談高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的解題方法和技巧

楊奕華

摘 要：近些年來，隨著教育改革的緩步推進(jìn)，在高中數(shù)學(xué)教育體系中，對(duì)于恒成立問題的教學(xué)與考核比重逐漸上升，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中恒成立問題的的分析與解決成為了其中重要的一環(huán)。在最近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷中，我們也經(jīng)常發(fā)現(xiàn)恒成立問題在其中占據(jù)了較大的比重。因此，不論從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)根基還是高考考核的角度出發(fā)，教師都應(yīng)該加大對(duì)于恒成立問題的重視，加大恒成立問題解題方法與技巧的教學(xué)比重。在本文中，筆者就恒成立問題的相關(guān)解題技巧談一談淺見。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);恒成立問題;解題策略

引言：恒成立問題一直都是高中教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)問題，許多教師經(jīng)常面臨教難了學(xué)生聽不懂，教簡(jiǎn)單了對(duì)于學(xué)生的解題水平?jīng)]有幫助的問題。不僅如此，在近年的高考試題中，屢次出現(xiàn)大分值的恒成立題目，學(xué)生遇到此類問題一下子就沒有了頭緒，往往只能選擇放棄。因此，教師如何科學(xué)有效的進(jìn)行恒成立問題教學(xué)成為了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)難題。

一、何為恒成立問題

在高中教育階段中出現(xiàn)的一系列恒成立問題往往所涉及的知識(shí)非常廣，對(duì)于學(xué)生來講，如果不能具有較強(qiáng)的知識(shí)整合能力的話，面對(duì)這類問題就會(huì)面領(lǐng)著無處下手的困境。在此類問題當(dāng)中往往會(huì)引入一定的參數(shù)，結(jié)合函數(shù)數(shù)列的集合進(jìn)行綜合出題。這些題目中普遍的特點(diǎn)就是思維邏輯要求較高，需要學(xué)生有較為靈活地思考能力。目前，恒成立問題的題目設(shè)計(jì)大概分為兩種類型。一種類型即給定某不等式恒成立，求取相關(guān)參數(shù)的取值范圍或解決相關(guān)問題。其二，即證明不等式為恒成立不等式。在本文中，筆者就這兩種主要問題談一談具體的解題方法與技巧，試圖找出什么樣的解題思路更加能夠便于學(xué)生理解與接受。

二、試析解題方法與技巧

（1）構(gòu)造函數(shù)法

在高中階段的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生較為掌握的完全平方公式一般認(rèn)為是解決恒成立問題的一項(xiàng)有效途徑。對(duì)于學(xué)生來講，面對(duì)一道恒成立問題首先需要思考的是是否能夠?qū)㈩}目通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題目。學(xué)生面對(duì)二次函數(shù)的題目就遠(yuǎn)比恒成立問題要來的趁手許多，大可運(yùn)用畫圖公式求導(dǎo)等方式求出參數(shù)的取值范圍，這樣一來，一道恒成立問題就很輕松的轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生熟知的題目類型，對(duì)于恒成立問題就沒有那么多的懼怕感了。因此，教師在日常教學(xué)的過程中，應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生分析恒成立問題是否可以導(dǎo)向構(gòu)造函數(shù)法，平時(shí)多訓(xùn)練才能在高考中更加的得心應(yīng)手。例如，來看這樣的一道問題，已知當(dāng)任意m∈[-3，3]時(shí)，不等式3x-2>m（x2-1）恒成立求不等式中x的取值范圍。對(duì)于這樣的一道題目，就是典型的構(gòu)造函數(shù)法的適用類型。將等式左側(cè)的內(nèi)容移至右側(cè)，就將整個(gè)式子轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)的形式，需注意的是，在這樣的轉(zhuǎn)化中，我們研究的是將m作為參數(shù)變量，而非學(xué)生以往認(rèn)同的x作為變量，如果學(xué)生一直糾結(jié)于x作為變量就會(huì)將問題復(fù)雜化。就例中的問題來講，這是一個(gè)屬于f（m）的式子，是在變量取值范圍中求負(fù)值區(qū)間的問題[1]。

