初中幾何教學推理有效性的策略研究

朱滿華 陳敏妍 鄧渲錦

【摘要】現行幾何課程在一定程度上弱化了幾何推理的要求，課程改革呼喚來自于實踐調研基礎上有針對性的教學研究，一線教師期待具有可操作性的有效教學策略的引領。實施初中幾何推理教學有效性的策略研究，倡導以人為本，為學生服務的思想，緊緊圍繞“以學生為主體、以教師為主導、以練習為主線、以培養學生推理能力為核心”，切實踐行輕負高效的教改新路。本文通過對初中幾何推理教學的現狀和原因分析，對初中幾何推理教學的有效性策略作系列探討，為提高初中幾何推理教學水平提供參考借鑒。

【關鍵詞】初中；幾何推理教學；有效性策略

幾何推理教學難的問題要求我們關注幾何推理教與學的過程。我國傳統的初中幾何教學，以證明為主要內容、以發展學生形式邏輯思維能力為主要目的。但因其帶有較強技術性和難度，脫離現實生活，缺乏對原理和本質的揭示等，使學生產生畏學、厭學心理，幾何教學因此而遭到較大非議?！秶鴦赵宏P于基礎教育改革與發展的決定》中指出：應重視基礎知識、基本技能的教學，并關注情感、態度的培養；開展研究性學習，培養學生提出問題、研究問題、解決問題的能力；鼓勵合作學習，促進學生之間相互交流、共同發展，促進師生教學相長。基于此，在初中幾何課堂教學中應倡導建立以“主動參與、樂于探究、交流與合作”為特征的學習方式，注重學生的全面發展，重視學生的個性發展。因此，加強幾何推理教學的有效性研究勢必成為每一位教師共同面臨的課題。

一、初中幾何推理教學現狀和原因

1.幾何教學方面

隨著基礎教育數學課程改革的不斷深入，打破傳統封閉的幾何體系，改變單一的推理技能演練，發展學生的幾何推理能力已逐步得到認同，但如何從簡單推理開始，逐步發展到間接和復雜推理，仍是困擾幾何教學的主要問題。教師普遍反映，教幾何推理比教幾何證明更難以把握。根據課程改革的要求及課程標準的理念而編制的各類教材如雨后春筍，然而新教材留給老師的空間很大，不少老師對幾何教學要求的定位、對教學內容深廣度的把握以及在課堂中有效地落實好三維教學目標還存在許多困惑；知識與技能目標還可以通過作業來反饋、通過檢測來評價，而對過程與方法、情感態度與價值觀目標如何在教學中滲透、在課堂中實現很是茫然。這些嚴重影響了幾何課堂教學有效度的達成。

同時，幾何課堂教學中的低效與無效情形仍廣泛存在。在課堂教學中，教師講的多，包辦的多，經?！皾M堂灌”或“滿堂問”；“表面上像探究，實際上是講解”，因為探究中過多幫、扶，使學生缺乏應有的自主性，大部分學生仍處于被動接受的地位，思考力水平明顯下降；不少老師對一些主要課型的教學策略和教學模式還停留在原有教學理念和教學要求的層面上。結合實際，分析問題產生的原因：老師對初中幾何推理教學的目標把握不準，在初中三年學習缺乏清晰的有層次性的培養目標；老師對幾何推理教學方法和策略不得當，未能適應學生當前的學習需要；學生初步接觸幾何推理學習，對幾何推理的思維方式與書寫規范等非常陌生，有待課堂教學中教師的培養、指導。

2.幾何學習方面

從八年級要求學習幾何推理開始開始，數學分化現象逐漸顯現出來：一方面，因幾何的有趣和富有挑戰性而增強了學生學好數學的信念；另一方面，一些學生的數學成績因幾何學不好而下滑，這些學生因怕幾何而怕數學，又因幾何學不好而對學數學失去信心。即“怕幾何—怕數學、厭數學—放棄數學”。因此有人稱：幾何是一把“雙刃劍”。

