高中數學中解答應用題的教學思路探究

【摘 要】應用題是高考數學的必考內容，通常作為壓軸題出現，學生在解答時普遍存在畏難情緒，得分較低。本文從解答應用題的常規步驟、阻礙學生解答應用題的常見因素、幫助學生突破解題障礙的常用方法三個方面進行闡述，并結合當前高中數學教學，探究如何利用建模思想引導學生解決實際問題，從而提高教學效果和質量。

【關鍵詞】高中數學;應用題;教學方法

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）34-0202-03

數學學科具備三大特點：高度抽象性、嚴密邏輯性和廣泛應用性。應用題是數學學科的重要組成部分，更是這三大特點的集中體現。數學課程基本理念中指明：注重提高學生的數學思維能力，發展學生的數學應用意識。應用題的教學是提高學生分析問題、解決問題能力的途徑之一，同時也是培養學生應用能力、創新精神的平臺之一。在被譽為“千軍萬馬過獨木”的高考中，應用題是必考內容，通常作為壓軸題出現。部分學生的應用題存在得分較低、存在畏難情緒的情況，如果學生能順利攻克應用題，會為后續應試考試帶來積極的影響。因此，教師必須高度重視高中數學應用題的教學。筆者結合多年的教學實踐，從教授解答題應用題的常規步驟、阻礙學生解答應用題的常見因素、幫助學生突破解題障礙的常用方法三個方面進行探究。

1? ?解答應用題的常規步驟

經過多年的教學實踐，筆者將解答應用題的一般步驟總結如下：（1）審題;（2）設變量;（3）求出變量的取值范圍;（4）列出關系式;（5）求解;（6）檢驗并作答。結合例1給予詳細闡述。

例1.某賓館在裝修時為了美觀，欲將客房的窗戶設計成半徑為的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區域，其中四邊形為中心在圓心的矩形，現計劃將矩形區域設計為可推拉的窗口。

（1）若窗口為正方形，且面積大于（木條寬度忽略不計），求四根木條總長的取值范圍;

（2）若四根木條總長為，求窗口ABCD面積的最大值。

第一步：認真審題。已知圓的半徑為，第（1）問中，四邊形ABCD為正方形，所以四根木條的長度相等，要求的是木條總長度的取值范圍。第（2）問中，四邊形為矩形，四根木條總長為，所以AB、BC所在木條的長度之和為，要求的是矩形ABCD面積的最大值。經提煉應意識到，兩小題都是對圓的弦長的考查。

第二步：設變量。第（1）問中可以直接設其中一根木條長為，也可間接地設點到AB的距離為，還可以設為（點為點在AB上的射影）。第（2）問中可以設兩個變量，即設AB，BC所在的木條長分別為，，則。也可只設一個變量，即AB所在的木條長為，則BC所在的木條長為。

第六步：檢驗并作答。檢驗所得結果是否符合實際問題的要求，是否正確。如：現實生活中長度、時間總是非負的，人數、車輛數總是整數，存款按單利計息而貸款按復利計息等。例1第（1）問中如果開始只是求出，這時就是一個補救的機會。作答其實就是再次回到實際問題的步驟，用簡潔、明確的語言給出清晰的結論。

這幾個步驟相互依賴、相輔相成。審題是關鍵，如果讀不懂題意、誤解題意，就不能將實際問題轉化為恰當的數學問題，變量的設立會影響關系式的建立，關系式的建立又會影響求解的方法。因此，在解答應用題時應將實際問題正確地轉化為所學的數學問題，選擇恰當的變量建立恰當的關系，以便于快速求解。檢驗是對解答過程的反思，作答是對解答過程的總結，由數學問題再次回到實際問題中去。

2? ?阻礙學生解答應用題的常見因素

審題時學生閱歷淺，而應用題的背景具有社會性和生活性，學生很容易產生懼怕心理，有時連題目都沒看完就置之不理。應用題文字敘述長，直接、間接條件、問題、結論不太明朗，學生容易產生煩躁心理。有時急于求成，盲目下筆導致解題出錯。

