從一道題談幾何教學(xué)的幾點(diǎn)思考

鹿建國(guó)

【摘要】數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開解決問題，典型題目不僅能起到“做一個(gè)，通一類”的示范作用，而且還能從中發(fā)掘出更多拓展價(jià)值。每位教師都應(yīng)該積極探索有助于提高學(xué)生能力的教學(xué)模式。從復(fù)雜的圖形中抽離出基本圖形、強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，可以讓數(shù)學(xué)教學(xué)的重心從單一的解題訓(xùn)練真正轉(zhuǎn)移到對(duì)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)中來。本文從重現(xiàn)題目、分析題目、思考題目三方面，以實(shí)際數(shù)學(xué)題目總結(jié)了幾何教學(xué)的一些具體方法，希望能給各位教師帶來啟發(fā)。

【關(guān)鍵詞】分解圖形;幾何教學(xué);核心素養(yǎng)

一、重現(xiàn)題目

（廣東省珠海市香洲區(qū)2016-2017學(xué)年第一學(xué)期初三數(shù)學(xué)期末考試第24題）如圖1，菱形ABCO的頂點(diǎn)A、B、C在⊙O上，點(diǎn)E、F分別在AO、CO的延長(zhǎng)線上，且EO=FO=2AO。連接EF，點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，OF交⊙O于點(diǎn)M，點(diǎn)H在BC延長(zhǎng)線上。CD平分∠GCH交⊙O于點(diǎn)D，OD交CM于點(diǎn)N，CG交AF于點(diǎn)K，交OD于點(diǎn)T。

二、分析題目

此題目的綜合性很強(qiáng)，考查了特殊四邊形的性質(zhì)及判定、圓周角定理、垂徑定理、切線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)。本題對(duì)學(xué)生閱讀文字和圖形的能力要求很高，推理思路容易走偏，推理過程比較煩瑣，難度較大。

學(xué)生在答題時(shí)出現(xiàn)的常見問題有兩點(diǎn)：（1）誤以為點(diǎn)G在圓上，第二問只證明了OG⊥EF，就認(rèn)為EF為⊙O的切線;（2）不知道如何運(yùn)用題目所給的“CD平分∠GCH交⊙O于點(diǎn)D”這一條件，計(jì)算不出特殊角。

三、思考題目

1.庖丁解?！纸鈭D形

本題是典型的積木式題型，每個(gè)小問題都可以看成是圖形的疊加，可以拆分出許多簡(jiǎn)單圖形。由于題目中已知四邊形ABCO為菱形，且已經(jīng)與圓構(gòu)成了唯一、特殊的位置關(guān)系，所以第一小問在圖2的圖形上就可解答;在第一問的基礎(chǔ)上，只需要增加條件EO=FO=2AO，固定了點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置，就能固定了線段EF的位置。第二小問在如圖3的圖形上就可解答，而點(diǎn)G為EF中點(diǎn)起到了降低難度的作用。這樣，原本非常復(fù)雜的圖形根據(jù)題干的描述和問題的需要就可以變成簡(jiǎn)單的圖形。

在平面幾何的教學(xué)過程中，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生分解圖形的能力，特別是對(duì)基本幾何圖形進(jìn)行辨識(shí)、提取、變形、拓展的能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中分離出所需的簡(jiǎn)單圖形，能夠根據(jù)圖形的基本特征把陌生的幾何圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何圖形。這種分解圖形的能力不是與生俱來的，需要教師有針對(duì)性地開展訓(xùn)練，學(xué)生在經(jīng)過了一定量的練習(xí)后才能實(shí)現(xiàn)。教師應(yīng)使學(xué)生通過題目文字的敘述體會(huì)圖形的生成過程，明白圖形元素——點(diǎn)、線、面產(chǎn)生的先后順序，也就是常說的“父子關(guān)系”，還要使學(xué)生能準(zhǔn)確地分辨圖形之間的制約關(guān)系，從而分解成僅含有必要條件和必要圖形信息的簡(jiǎn)單圖形，去掉多余條件和圖形元素的干擾，這樣更容易找到解決問題的途徑。例如，在圖2中，因?yàn)閮H有菱形和圓，學(xué)生只需思考菱形的性質(zhì)與圓的性質(zhì)，把兩者結(jié)合在一起，解決問題自然水到渠成了。