在調查中了解到，學生厭學幾何原因是多方面的：一是從小學數學中的算術、代數到初中的幾何，數學學習發生了由數到形、由計算到推理的轉變，學生一時難以適應；二是幾何入門概念多、幾何語言要求高、形式邏輯推理太抽象等；三是學生對幾何證明的意義和背景不了解，看不到學習幾何的價值；四是受教師教學觀念和教學水平的制約較大；五是受教材的制約大，松散的幾何系統影響了學生把知識看作一個統一的整體，學生獲得的只是一些零散的東西，知識的遷移力差。

二、初中幾何推理教學的有效性策略

理念與實踐之間的差距提醒我們，開展教育科學研究，不能單靠有熱情，更需要有理性。我們需要理性地思考影響幾何課堂教學有效性的因素，我們更需要理性地探求課堂教學有效性的策略。

1.重視幾何中的基本概念教學，培養學生的記憶力和運用概念進行推理的能力

數學概念反映了對象的空間形式、數量關系的本質屬性，是數學最基礎也是最重要的知識，就好像是“數學理論大廈”的“基石”。數學推理中的概念是進行推理的前提，是使用數學公理和定理的邏輯基礎，同時可以培養學生的研究意識與推理能力。因此教師要重視概念教學，讓學生理解概念的內涵和外延并牢固掌握靈活運用。

教師要做到這一點，首先，要務必重視概念的引入。概念的引入有多種方式，教師要盡量做到密切聯系生產、生活，通過觀察具體的事物模型等，建立概念。例如，在講《全等三角形》的全等概念時，可以通過生活中“一模一樣的照片”引出“數學中的全等”；其次，要抓住概念的本質。教師要通過從不同的方位和角度突出概念的主要特征，讓學生認清楚概念中每一詞句的真實含義，通過反例強化學生對概念本質的理解。

例如，在講“角”這一概念時，教師要講清楚角的定義，并重點強調角的表示方式，還可以與邊的表示放在一起比較，加深學生對角的理解。第三，要鞏固深化概念，靈活運用概念：為鞏固概念，教師可以將概念放在不同的場景中，讓學生從熟悉的定義中感受新的啟迪。例如，在講“同位角”“內錯角”“同旁內角”時，教師多給些課本中沒有的圖形，讓學生在不同的圖形中尋找這些角，并在找角的過程中加深對這些角的概念的理解。最后，強調概念在幾何推理中的導向作用：在概念教學過程中，結合實例讓學生意識到概念在幾何推理中的導向作用，幫助學生深刻理解并掌握概念。

再例如，初二下學期學習的平行四邊形概念，由利用它的概念及三角形全等的知識點就可以推理獲得它的性質定理。在概念教學中，教師要教學生一些方便有效的記憶方法，如編順口溜等，也可以利用圖形加深記憶。

2.重視幾何性質定理的學習、理解和書寫的規范性，提升學生幾何推理的準確性和流暢性

在數學推理書寫過程中，教師應及時對數學語言符號體系進行歸納總結，這樣有利于學生第一印象的識記，對于證明中的依據、順序、步驟應重點強調，必要時可進行書面書寫訓練等。

第一，在幾何性質定理的學習、理解時，強化訓練學生對幾何符號語言的正確表達。用幾何符號語言來表示推理過程是初中生學好幾何的前提，也是培養初中生幾何推理能力的一種策略。在教學中，要讓學生熟悉并掌握“∵（因為），∴（所以）”的幾何書寫格式，并讓學生在初學幾何定義、定理性質時學會將文字語言表述轉化成符號語言，從而簡化幾何書寫，使推理思路更加明確和清晰。如教師在講授“兩直線平行，同位角相等。”這個定理時，應該有圖形語言在旁邊輔助教學，還要有規范的數學符號語言，如：∵a//b，∴∠1=∠2。

第二，在幾何性質定理的學習、理解時，要引導學生積極參與幾何教學活動，使課堂“活”起來。一方面，讓學生參與對幾何問題的討論、操作和實驗，使學生在參與中輕松地獲取了知識和方法。另一方面，學生這種自身參與的探索、研究一旦獲得成功，他們會產生一種自豪感，從而推動學生更有信心地學習、探索和創造，從而對學習幾何產生更濃厚的興趣。如在“平行四邊形性質”的第二課時教學中，先讓學生回憶平行四邊形的對邊和對角之間有什么關系，等大家答出“對邊相等，對角相等”，然后問學生“平行四邊形的對角之間有什么關系？”讓學生去猜想，讓學生拿尺子到黑板上去量。在學生得出結論后，再由學生自己完成結論的證明。這樣的教學既提高了學生的學習興趣，又能使學生的能力得到培養，拓寬學生的思路，使課堂教學真正“活”起來。讓學生在課堂上充當“老師”的角色進行演繹推理，發揮學生學習的主體地位，充分體現“自主學習、合作學習、探究學習”的新課程理念，讓學生會學、樂學。

