APOS理論下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

陸玉秀

摘 要：對數(shù)作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，是高中代數(shù)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是學(xué)生必須要掌握的基礎(chǔ)知識。但對數(shù)概念較為抽象，對數(shù)符號不易理解且運(yùn)算復(fù)雜，學(xué)生在學(xué)習(xí)對數(shù)概念時(shí)存在一定困難。因此，在對數(shù)教學(xué)時(shí)，可以以APOS理論為依據(jù)，設(shè)計(jì)以下四個(gè)教學(xué)階段：創(chuàng)設(shè)情境，引入對數(shù)概念;展示過程，內(nèi)化對數(shù)概念;構(gòu)造對象，把握運(yùn)算性質(zhì);建立圖式，形成概念體系。

關(guān)鍵詞：APOS理論;概念教學(xué);對數(shù)

1.引言

上世紀(jì)60年代美國教育家杜賓斯基等人提出APOS理論從活動(dòng)、過程、對象和圖式4個(gè)階段體現(xiàn)了形成數(shù)學(xué)概念的思維過程[1]：“活動(dòng)階段”指學(xué)習(xí)者通過一系列外顯性的指令去改變數(shù)學(xué)對象的過程，是獲得數(shù)學(xué)概念的一個(gè)必要環(huán)節(jié)。“過程階段”指學(xué)習(xí)者對前面活動(dòng)的進(jìn)一步思考過程。學(xué)生經(jīng)過思維的內(nèi)化、整合和壓縮使其成為相應(yīng)的過程模式，最終抽象出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征。“對象階段”指學(xué)習(xí)者對前面兩個(gè)階段的活動(dòng)進(jìn)行深入思考，概括數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，形成可供心理操作的數(shù)學(xué)對象。“圖式階段”指學(xué)習(xí)者將之前的“活動(dòng)”、“過程”、“對象”以及與之相關(guān)的其他數(shù)學(xué)概念進(jìn)行整合，最終形成豐富穩(wěn)定的心理圖式[2]。

蘇教版數(shù)學(xué)課本中，對數(shù)內(nèi)容安排在必修1的第三章指數(shù)函數(shù)之后，對數(shù)函數(shù)之前，起到了承上啟下的作用。教材先通過生活實(shí)例引起學(xué)生學(xué)習(xí)對數(shù)概念的興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主探究對數(shù)概念，接著將對數(shù)概念在多種問題情境中運(yùn)用，最后使學(xué)生形成完整的心理圖式，與APOS理論的四個(gè)階段相遙相呼應(yīng)。因此，將APOS理論應(yīng)用于對數(shù)概念的教學(xué)是可行的。

2.基于APOS理論的對數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1創(chuàng)設(shè)情境，引入對數(shù)概念

情境1：某放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每過一年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%（設(shè)初始質(zhì)量為1）你能就此情境設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題嗎？

問題1：2b=3這樣的指數(shù)b有沒有呢，b是唯一的嗎？

活動(dòng)階段，教師通過具體情境引發(fā)學(xué)生思考，通過對數(shù)據(jù)，指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)使學(xué)生直觀認(rèn)識到對數(shù)符號產(chǎn)生的合理性。學(xué)生在這樣的探究式教學(xué)方式下，體驗(yàn)像數(shù)學(xué)家一樣去研究問題的過程，充分地調(diào)動(dòng)了他們的學(xué)習(xí)積極性。

此外，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中，可以通過與根式的類比，感受到突破運(yùn)算困境的途徑是創(chuàng)造出一個(gè)新的符號，體驗(yàn)對數(shù)符號產(chǎn)生的必要性。同時(shí)，在活動(dòng)過程中，教師通過對學(xué)生課堂表現(xiàn)的觀察，了解到學(xué)生的知識接受程度，適時(shí)把控教學(xué)進(jìn)程，為概念的產(chǎn)生做好鋪墊。

2.2展示過程，內(nèi)化對數(shù)概念

問題2：對于任意的指數(shù)式（a>0且a≠1）你能表示這里的指數(shù)b嗎？

問題3：在與logaN=b中字母a，b，N的名稱發(fā)生了怎樣的變化？它們的范圍相同嗎？

過程階段，利用活動(dòng)階段的鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生先自行探究對數(shù)定義，隨后教師自然地呈現(xiàn)對數(shù)概念。再通過師生問答，深化學(xué)生對對數(shù)概念的理解，從文字語言和符號語言多方位認(rèn)識對數(shù)概念的本質(zhì)屬性。接著利用新舊知對比，將對數(shù)與指數(shù)結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，內(nèi)化對數(shù)概念。

