從“點在弧上動”看專題復(fù)習(xí)

儲著峰

摘 要：如何有效的搞好中考前的專題復(fù)習(xí)？這是許多一線老師關(guān)心的問題。本文以專題《動點求最值——點在弧上動》為例，從試題的選擇、知識的準備、試題的分類、試題的評講、問題串解、歸納總結(jié)以及變式拓展等方面談?wù)勛约旱囊恍┱J識。

關(guān)鍵詞：基礎(chǔ)知識;分類;問題串;變式;提升

引言：《動點求最值》是中考中常見的一種題型，也是較難的一種題型，而點的運動路徑又是多種多樣的，其中一種類型就是“點在弧上動”。本人在專題復(fù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，如果能夠?qū)⒈姸嘀R點分門別類，問題串解，歸納提升，精心設(shè)計教學(xué)過程，就能較好的突破難點，實現(xiàn)專題復(fù)習(xí)的有效和高效。

一、精選試題

1、（2016年安徽中考題）

如圖1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC.求線段CP長的最小值。

2、（2016湖北鄂州）

如圖2，菱形ABCD的邊AB=6，∠B=60°，P是AB邊上一點，BP=3，Q是CD邊上一點，梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點為F. 求CF的最小值.

3、（2017·威海）

如圖3，△ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為_____.

4、（2011年安徽中考題）

如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 ?（0°< ? ?<180°），得到△A1B1C.

設(shè)AC的中點為E，A1B1的中點為P，AC=a，連接EP，當 ? 為多少度時，EP的長度最大，最大值為多少？

二、知識準備

以上四個例題都與下面的基礎(chǔ)知識有關(guān)：

1、圓外一點與圓上各點的連線中，最短的是哪一條？最長的是哪一條？

2、圓內(nèi)一點與圓上各點的連線中，最短的是哪一條？最長的是哪一條？

因此，這兩個問題可作為復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，復(fù)習(xí)內(nèi)容包括畫圖表示及簡要證明。

三、分類評講

仔細分析不難發(fā)現(xiàn)：第1題易求出∠APB=90°，第3題易求出∠APC=120°，這兩題都屬于“點動角不變”的類型，若放在一起評講和練習(xí)，然后加以總結(jié)，對于學(xué)生以后解決此類問題會有很大幫助。同樣，第2題根據(jù)對稱性易得PF=3，第4題根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得PC= a，這兩題都屬于“點動（到定點）距離不變”的類型，可放在一起評講和練習(xí)。

四、問題串解

為更好的解決問題，針對題1，我設(shè)計了以下問題串：

1、∠APB等于多少度？

2、點P運動的路徑是怎樣的？

3、CP的長度最小時，點P在何位置？

4、線段CP長的最小值是多少？

針對題2，我設(shè)計了以下問題串：

1、PF等于多少？

2、點F運動的路徑是什么？

3、CF的長度最小時，F(xiàn)在何位置？

4、CF的最小值是多少？

設(shè)計問題串，為學(xué)生搭建了梯子，極大的降低了解決問題的難度，提高了同學(xué)們解題的信心，同時，也為同學(xué)們解決這一類問題提供了方法。

對于題3和題4，教師可鼓勵學(xué)生自己設(shè)計問題串，進而逐步解決問題，從中獲得解題經(jīng)驗，提高解題能力。

五、總結(jié)提升

本專題總結(jié)要點如下：

1、點動角不變→點在弧上動。即以動點為頂點的角度不變，此時點在以動點所在三角形的外接圓上的弧上運動。

2、點動距離不變→點在弧上動。即動點到一個定點的距離不變，此時動點在以定點為圓心，以動點與定點之間的距離為半徑的弧上運動。

3、化動為靜，確定最值時圖形的特殊位置，再根據(jù)靜態(tài)的圖形求出最值。

以上總結(jié)，一方面幫助學(xué)生梳理了知識，獲得基本活動經(jīng)驗，能夠在復(fù)雜圖形中快速找到解決問題的途徑，更重要的是教會了學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法，增強了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的能力，同時也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

六、變式拓展

對于一道好的試題，我們不能僅停留在能解的層次上，而要站到更高的層次欣賞這道試題。針對本專題，可以進一步設(shè)計以下問題：

題1可設(shè)計：求CP長的取值范圍。

題2可設(shè)計：改變BP的長度，結(jié)果如何？

題3可設(shè)計：求BP能夠掃到的面積。

題4可設(shè)計：將中題中 ? 的取值范圍改為0°< ? <360°，答案有變化嗎？此時，EP的最小值是多少？

總之，要做好專題復(fù)習(xí)，教師要做有心人，要認真研究課程標準，研究考題，研究學(xué)生，我們堅信，總有一種方法適合自己的教學(xué)，總有一種方法適合我們的學(xué)生學(xué)習(xí)。

參考文獻：

[1]黃玉梅.如何利用思維導(dǎo)圖優(yōu)化初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課[J].學(xué)周刊，2017（31）：95-96.

[2]武麗虹.凸顯專題特點 ?提高復(fù)習(xí)效率[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（20）：45-48.