3.編制幾何學習專題集，提高學生的推理能力，從而提高幾何推理教學的有效性

初中幾何推理具有嚴密的邏輯知識體系，內容之間相互聯系、緊密銜接。教師的證明教學存在一定難度，要對學生進行科學的專題訓練，開展生動的教學活動，提高學生問題分析的能力。其中，專題訓練不是單純地搞“題海戰術”，而是要采用科學的方法對某一知識模塊進行訓練，注重對知識和方法的總結歸納，并進行反思。此外，教師要開展生動的教學活動，加強幾何推理技巧訓練。

（1）基本圖形訓練教學

正確而靈活地識別幾何圖形是證明幾何問題的前提和基礎。幾何學研究的對象是幾何圖形，幾何圖形千千萬萬，有的簡單，有的復雜。在這些圖形中凡是我們學習過的定義、定理、公理、推論所反映的圖形都屬于基本圖形，教學中要讓學生通過觀察，歸納，類比，尋找基本圖形，探究基本圖形的性質和幾何圖形的演變，對比復雜圖形和基本圖形，從而提高證明能力。

（2）變式訓練教學

教學中精心選題，特別是選擇具有代表性的題，適當地對原題進行深層的探索，適當改變條件，從而挖掘出更深刻的結論，這樣可以充分發揮學生的潛能，培養發散思維，激發學生學習熱情，從而提高其推理論證能力。

（3）一題多解訓練教學

通過一題多解，培養學生思維的廣闊性。推理中讓學生大膽質疑，大膽創新，通過多角度，多方位，多層次地探求解題思路和方法，開闊學生思路，培養思維的廣闊性，培養學生探究精神，從而提高推理論證能力。

（4）數學思想方法教學

不同階段，關于幾何推理能力的培養與提升有不同的要求。而幾何專題復習階段是學生系統地提升幾何推理能力的關鍵時期。所以，在該階段的教學上，應從更高層次的數學觀點入手，針對不同的學生，采取合適的教學手段，通過數學思想方法的滲透、提煉、總結、掌握、運用，充分提升其思維水平，從而達到幾何推理能力的提升與強化。

4.運用電子白板、微課等形式，提高幾何推理教學的效率與質量

在初中平面幾何教學中，幾何推理是教學中的重點。微課與電子白板具有靈活、直觀、高效、易操作的特點，結合傳統教學手段，能在課堂及課后更有效地幫助學生理解某些抽象、難懂、復雜的幾何概念與模型，從而更有效地提高幾何推理教學的效率與質量。

（1）電子白板在幾何推理教學中的應用

一是可直觀且高效地展示出較為抽象或理解難度較大的幾何概念。對于某些幾何概念，單純靠傳統教學手段，學生理解起來較為抽象，不易掌握其本質，若僅靠傳統教學手段，會花費大量的時間且不容易得到較好的效果。若利用電子白板，則能簡化發掘本質的過程，提高課堂效率。

二是清晰且高效地呈現出同一幾何背景的所有不同的情況。某些幾何概念或幾何問題所涉及的情況種類較為復雜，僅靠傳統教學手段在有限時間內同樣難以十分清晰、高效地把所有情況清晰地列舉分析清楚，可若結合電子白板，不僅能提升課堂效率，還可以讓學生更清晰地掌握所有情況的來龍去脈，有助于其思考與分析。而在解決某些涉及到分類討論的動點問題時，利用電子白板結合其他多媒體及傳統教學手段，有助于學生更清晰地理解題目，掌握方法，生成解題思路。

