排列組合應(yīng)用題背景探秘

惠丹妮 李德葆

摘 要：排列組合是高考常考內(nèi)容，一般以選擇題或填空題出現(xiàn)。它往往與生活實(shí)際緊密聯(lián)系，題目背景千變?nèi)f化。本文通過(guò)梳理歸納常見(jiàn)的排列組合應(yīng)用題背景，尋找解決排列組合問(wèn)題的方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);排列組合;應(yīng)用題

排列組合是高中理科數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，排列組合應(yīng)用題雖然常以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，但又常與概率應(yīng)用問(wèn)題聯(lián)系緊密，生動(dòng)有趣千變?nèi)f化，常考常新。排列組合應(yīng)用題目的背景可謂“五花八門(mén)”，認(rèn)真審題，識(shí)別有效信息，抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，才能用合理恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題。本文從常見(jiàn)排列組合應(yīng)用題背景出發(fā)，就其解決策略加以說(shuō)明。

一、有關(guān)以立體圖形為背景的排列組合問(wèn)題

例1.過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有（ ）

A.18對(duì) B.24對(duì)

C.30對(duì) D.36對(duì)

解：如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，

過(guò)6個(gè)頂點(diǎn)的三棱錐共有C63-3=12個(gè)，每個(gè)三棱錐有3對(duì)異面直線，共有12×3=36對(duì)異面直線，故選D

解題關(guān)鍵：緊緊抓住一個(gè)三棱錐有三對(duì)異面直線這一點(diǎn)，問(wèn)題迎刃而解。

思想方法：化整為零，同類合并。

解題策略：分解與合成策略。把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解為幾個(gè)小問(wèn)題，這幾個(gè)小問(wèn)題解決了，這個(gè)大問(wèn)題就解決了。

跟蹤練習(xí)1：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，可連成多少對(duì)異面直線？

二、有關(guān)以站位排列為背景的排列組合問(wèn)題

例2.2名老師和6名學(xué)生站一排照相，學(xué)生中甲、乙不相鄰，而且2名老師須站在一起，不同的排法種數(shù)是 種。

解：首先將2名老師捆綁起來(lái)看成一個(gè)元素，與除甲乙之外的4名學(xué)生排列，有A55

種排法;而2名老師之間又有A22種排法;最后再將甲乙兩人插入上述老師與學(xué)生的間隙中，有A62種排法，故共有A55·A22·A62=7200種。

解題關(guān)鍵：分清相鄰與不相鄰問(wèn)題中元素的安排次序

思想方法：相鄰“捆綁”，不相鄰“插空”

解題策略：“捆綁”與“插空”策略。對(duì)于要求元素必須排一起的可用捆綁法，將其看做一個(gè)元素進(jìn)行排列，再對(duì)其內(nèi)部排列;對(duì)于元素不相鄰的問(wèn)題可用插空法，將其他元素排好后插入中間和兩邊。

跟蹤練習(xí)2：用1，2，3，4，5，6，7，8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的8位數(shù)共有 個(gè)。

三、有關(guān)以分配值班為背景的排列組合問(wèn)題

例3.北京《財(cái)富》全球論壇期間，某高校14名志愿者參加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開(kāi)幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（ ）

A. A.

A. A.

解：從14人中選出12人有C1412種

將12人均勻分成三組有種

將三班加以排列有A33種

共有種，故選A

解題關(guān)鍵：有序分配問(wèn)題分組逐步解決

思想方法：分步層次清楚，分類討論，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)貫穿始終。

解題策略：合理分步與分類策略

跟蹤練習(xí)3：小李、小張、小王3位志愿者參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，在周一至周五的5天中要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求小李安排在其他前面。不同的安排方法共有___________種。

有關(guān)涂色問(wèn)題為背景的排列組合問(wèn)

例4.用紅、黃、藍(lán)、黑、白五種顏色涂在如圖所示的四個(gè)區(qū)域內(nèi)，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？

解：可把問(wèn)題分為三類：

四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為A54;

有且僅有兩個(gè)區(qū)域相同的顏色，即只有一組對(duì)角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為2C51A42;

兩對(duì)角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為A52，

因此，所求的涂法種數(shù)為

解題關(guān)鍵：依據(jù)相鄰區(qū)域是否同色進(jìn)行分類討論

思想方法：分類討論，加法原理

解題策略：根據(jù)某兩個(gè)不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個(gè)不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計(jì)算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同涂色方法總數(shù)。

跟蹤練習(xí)4：用5種不同的顏色給圖中標(biāo)①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有________種？

以上對(duì)于常見(jiàn)的排列組合應(yīng)用題背景進(jìn)行了梳理歸納，提出解題關(guān)鍵以及解題策略。但排列組合問(wèn)題靈活多變，在具體的解決問(wèn)題過(guò)程中仍需仔細(xì)分析題目，分清問(wèn)題是有序還是無(wú)序，正確區(qū)分排列與組合。利用兩個(gè)基本原理，結(jié)合十六字方針：“分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合”，靈活選擇解題方法。

參考文獻(xiàn)

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