設變量，求變量的取值范圍，列出關系式是建模的三個步驟。設變量的目的是便于用數學中的數字、字母表示實際問題中的各個量，進而再用數學中的等式、不等式表示實際問題中各量之間的關系。學生對數學知識的記憶、理解、掌握程度不高，不能選擇恰當的變量。如例1的第（1）問既可以選擇長度為變量，又可以選擇角度為變量，設長度時既可以直接設其中一根木條的長度又可以間接設弦心距;第（2）問既可以設兩個相關變量又可以僅設一個變量。第（1）問中變量的選擇對解題難度和速度影響不大;第（2）問中變量的選擇對解題難度和速度影響較大。求變量的取值范圍是為了明確研究范圍。學生容易抓住顯性的約束條件而忽視隱性的約束條件。隱性約束條件有的就在題目中，只是學生視而不見，如例1中的“四根木條將圓分成如圖所示的9個區域”，還有的題目中沒有明確指出，但會受到客觀事實制約，如例1中的木條長度必然大于零。列出關系式即：用數學語言描述變量間的關系。當關系復雜時學生容易手忙腳亂，不會分層分步處理。單位的不統一也會導致關系式建錯。

求解即解模。有的學生解模方向不明確，如例1的第（2）問是最值問題的研究，可以用基本初等函數的單調性，可以用基本不等式及其變形，還可以用導函數。用基本不等式及其變形解模運算量小但思維量大，用導函數解模思維量小但運算量大，用基本初等函數的單調性又需要等價轉化。學生受運算能力、思維能力的影響，比較習慣朝自己擅長的方向去嘗試，因而不一定能找出適合這個問題的最優方向。

3? ?幫助學生突破解題障礙的常用方法

首先，教師要耐心指導學生細致地讀題，讀懂問題的實際背景。遇到較長的語句就在關鍵詞、數據下作出標記，弄清每一個名詞、概念，分析每一個已知條件和要求結論的數學意義，挖掘實際問題對所求結論的限制等隱含條件。其次，教師要給予學生充足的訓練機會，鼓勵學生說出已有的認識，教師在此基礎上給予引導、糾正、優化，以鍛煉、發展學生的審題能力。不能因為審題能力與閱讀理解能力相關，而閱讀理解能力與語文學科關系密切而不作為，也不能為了節省講解時間而直接將學生的注意力鎖定在關鍵詞、句上。否則，學生容易在平時養成依賴心理，當他們孤軍奮戰時信心不足、能力不夠。

就建模而言，當學生審清題意后，就會在腦海里提取相關的數學知識，應用到實際問題中。因此，要注重學生基礎知識的學習和掌握，為基礎知識的應用做好充分準備。一般教師會從概念、性質、應用三個方面講解數學知識，如果這個知識經常以應用題的形式出現，不妨在講應用題時強調該問題在實際問題中的應用，編制一個應用題微專題，以培養和強化學生的應用意識。高中數學中與解答應用題關系密切的知識有：函數、導數、不等式、三角、數列、直線、圓、拋物線、線性規劃等。學生接觸大量應用題后，教師可以指導學生將遇到的應用題分類整理，形成模型，這些模型會增強學生的信心，正所謂“手中有糧，心中不慌”。

就解模而言，學生對已經整理出來的數學模型進行化簡、運算、抓住問題核心，轉化為相應的數學問題。常見問題有以下兩類：一是求最值;二是研究方程、不等式的解。求最值的方法包括：①借助基本初等函數的圖像確定單調性;②借助導函數的正負確定原函數的單調性;③借助基本不等式及其變形;④有時會遇到分段函數的最值問題，需分別研究每一段的最值，再確定整個定義域上的最值。

研究方程、不等式的解的方法包括：①直接使用基本初等函數的圖像、性質解方程、不等式;②用導函數的正負確定原函數的單調性，結合函數圖像上的特殊點確定方程、不等式解的情況;③有時方程的解也表現為對應函數的零點，兩者本質上是一樣的。在解模過程中若能有效結合四大數學思想方法（函數與方程，分類討論，等價轉化，數形結合）會事半功倍，大大提高解模效率。

應用題不僅在高考中占較大分值，而且具有較強的實用價值。通過科學合理的訓練可大幅度提升應用題解答能力，因此，教師有必要加強對應用題教學方法的研究，提升學生分析問題、解決問題的能力。

【作者簡介】

張顧晶（1982～），女，江蘇如皋人，本科，中學一級教師。