三是高效、全面且靈活地呈現同一到題的不同解題思路與解題方法。①利用電子白板生成思維導圖，比用傳統的方法，更高效、全面且更靈活。在幾何推理教學中，思維導圖能使學生對某內容形成系統的架構，因此在某些知識點龐大且復雜的內容中，思維導圖往往能幫學生在紛繁復雜的零碎知識點中理清知識點間的聯系，從而形成系統的知識框架與知識網絡，進一步鞏固并強化學生的幾何推理能力；在幾何推理教學的習題課中，思維導圖更能引導學生的解題思路；②利用電子白板的投影功能呈現學生的不同思路與解法；③利用電子白板的投影功能呈現學生在學習過程中的某些理解或邏輯上的錯誤。

（2）微課的優勢

在幾何推理教學中，微課的使用可分為兩類：

一是針對某個情況較為復雜或較為抽象的幾何概念。幾何推理教學中，某些幾何概念所涉及到的情況較多，學生在學習時就很容易出現對概念的混淆或幾何語言的表述混亂。此時，在結合課堂教學的基礎上，利用微課，讓學生對這些概念有更全面、清晰、深刻的理解，能減少學生在幾何推理學習中所走的彎路。

二是針對某個有一定難度的幾何專題或幾何模型。對于某些有一定難度的幾何專題，由于其對學生綜合運用知識與推理能力的要求較高，因此僅靠常規課堂教學不容易讓學生完全掌握。而教師可通過設計針對這些幾何專題的微課，讓水平適合的學生能在課后仍可繼續學習鞏固，從而達到學生能力的訓練與提升。以“一線三等角幾何模型”專題為例，該內容并非課標要求所學內容，但對該內容的學習能訓練學生對相似三角形判定與性質的綜合運用水平，提升其運用相似三角形的知識解決問題的能力。而該專題對學生的觀察、理解、推理能力的要求較高，所以需要學生花足夠的時間去學習掌握。因此，教師可針對不同層次的學生，設計適合各自水平的關于此專題的微課，讓學生不僅在課堂上得到鍛煉，在課堂外也能通過微課學習與掌握。

5.因材施教，讓不同層次的學生在數學推理能力上有不同程度的發展

首先，任何能力的培養都必須充分考慮學生的身心特點和認知水平，注意層次性和差異性。另外，要使學生都能體會到推理的重要性、證明的必要性，使學習數學推理成為學生的自覺要求，克服“為了推理而推理”的盲目性，還要注意推理論證“量”的控制，以及要求的適度。教師在教學中，當有的學生提出比較靈巧但缺乏通用性的方法時，要鼓勵和肯定，但并不一定把這種解法展開介紹向全體學生。有經驗的教師并不做解法的奴隸，而是做學生的“知己”，面臨一道題，他首先考慮，如果我是學生，我會怎樣想，而不是僅僅醉心于某種解法多么巧妙。

從七到九年級幾何推理發展系統上來看，七年級教師有忽視平面幾何“圖形初步認識”這部分內容教學的現象，認為內容零散，缺乏幾何“實質”性內容，從而壓縮時間，匆忙而過，不求甚解，影響了直觀推理能力的發展。此外，重視讓學生通常采用實驗驗證方式進行判斷，忽視了超越直觀進行思考的直觀感知能力的培養。八年級學生重視邏輯規則的學習和幾何推理過程的模仿，九年級學生主要精力集中在做結構良好的幾何推理題。調研結果顯示，八年級和九年級學生在直觀推理作業表現為通過直觀感知進行判斷和推理，其準確率不高。統計顯示，高年級學生在基本的幾何直觀問題上的表現甚至不如七年級學生。在類似于“用四個直角梯形拼成平行四邊形”的題目中，九年級學生表現水平較低，在作圖、圖形變異和移動、操作等作業中沒有表現出高年級應用的水平。

6.推進幾何推理教學設計在各個環節上的教學組織過程的優化，提高教學的有效性

首先，創設問題情境。情感作為主要的非認知因素制導認知過程，發展學生良好的情感，可激發想象力，使創造性思維得到充分發揮，反之則會壓抑學生學習的主動性。問題解決應成為數學教學設計的邏輯起點。針對幾何課題學習內容，創設良好的問題和情感環境，建立起幾何課題學習內容與現實生活中的圖形、物體和實際問題的聯系，引發學生的問題意識和為達目標而主動探究學習的迫切心理傾向，通過問題解決有效地促進學生幾何推理能力的發展。

