高觀點下的中學代數試題解題方法初探

王金隆 張紅

摘要：新課程改革后，中學教材以及高考題均增加微積分、幾何這類高等數學內容，所以中學教師和中學生都應該具備更高的數學素養。以高觀點的視角去分析初等數學中的問題，是可以提高數學素養的途徑之一。本研究選擇中學典型的代數問題，對比初等數學和高等數學視角下的解答，以此為基礎分析高觀點在初等數學解題中的簡潔性和一般性，從而更好的認識數學問題的實質，并以此分析為基礎，分別對中學教師和中學生給出適當的建議。

關鍵詞：高觀點;代數;解題方法;數學素養;

1 研究背景

“高觀點”是指使用高等數學（包括經典高等數學和現代數學）的知識、方法以及思想來解決和分析初等數學中的問題。共包含3個方面的內容：現代數學的思想和方法在中學數學中的滲透;高等數學對中學數學的具體指導;中學數學某些難以處理的問題在高等數學里的背景分析[1]。

新課程標準指出，為了在大學中學習數學打下基礎，高中階段的學生應該具備更高的數學素養。新課程改革之后，中學的數學教學內容和高考題中均增加了高等數學的內容和問題，主要包括分析、幾何等內容[2]。

通過相關文獻的查閱發現，有160余篇文章研究高等數學與中等數學的關系。這些文章可分為三類：高等數學對于中等數學教學的啟示;高等數學對于高考題的編制與解答的應用;中等數學教學中高等數學的應用現狀。如：2014年周瑪莉、張勁松在《高觀點的數學思想對數學教學的啟示》[3]一文中，對某市的中小學教師進行了相關問卷調查，而后統計中發現，93.06%的老師對現代數學幾乎沒有了解，很少關注高觀點下初等數學的老師占總共的80. 56%。2014年閆李錚、李三平的《中學數學教學中高等數學的應用現狀及原因淺析》一文[]，對深圳多所學校進行了相關的問卷調查，通過回收問卷中的數據發現，對高等數學內容遺忘較多占61%，并且大部分教師在課堂中不會使用高等數學的知識和思想，偶爾會在課堂中運用高等數學的教師不足10%。這表明了很多老師對于高等數學的遺忘較多，了解太少，在教學中很少涉及高等數學的內容，所以對于高觀點下的初等數學的研究很有必要。

已有的高觀點解題的研究，大都是較為寬泛。為了提高中學生的數學素養，需要對高觀點下的解題進行詳細的研究。本研究選擇中學代數的典型試題，對初等數學和高等數學的解題方法進行比較，以此分析高觀點給初等數學解題帶來的簡潔性和一般性，從而更好的認識數學問題的實質。

2 研究實例

2.1 數學分析對中學數學試題的作用

例題1：求實數x，y的值，使得（y-1）2+（x+y一3）2+（2x+y-6）2的最小值[5]

分析：對于中學生，解決此題有兩個方向，一是配方，二是均值不等式;但是配方如果展開所有項數，那么項數過多，難度太大;如果使用均值不等式，那么從何人手？在哪里使用均值不等式又是難點。但是如果有數學分析的基礎，這道題就比較容易解決。以下對初等數學的解法和高等數學的解法進行展示和比較。

法1：因為展開所有項數，難度過大，所以思考通過換元法簡化計算

令x+y-3=a，則有2x+y-6=2a-y

故原式就可以變為F（x，y）=（y—1）2+a2+（2a-y）2，則可將F（x，y）展開，然后配方得：

法1是首先使用換元法，然后將多項式展開，最后配方。為了簡算而使用換元，這較為容易想到，但是即使簡算之后，配方的過程仍然很難。例如怎么選擇項數，怎么增添項數，學生在解答時仍然較為困難。又通過觀察后發現，每個括號都有平方，故就將所有括號項都進行換元，由此產生第二種方法。

法2是通過法1得出，雖然與法1相比，簡化了計算，但是如何分配a，b，c的值，這太過特殊，并不具有推廣性。這就意味著變換某個數據，這個方法中a，b，c的值需要重新分配，也就意味著即使是原題型，難度依然不會減少。如果配方難度太大，可否采用均值不等式？這也就產生了第三種方法。

法3使用了均值不等式，在什么位置構造均值不等式，怎么構造是這一解法的難點。并且這種解法可推廣性也不高，只適用于部分題目。

前三種解法可以歸類為配方和均值不等式法，均為初等代數的方法，而這三種解法難度較大。如果學生具有高觀點的視野，例如數學分析的基礎，這種題目就較為簡單。

法4使用了柯西不等式，方向非常明確，思路很清晰。與前三種初等代數的解法相比較，這種解法要簡單、清晰許多，并且這個可推廣性也較大，前三種解法的構造較難，學生比較難聯想到，需要大量的練習和積累。而解法4，只需要學生掌握柯西不等式的基礎，就能夠很快的解答，并且推廣性也較高，這就是高觀點的優越性。

