排列組合的一種經典方法—“隔板法”

劉曉紅

摘 要：”隔板法”就是在n個相同元素間的（n-1）個空中插入個m個板，把n個相同元素分成不同的（m+1）組的方法.應用”隔板法”解題，必須至少滿足兩個基本條件：（1）這n個元素必須相同（2）所分成的每一組中至少有一個元素（即：至少一個）”隔板法”常用于相同元素的分配問題，常見的有投球進盒、名額或指標的分配、不定方程的整數解問題。

關鍵詞：高中數學;同素分配問題;隔板法;化歸思想。

有關名額分配或同素分配問題常用隔板法，我就此做了總結了三種題型，現介紹給大家.

【隔板法】有n個完全相同的元素，投放到m個不同的地方或分配給m個人，每個地方或每個人至少分得一個元素，則可投放的方法個數為

【隔板法使用的條件】：標準型（1）n個待分配元素完全相同，只看數量（2）m個分配地方不同（3）每個地方至少得一個元素（4）每次分配完所有元素

1.“至少一個名額”型

例1、將10個相同的橘子隨機發給幼兒園的四個小朋友，則每個小朋友至少發一個的不同發法有多少種？（ ）

（A）72 （B）84 （C）96 （D）108

分析用“o”表示橘子，將10個橘子放置如下：

oooooooooo

圖1

這10個橘子中間產生9個“空”，從這9個“空”中選出3個插人3塊“隔板”，事先約定：隔板分成的4份個數，從左到右依次給1至4個小朋友.

ooloooloooolo圖2

我們知道，從9個“空”任取3個插人3塊“隔板”，共有種方法.又每一種插法都對應著一種發法.

2：隔板法進階1：每組大于1

例2某單位13個外出培訓名額，現分配下面的5個下屬單位，每個下屬單位至少2個名額，試問共有多少種不同的分配方案？

分析創設“隔板”情境：每個下屬單位至少2個名額.為此，我們先給每個下屬單位分配1個名額，此時原題就轉化為：“將8個培訓名額分配到5個下屬單位，每個單位至少1個名額，試問共有多少種不同的分配方案？”，仿照例1，可知共有種不同的分配方案.

例3將16個相同的小球法人編號為1，2，3，4的四個盒子中，要求每個盒子中的球數不少于它的編號數，則不同的放法共有多少種？

解：先分析如下：先在2號盒子內放人1個小球，在3號盒子內放人2個小球，在4號盒子內放人3個小球，則共用去6個小球還剩下10個小球，此時原題可轉化為：“將10個相同的小球放入編號為1，2，3，4的三個盒子中，每個盒子中至少1個小球，不同的放法共有多少種？”，根據隔板法的標準型公式可知共有種不同的放法.所以我們可以先把每組大于1個的名額分配問題，有意識地創設成“至少一個名額”的標準型，就可以利用標準型的公式去解了.

3.“允許沒有名額”型

例4變式3若將10只相同的小球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，允許有些盒子沒分到0個球的不同投放方法有（ ）

分析應注意有盒子可以為空，要創設“隔板”標準型情境，必須每個盒子至少1個名額.為此，我們先給盒子借一個球，把原題意轉化為：“將14個相同的小球分配到不同的四個盒子中，每個盒子至少1個名額，共有多少種不同的分配方案？”。由公式可知共有種不同的分配方案.

如下圖;o表示借的球：則l盒子4個名額，2盒子0個名額，3盒子1名額4盒子5個名額.注意：這里，每個盒子中都有一個“借”的名額，應去掉.此圖說明如果允許沒有名額，我們可以先給其借上一個“假”的名額，這樣，我們就有意識地創設了“至少一個名額”的標準型隔板情境。

例5方程x+y+z=10有多少組正整數解（）

A.72 B.66 C.36 D.108

分析本題可轉化為：“將10個1并排排列，用3個隔板來隔開，第一個隔板前的1的個數為X值.第1個隔板與第二個隔板之間的1的個數為Y的值，第二個隔板之后1的個數為Z的值。所以共有組整數解

例6麗麗有8張相同的練字卡片，每天至少寫一張或多張且必須為整數張，直到寫完才可以進入下一級的練習，她共有多少種不同的練習方法？

分析：

分成8類，第一類，麗麗1天全部寫完，1種方法;第二類，麗麗恰好2天全部寫完，可把題意轉化為“把8個名額分配給2人，每人至少1個名額”，共有種不同的分法;第3類，麗麗恰好3天全部寫完，類似地，共有種不同的分法...;第八類，麗麗恰好8天全部寫完，共有種不同的分法.故共有種不同的寫法.

結束語：隔板法是解決有關名額分配相同元素分組問題的經典方法，其思維巧妙，方法奇特新穎.認真領會文中的三種典型題型，可以舉一反三，觸類旁通，使“山重水復疑無路”的問題就可以“柳暗花明又一村”了，我們眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。總之：提高數學素養的根本就是明白數學思維的本質，就像不識廬山真面目，只緣身在此山中。切記：把高雅的腦力勞動，俗化為簡單的體力勞動。

參考文獻

[1].隔板法解組合計數問題[J].肖樂農，肖萬利.? 中學數學教學.1992（03）

[2]巧用隔板法解題[J].楊玉鳳.? 中學教學參考.2012（14）

[3]運用“隔板法”巧解題[J].林利芹.? 數理化解題研究（高中版）.2013（06）