其次，經驗材料的數學化。數學地組織現實世界中的過程就是數學化。要讓學生通過形象識別、實驗驗證、直觀感知等一系列直觀推理活動，確認情境中提供的各種信息，提出可能的猜想；通過結構關聯推理活動，明確課題所包含的要素及其關系，進而初步建立起課題學習的知識框架結構；通過描述推理對這一思維過程進行描述或表達，進一步明確課題學習目標；通過對本階段推理活動的系統回顧和反思，總結一系列推理活動的體驗和策略，理順認知，優化思維過程，進一步明確課題學習的目標。從創設問題情境到經驗材料的數學組織，一般經歷：弄清問題—提出猜想—擬定計劃—明確目標—回顧五個環節。

第三，邏輯化。邏輯化是通過邏輯組織和推理核實猜想。落實計劃，達成目標的過程。在經驗材料的數學化過程中，必然會提出一些相關的概念、方法和結論等數學材料。在這一環節中，首先要按照幾何推理的規則要求，確認和表達經驗材料的數學化獲得的信息，揭示概念的內涵和外延，對概念給出定義，對結論給予明確的表達，以明晰概念，理解結論的內涵。對獲得的結論進行驗證和證明，這一過程仍依賴個體經驗和已經掌握的定義、公理、定理等，建立起落實計劃所需要的各種關聯關系，從中發掘和表達蘊含關系。在此基礎上，對前三個環節的思維過程進行系統回顧，理順認知，優化思維過程，并進一步明確結論，建立起與個體認知結構的必然聯系，促進學習成果的提升和“固化”。這一過程經歷：信息確認—邏輯推理—結論—回顧。

第四，應用。將邏輯化過程獲得的結論應用到新的情境中，讓學生感知和體驗數學知識應用的基本規律和方法，在解決實際問題的過程中，實現對所學到的邏輯知識的深刻理解，增進對數學學習意義的理解，體驗數學的價值。包括直接應用、間接應用和綜合性應用。一般經歷：問題情境一建立模型一解釋一拓展四個環節。

第五，反思。對推理活動過程進行系統反思，概括知識結構，升華思想方法；歸納推理活動的范圍、策略與方法；同學間交流經驗和交互評價，教師激勵評價；總結經驗教訓，寫出學習心得體會。幾何課題教學要重視訓練學生進行自我反思，給學生自我評價的機會，使學生善于表達自己的觀點，比較他人的觀點，給出他們能夠接受這一觀點而不是另一觀點的理由，以增強學生的自我意識，發展學生的元認知能力，促進學生對自己的推理活動及時進行分析和評價，提高學生學習的自覺性，及時調整和改進學習過程。

三、總結

本課題將著眼于尋求在各教學環節中提升教學有效性的策略，在基本概念、書寫規范化、專題教學訓練、電子白板和微課的使用、因材施教、教學設計的優化六個方面為提高初中幾何推理教學進行了詳細的分析總結，具有一定的現實參考意義。課題通過把握初中學生的學習心理特征與認知發展規律，探討如何讓學生掌握幾何語言、幾何圖形、幾何符號三者的轉換方法、表達方式，以提高學生的學習興趣和自信心，促進學生推理能力的發展和提高；提高教師的自我反思能力，養成不斷審視課堂、研究課堂、反思課堂的習慣，從而不斷提高自身的課堂教學能力和技巧。

同時，本課題研究也存在著一些缺陷和不足：首先，在新課標下，指導幾何推理教學應該用什么樣的理論，或者說什么樣的理論與幾何推理教學為最佳組合在本研究中有所欠缺。其次，幾何推理主要包括演繹和合情推理，本研究中并沒有對這兩種推理做詳細的教學策略方面的探究。第三，怎樣把現代技術與幾何推理教學更有效的整合，達到最優化的效果，本研究還有待進一步深入。最后，本研究是在多年教學實踐的基礎上提出的有效教學策略，主要是從教師的“教”這一方面進行策略分析，而對于學生的“學”、“性別差異”等方面考慮的較少。

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