法5對原式分別對x，y求偏導，得到一個微分方程，通過微分方程確定x，y的值。方向非常明確，思路很清晰，并且可推廣性也較大。

綜上所述，法1、法2、法3這三種屬于初等代數的方法，難點在于怎么構造配方，怎么構造均值不等式，這些構造的方法都需要學生日積月累的練習，積累經驗才有可能聯想到，所以對于中學學生來說，難度較大。后兩種方法的思路非常清晰，更具有一般性。與前三種方法相比較而言，如果有了高觀點知識的視野，那么解答這種題就要簡單許多，由此可以看出數學分析知識給中學數學試題解題帶來的便利性和簡潔性。

分析：這種方法是初等代數的方法，首先設出兩個多項式，最后通過等式的性質，公式法，因式分解，求出兩個多項式分別是什么？這個方法的難點在于公式的變形，這需要學生具備很強的數學功底，以及日積月累的練習，才能掌握。對于學生來說，尋找這些思想的方向較難，故造成了初等代數方法過程簡單，但是思維很難。這也是這種方法推廣性不強的原因之一。

法2為高等代數中多項式的應用，通過次數和首一多項式設出兩個多項式的形式，然后展開，通過與原多項式系數的比較，確定出答案。這種方法思路很清晰，只要學生具備多項式次數和首一多項式的概念，基本就能解答。與初等代數的方法相比較，可推廣性大大增加，并且有利于學生理解數學的本質。

對比高等代數與初等代數證明的方法，可以看出初等代數方法中的難點在于把握公式，對于公式的變形，構造等式都需要一定量的數學基礎，需要學生日積月累的大量練習這種題，可能才會解答。因為初等代數中的解法較為特殊，構造比較特殊，并不具有一般性。而高等代數的方法更嚴謹，并且方法具有一般性，如果學生儲備這些知識，解答中學代數試題就會感到比較容易。

3 研究啟示

通過分別以高等數學與初等數學進行解答的比較，可以看到高等數學的方法明顯優于初等代數的方法。高等數學的方法思路清晰，步驟簡單明了，可推廣性強，具有一般性。從高觀點分析初等數學，對學生和教師有以下兩點幫助：

（1）提高數學教師與學生對于數學本質的認知

教師只有清楚的了解高等數學之后，再研究初等數學，才能更深刻的把握初等數學的本質。學生只有了解高等數學的一定知識之后，才能把握數學的本質。例如數學分析中極限的思想、辯證的觀點，都有助于學生把握數學本質。

（2）提高學生數學解題能力

初等數學中的許多問題，如果僅僅采用初等數學的方法，解答起來難度較大。因為許多公式的應用，公式的變形，等式的構造等等，都需要學生具有許多的題量儲備，經過大量的聯系才能解答。但是如果放在高觀點的背景之下，那么這些問題解答較為容易。并且這種方法的可推廣性也較大。

故由此提出兩點建議：

（1）提高中學數學教師的數學素養

隨著新課程改革的推進，微積分等高等數學的內容也下放至中學的教材中，數學教師面臨這一挑戰，更需要更新自己的認知，研究高觀點下的初等數學，提高教師的專業水準，拓展教師的視野。中學數學教師在授課中，對于數學的本質有所欠缺，對于學生解題能力的訓練重心有所偏移。應該提高中學數學教師對于高等數學的認知水平，加強教師對于高等數學知識的又一次學習。這樣才能有助于在授課中把握數學的本質。

（2）促進學生積極主動了解高等數學知識

學生的解題能力并不是要通過題海戰術完成，而是通過了解更多、更深層次的數學知識。如果學生具備一定的高觀點下的數學視野，那么對于解答初等數學的數學試題有所幫助。所以通過促進學生了解高等數學的知識來提高學生的解題能力是最有效的辦法。

參考文獻

[1]蒲淑萍.F.克萊因的HPM思想及其教學啟示[J].浙江教育學院學報，2010（5），16-20.

[2]韋玉球，高等數學在中學數學教學中的應用[J].課程教育研究，2016（11），91-92.

[3]周瑪莉，張勁松.高觀點的數學思想對中學數學教學的啟示[J].中學數學月刊，2014（3），7-9.

[4]閆李錚，李三平，中學數學教學中高等數學的應用現狀及原因淺析[J].科教導刊，2014 （3），149- 183.

[5]李三平，高觀點下的中學數學[Ml.西安，陜西師范大學出版總社有限公司，2013.

[6]舒湘芹，陳義章觀點下的初等數學[Ml.湖北，湖北教育出版社，1989.

[7]邱華，江雪萍，從初等數學到高等數學銜接的教學探究[J].淮北師范大學學報.2012 3，33 （1）：90- 92.

[8]申濤，張紅，平面幾何競賽題解題思想方法初探[J].中學數學研究，2019（12），37-40.