函數思想在中學數學的應用

熊雪梅

摘要：隨著時代的發展，特別是數學的廣泛應用、計算機技術和現代信息技術的發展，數學課程設置和教學實施應重新審視基礎知識、基本技能和能力的內涵，形成符合時代要求的新的“雙基”。函數思想是中學數學教學中一種重要的思想，《標準》要求學生把函數作為描述客觀世界變化規律的重要數學模型來學習，結合實際問題，感受運用函數概念建立模型的過程與方法。

關鍵詞：函數思想;應用;教學實施

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2019）06-0271-01

1.問題提出及研究的目的意義

中學函數教學特別是高中函數教學的難點在于函數概念，重點在于應用，關鍵在于符號語言的掌握。那么如何讓學生建構函數的知識技能，思想方法，如何建構函數模型，用模型去分析和解決實際問題，提高函數知識的應用水平。如何把函數的“學術形態”轉化為函數的“教育形態”，鄭毓信先生指出：“數學是一種模式的構建活動，而且模式本身就是數學的研究對策”“數學教師的任務在于返璞歸真，把數學的形式化邏輯鏈條，恢復為當初數學家發明創新時火熱的思考，只有通過思考才能最后理解這份冰冷的美麗。”

讓學生通過探索交流合作，挖掘出函數教學中的美學價值。如哪些方面體現數學的對稱美、和諧美、簡約美和奇異美？在教學中，教師應在課堂上揭示函數知識、函數思想的種種應用價值，讓學生充分得到函數美的享受。提高學生對函數知識的學習興趣和運用函數知識解決問題的能力，這將是本研究所要做的工作和研究的意義之所在。

2.函數概念的“變量說，，和“對應說”

2.1 “變量說”認為函數是現實世界中變量之間的依賴關系

函數是一些量依賴于另一些量，也就是說一些量的值隨著另一些量的值變化而變化的客觀事實的抽象概括。

定義：設x與y是兩個變量，如果當變量x在實數的某一范圍中變化時，變量y按照一定的規律隨x的變化而變化，我們稱x為自變量，y為因變量，變量y稱為變量x的函數，記為y=f（x）。

2.2 “對應說”的三種定義

（1）“對應說”中用變量形式描述的“傳統定義”

如果在某變化過程中有兩個變量x與y，并且對于x在某個變化范圍內的每一個值，按照某個對應規則f，都有唯一確定的y值和它對應，那么f就是x的函數，，稱為自變量，x的取值范圍稱為函數的定義域，和的值對應y的值稱為函數值，函數值的全體稱為函數的值域。

（2）“對應說”中用映射觀點闡述的“近代定義”

函數就是集合A到集合B的映射，其中集合A，B都是非空的數集，對于自變量x在定義域A中的任何一個值，在集合B中都有唯一確定的函數值y與之對應;自變量的值相當于原象，和它對應的函數值相當于象;函數值的集合c就是函數的值。顯然，CB即函數是數集之間的映射，是集合之間的一種關系。

（3）“對應說”用集合來描述的“現代定義”

定義在集合A上取值于集合B中的函數f是笛卡兒積A×B的子集，即fA×B，且對每一個x∈A，都有唯一確定的y∈B，使得（x，y）∈f。

定義域、值域、對應法則是函數的三要素。確定一個函數，只需兩個要素：定義域與對應法則。正確理解他們之間的關系，是解決有關函數問題的關鍵。但在教學中，應強調對函數概念本質的理解，避免在求函數定義域、值域及討論函數性質時出現過于繁瑣的技巧訓練，避免人為地編制一些求定義域和值域的偏題。

3.函數思想在中學數學中的應用

3.1 函數思想在方程中的應用

函數與方程是兩個密切相關的數學概念，它們之間相互滲透從而形成函數與方程的思想。函數與方程思想在近幾年的高考中都得到了充分體現，因此函數與方程思想的應用是尤為重要的。課標標準還指出讓學生初步運用函數思想理解和處理現實生活和社會中的簡單問題，利用函數的性質求方程的近似解，體會函數與方程的有機聯系。

函數y=f（x）可以看作方程f（x）-y=0，而方程f（xy）=0當取非空集合A中任意一個x，都有唯一確定的y，使得x=x，y=y，為方程f（xy）=0的解則此方程f（xy）=0可以確定y關于x的函數。因此，許多函數問題、方程問題可以利用上述關系解決。高中數學中的方程都可以表示為或f（x）=g（x）的形式，其中f（x）和g（x）都是x的函數，方程f（x）=0的根的幾何意義是函y=f（x）的圖象上的零點（與x軸交點的橫坐標）;方程f（x）=g（x）的根的幾何意義是兩個函數y=f（x）和y=g（x）的圖象交點的橫坐標。

3.2 函數f（x）=0思想在數列中的應用

什么是數列？數列就是按一定次序排列的一列數，如果從函數的觀點來看數列，數列就是定義域為正整數集的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值。用函數的觀點看通項公式，即通項公式a=f（n）。對于等差數列，我們也可用函數思想來理解，對于等差數列的通項公式a=a+（a-1）d，當d≠0時，是n的一次函數，它在直角坐標系中的對應點是一條直線上均勻排開的一群孤立的點，從函數觀點看，當d>0（<0）時，a。是n的增（減）函數，因此公差為正（負）的等差數列是增（減）數列，當d=O時，a=a是常數列，對于等差數列的前n項和公式s是n的二次函數，可以用二次函數的知識研究的最值問題，同時容易得到數列{a}是一個等差數列的充要條件是s=an+bn（a，b∈R）。同樣，用類比的方法也可以挖掘出等比數列中蘊含的函數思想，這樣對于我們指導學生學習數列知識將會達到事半功倍的效果。

4.教學中應注意的問題

函數教學要善于階段性的總結，這樣有利于樹立函數觀點，提高利用函數意識。為此在教學中要進行及時評點與總結，達到提高解題能力，深化思維過程，培養思維深刻性的目的。順利解答函數問題的基礎是掌握函數知識，復習時要注意不斷深化函數知識，新知識應及時納入已有的知識體系，特別要注意數學知識之間的關系和聯系，逐步形成和擴充知識結構系統，使學生能在大腦記憶系統中建構“數學認知結構”，學生在解題時就能尋找最佳解題途徑，優化解題過程。

應注意鼓勵學生運用現代教育技術學習、探索和解決問題。例如，利用計算器、計算機畫出指數函數、對數函數等的圖象，探索、比較它們的變化規律，研究函數的性質，求方程的近似解等。

實踐證明，函數觀點和函數意識孕育在平時的潛移默化的教學中，來自教師指導下的靈活扎實的思維訓練和解題實踐。在這個過程中，教師不僅要結合教學內容給學生系統介紹各種思想方法，而且要對凡是能水到渠成的，能為學生所接受的好思想和好方法應不失時機地給學生介紹和示范，及時總結提煉。只有這樣經常有意識地進行類似的訓練，才能加強學生的函數意識，優化學生的思維品質，真正實現綜合能力和素質的提高。

參考文獻：

[1]沈桂蘭.巧用函數思想，妙解數學問題[J].啟迪與智慧（教育），2016（10）.

[2]吳學文.關于中學數學“函數”板塊教學策略探究[J].學苑教育，2019（01）.