（2）變量分離法

并不是所有的問題應(yīng)用構(gòu)造分離法都簡(jiǎn)便，在面對(duì)一些含參數(shù)的不等式求解問題時(shí)，可以對(duì)該不等式中的相應(yīng)變量與其他參數(shù)剝離，轉(zhuǎn)化為其中一邊的函數(shù)形式，最后進(jìn)行求取最值或是取值范圍的解決思路。例如，f（x）=lg（1+2x+3x+…+n-1x+nxa）/n，面對(duì)這樣的問題，顯然運(yùn)用第一種方法已經(jīng)很難解決，這個(gè)時(shí)候就要思考是否能夠?qū)⑵渲械暮诵淖兞刻崛〕鰜?，在本題中，我們考慮的就是提取出a放在等式左邊，其余在等式左邊。這么處理的好處就在于我們避免了較為復(fù)雜的lg混合函數(shù)的計(jì)算，這樣的計(jì)算難度對(duì)于高中學(xué)生來說是具備一定的困難性的，而我們提取變量之后的問題就轉(zhuǎn)變成只含分?jǐn)?shù)與指數(shù)函數(shù)的問題，這樣就便于解題了。值得注意的是，在這個(gè)問題中，我們是將原本復(fù)雜的參數(shù)求解的問題主動(dòng)轉(zhuǎn)化為了恒成立問題，運(yùn)用恒成立的思維模式進(jìn)行處理。這就帶給學(xué)生了一個(gè)啟示，恒成立問題絕對(duì)不僅僅是用來難倒學(xué)生的單程數(shù)學(xué)題目，恒成立的思考方式對(duì)于解決其他問題也有著很大的幫助，因此學(xué)好恒成立的思維模式至關(guān)重要[2]。

（3）數(shù)形結(jié)合的思想

對(duì)于高中學(xué)生來講，數(shù)形結(jié)合的思想絕對(duì)不再是一個(gè)陌生的概念，在很多的數(shù)學(xué)問題中都往往會(huì)使用到數(shù)形結(jié)合，在恒成立問題當(dāng)中自然也是如此。在一些恒成立不等式中，其中包含的函數(shù)較為簡(jiǎn)單，屬于學(xué)生掌握的范疇，就大可先將圖形化出，再根據(jù)圖形進(jìn)行相關(guān)問題的求解。例如，若x2-logax<0，x∈（-2，2）恒成立，求a的取值范圍。在這樣的題型中，可以將其看作兩個(gè)函數(shù)取值高低的問題，其中x2的函數(shù)圖像學(xué)生熟練掌握，logax的圖像學(xué)生同樣也并不陌生，因此只要將兩類函數(shù)的圖形畫出來，利用數(shù)形結(jié)合輔助求解就能較為容易的得出答案了。值得注意的是，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，一定要注意畫圖的精確性，如果在一開始畫圖的過程中就出現(xiàn)了問題，導(dǎo)致圖形不夠精確，一些細(xì)節(jié)的交匯點(diǎn)無法顯現(xiàn)，那么后續(xù)的計(jì)算就都屬于無用功，不可能得出正確的結(jié)論了。

結(jié)束語

總之，現(xiàn)在的高考考查內(nèi)容越來越多元化，也越來越注重學(xué)生的綜合能力，這就預(yù)示著恒成立問題將在高考中持續(xù)占據(jù)較大的比重，對(duì)于這類問題，在一道大題中可以就學(xué)生的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)以及邏輯思維能力進(jìn)行考察，是近些年來必出的題型。對(duì)于學(xué)生來講，如果能夠熟練掌握恒成立問題的的解題思想，面對(duì)恒成立問題不會(huì)感到焦躁，甚至能夠?qū)⒑愠闪⒌乃枷脒\(yùn)用到其他問題當(dāng)中去，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)以及數(shù)學(xué)能力都將得到巨大的提升。因此對(duì)于教師來說，如何盡可能搞笑的傳授高中數(shù)學(xué)恒成立問題的解題技巧就成為了最為重要的教學(xué)任務(wù)，在本文中，筆者簡(jiǎn)要的羅列了幾項(xiàng)恒成立問題的基礎(chǔ)解決思路，以及對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)方式，希望能夠起到一些作用。

參考文獻(xiàn)

[1]鄭桂芬.高中數(shù)學(xué)變形技巧在函數(shù)恒成立問題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2017（6）.

[2]李華清.關(guān)于高中數(shù)學(xué)恒成立的解題方法和思路的探索[J].考試周刊，2017（19）.