2.3構(gòu)造對象，應(yīng)用對數(shù)概念

問題4：請大家自編3到5個(gè)對數(shù)式，互相交流，是否可以求出這些對數(shù)值？

問題5：請同學(xué)們思考N取一些特殊值時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

練習(xí)1：指數(shù)與對數(shù)式互化。

（1）24=16（2）（3）

練習(xí)2：求下列各式的值。

（1）（2）（3）

情境2：當(dāng)N=1時(shí)，loga1=0;當(dāng)N=a時(shí)，logaa=1;當(dāng)N=ab時(shí)，logaab=b。同樣，當(dāng)a取兩個(gè)特殊值時(shí)，我們會(huì)賦予這兩種對數(shù)一些特殊的名稱：a=10時(shí)，log10N簡記為lgN，通常稱為常用對數(shù);a=e時(shí)，logeN簡記為lnN，稱為自然對數(shù)。

對數(shù)是由17世紀(jì)蘇格蘭的數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明的。納皮爾對數(shù)發(fā)表后，驚動(dòng)了倫敦的數(shù)學(xué)家布里格斯，他去拜訪納皮爾，在交談中提出了改進(jìn)意見：為方便計(jì)算，建議1的對數(shù)為0，10的對數(shù)為1，100的對數(shù)為2，這就是常用對數(shù)的產(chǎn)生。為什么要以e為底？他發(fā)現(xiàn)以形如的數(shù)為底最便于計(jì)算，真數(shù)以等比數(shù)列遞增時(shí)，對數(shù)也以等差數(shù)列遞增。由此得到自然對數(shù)之底，它是一個(gè)近似為2.71828的無理數(shù)。

對象階段，通過練習(xí)進(jìn)一步加深學(xué)生對對數(shù)概念的理解，即對數(shù)是一個(gè)符號，對數(shù)運(yùn)算過程本質(zhì)上是方程運(yùn)算，在知識應(yīng)用的過程中助力學(xué)生思維能力的提升。引入對數(shù)的發(fā)明史，豐富學(xué)生的認(rèn)知圖式，幫助學(xué)生多角度多方位理解對數(shù)概念，從數(shù)學(xué)文化的角度提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.4建立圖式，形成概念體系

問題6：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些關(guān)于對數(shù)的知識？有什么啟發(fā)，想繼續(xù)研究哪些問題？

圖式階段，通過課堂回顧及，學(xué)生了解到對數(shù)是一個(gè)具體的實(shí)數(shù)，對數(shù)的本質(zhì)是一種求未知數(shù)的運(yùn)算，對數(shù)概念有了完整的認(rèn)識。同時(shí)學(xué)生在總結(jié)、感悟、交流中，感悟數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活，有創(chuàng)造才能與發(fā)展的道理，形成回顧反思的習(xí)慣。在自我評價(jià)中體驗(yàn)成功的快樂，增強(qiáng)自信。

總結(jié)：此外，APOS理論思維同樣可以應(yīng)用于教材的編寫：對真實(shí)情境進(jìn)行操作→過程抽象→形成知識對象→運(yùn)用知識形成圖式→與相關(guān)知識聯(lián)系形成新的知識圖式。這樣的呈現(xiàn)方式便于學(xué)生的掌握、記憶、運(yùn)用知識，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）版》強(qiáng)調(diào)了應(yīng)用意識在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的重要性。因此，為了使學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中獲得積極的情感體驗(yàn)，教師在教學(xué)中要重視概念應(yīng)用，將學(xué)生培養(yǎng)成具有應(yīng)用意識和創(chuàng)造力的新型人才。

參考文獻(xiàn)

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]吳華，周鳴.GeoGebra環(huán)境下基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究——以導(dǎo)數(shù)概念為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（02）：87-90.

[3]濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數(shù)概念的理解[J].數(shù)學(xué)教育報(bào)報(bào)，2007（02）：48-50.