多元積分的教學研究

閆成

摘 要：本文詳細闡述把思維導圖應用到高等數學教學中，用多元函數積分公式之間的關系圖啟發學生學習，提高認知效率，并對如何利用現有資源優化教學模式進行了初步探索。

關鍵詞：高等數學；可視化；思維導圖；積分

1高等數學介紹

高等數學是大學理工科和部分文科專業必備的一門基礎課程。其課程要求邏輯嚴格，強推理、重計算，用微積分的思想貫穿始終。學生在實際學習過程中，普遍出現了對高等數學理論和數學概念認知困難的情況。而高等數學理解水平直接影響其它學科理解，要提高國民自然科學素質就必須提高高等數學教和學的水平。單純數理推導的教學模式，不能完全適應特別是非數學專業學生的理解方式，對高等數學教學模式進行改進和創新迫在眉睫。結合教材[1]，[2]，以積分為例，本文給出了如下探究。

2多元函數積分課程教學研究

2.1整合優化教學內容給出易懂的例

多元函數積分是微積分部分的重要組成，是高等數學攻堅過程中的一座大山。積分類型很重要，不同積分類型定義不同，幾何和物理背景也不同。這要求教師要心中有例子，理論聯系實際，使學生迅速進入情景，心理接受并理解相應的積分。教學內容越是貼近實際，越能激發學生的認同感和探知欲，同時獲得解決問題的能力提升感促進學生的積極性。

2.2利用物理幾何背景分類引入思維導圖

“多元函數積分”涉及的概念多，特別是在區分第一類型和第二類型的積分的分類時，學生往往因內容多而感到困惑。因而，給出一種能讓學生迅速區分積分類型的分類方式是十分必要的。

首先，作者采用“積分區域的圖形”來分類的。定積分的被積分的圖形是x軸上的線段；而第一類和第二類曲線積分區域是空間中的曲線段，因此都是“線上的積分”。因為，二重積分的積分區域是xoy平面上的圖形；而第一類和第二類曲面積分區域是在空間中的曲面部分，所以都是“面上的積分”。“積分區域的圖形”是“體上的積分”即三重積分。這樣就明確積分的大的分類，給出了積分分類的思維導圖（圖1）。在實際教學中，學生反應這種分類方式加快和加深他們對積分理解。

其次，在課程中引入幾何和物理背景。密度—質量模型有：定積分，第一類曲線積分，二重積分，第一類曲面積分，三重積分都可以統一到這種模型。高度—面積、體積模型有：定積分，第一類曲線積分，二重積分，第一類曲面積分四種積分類型。力—做功模型有：第二類曲線積分的理解模型。流速—流量模型為：第二類曲面積分的理解基礎。結合各個積分的轉化關系給出了思維導圖（圖2）。作者對積分教學過程，就是以這個思維導圖為指引，不斷推演教學內容，完善證明和例子，從而完善學生知識框架搭建。學生對這個知識框架反應良好。

2.3教學過程恰當互動提高學生浸入感

高等數學教學中，學生大多處于被動單純聽的狀態，師生之間互動少，大部分學生不能進入學習狀態，教學效果不理想。因此，在教學過程中有針對性地，對可操作的知識點進行啟發式提問，加強學生學習浸入感。以第二類曲線積分為例，討論積分的性質：兩個可積函數和的積分等于分別積分再求和。在作者的實際教學過程中，有一個學生用物理語言描述上述性質為：兩個力的合力做的功等于兩個分力做功的和。在這個問題的回答之后，課堂的氣氛為之一變，大部分學生的思維積極性明顯提高，課后部分同學反饋，具備物理背景論述比單純的數學理論推導更容易理解。因此適當的教學互動，合理的物理幾何背景的結合，能提高學生的學習積極性。

3總結概述

結合作者教學經驗，探索性給出下面兩個原則。

思維導圖構造原則：①構建理論依據貫穿始終，主線明確；②導圖作圖簡潔對稱。

互動點設置原則：①容易結合物理幾何背景的內容；②互動時長不超過10分鐘；③時間點放到課程的中間部分。

參考文獻

[1]同濟大學數學系編.高等數學（第7版上冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]同濟大學數學系編.高等數學（第7版下冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.