來，因為這是它的本源。例如正四面體M-BDS的外接球的問題，由圖1可知，正四面體的外接球與正方體ABCD-SEMN的外接球是同一個球，所以當涉及正四面體的外接球時就可以用正方體的外接球。下面我們看看利用正四面體的前世今生是如何化繁為簡的吧。

一、正四面體與球及正方體的關系問題

BCD的6條棱相切的球即為正方體的內切球。

二、涉及正四面體的線面關系問題

例3.已知正四面體A1-BDC1，其外接球為球O，一平面α過棱A1B截球O的截面面積為S截，請問當S截取最小值時，A1C1與平面α所成角為多少？

解：由球的性質可知，任意平面截球所得的截面圖形為圓。所以平面α過棱A1B截球的截面為圓，且A1B為圓的一條弦。

∵A1B是截面圓的一條弦。

∴如圖4當截面是以A1B為直徑的圓時，此時圓的半徑最小，截面面積最小，此時平面α即為正方形ABB1A1所在的平面。

∵直線C1B1⊥平面ABB1，

∠CA1B1即為直線A1C1和平面ABB1A1所成的角。

又∵∠CA1B1=45°

∴A1C1與平面α所成角為45°

三、實際生活中的正四面體

由于正四面體的特殊性，命題老師也會經常改頭換面以其他形式來考查正四面體。

總之，當我們弄清了正四面體的前世今生以后，無論試題中正四面體以怎樣的形式出現，無論考查正四面體的何種幾何性質，我們都能簡單清晰地看出問題的真相所在，都能找到簡單而高效的方法。

參考文獻：

[1]甘志國.補形法，正四面體的最佳解法[J].數學教學通訊，2011（8）：39.

[2]段春華.數學題集錦：1.正四面體的一個有趣性質的證明[J].中學數學教學，1992（5）：44.

編輯 謝尾合