2.追本溯源——概念教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于圓的切線這部分內(nèi)容是這樣描述的：“了解直線和圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念?！辈浑y看出，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生掌握切線的概念，但問題就出在學(xué)生沒有充分地理解圓的切線的概念，而是把重點(diǎn)放在了記憶證明切線的具體方法上。而且在題目的數(shù)量方面，“證垂直”的題目遠(yuǎn)遠(yuǎn)多過于“證半徑”的題目，這導(dǎo)致學(xué)生只要見到證明切線的題目，就會(huì)不由自主地選擇“證垂直”。當(dāng)直線和圓有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，叫直線和圓相切。這時(shí)，我們就要保證直線與圓有交點(diǎn)且唯一，圓心到直線的距離要等于圓的半徑，其中，“距離”和“相等”兩個(gè)條件缺一不可，缺少“距離”這一條件，則可能出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，如圖4。缺少相等有可能兩個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)，如圖5、圖6，二者缺一不可。

在日常教學(xué)中，教師容易產(chǎn)生這樣的疑問：為什么講過的題目學(xué)生沒過多久就會(huì)忘了，同一個(gè)題目稍微變式就不會(huì)，歸其源頭在于學(xué)生對(duì)概念的掌握不深刻、不牢固，學(xué)生沒有真正學(xué)會(huì)知識(shí)點(diǎn)，并將其內(nèi)化到自己的知識(shí)體系中。對(duì)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)在任何學(xué)段都極其重要，它是所有定理、法則的邏輯基礎(chǔ)，是知識(shí)本質(zhì)的體現(xiàn)，是所有方法、技巧的原始依據(jù)。所以，無論是概念教學(xué)或是概念學(xué)習(xí)，我們都應(yīng)該引起足夠的重視。概念的教學(xué)要具有科學(xué)性，對(duì)于概念的引入要自然，要建立在學(xué)生原有的認(rèn)知水平之上;概念的形成要系統(tǒng)，要重視新舊知識(shí)的聯(lián)系，讓新概念快速添加到學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中;概念的辨析要明確，教師要對(duì)概念涉及的要素進(jìn)行分解，對(duì)易混淆的內(nèi)容進(jìn)行分辨，使學(xué)生準(zhǔn)確地掌握概念;概念的應(yīng)用要典型，要通過有針對(duì)性的應(yīng)用加深學(xué)生對(duì)概念的理解，使學(xué)生總結(jié)出更多靈活多變的技能與方法。

3.返璞歸真——核心素養(yǎng)

通過觀察圖形和分析題目可以發(fā)現(xiàn)，本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓僅僅是題目呈現(xiàn)的載體。利用圓半徑相等可以得到幾組線段相等，如果把圓去掉，直接給出線段相等的條件就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)圖形實(shí)際上是由許多含有特殊角的等腰三角形（包括等邊三角形）搭建組成的。第三小問實(shí)質(zhì)上考查了三角形重心的性質(zhì)——重心把中線分為2∶1的兩條線段。如圖1，由于△OCM是等邊三角形，那么TN的長(zhǎng)就是CK（三線合一）長(zhǎng)度的三分之一，這樣即可得到答案，剩下的思考只是通過角度的運(yùn)算證明CG⊥OK。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面，它的提出標(biāo)志著數(shù)學(xué)教育目的從單一的解決題目徹底轉(zhuǎn)變?yōu)樘嵘龑W(xué)生的數(shù)學(xué)能力。這是數(shù)學(xué)教育的一個(gè)很大進(jìn)步，使數(shù)學(xué)教育的能力要求更加明確，彰顯了數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的具體要求。幾何證明過程體現(xiàn)了學(xué)生的邏輯推理能力，需要學(xué)生用純粹的數(shù)學(xué)語言描繪現(xiàn)象與規(guī)律;基本圖形體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想以及從復(fù)雜圖形抽離出基本圖形、用基本圖形組合為熟悉圖形的能力;圖形變換也體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象、感知圖形的運(yùn)動(dòng)與變化的能力等等。因此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過程中要給學(xué)生提供更多的探究機(jī)會(huì)，加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維。

總之，題目千千萬，學(xué)生只有掌握了其內(nèi)在聯(lián)系，憑借平時(shí)的積累形成的圖感、數(shù)感和題感，才能準(zhǔn)確地找到思維的入口，化復(fù)雜于簡(jiǎn)單，化未知于已知。因此，教師要重視對(duì)概念的教學(xué)，立足課堂陣地，積極培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

胡玉華.初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的思考與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（06）：34.

張進(jìn).以中考幾何題為例淺談解題教學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2018（10）：56-57.