指向核心素養的“一元一次方程”的教學及其分析

王可芳

摘要：促進學生發展數學核心素養需要過程教育，但在以“一元一次方程”為載體的研修活動中發現，課堂教學普遍存在過程教育不到位的問題。研究者在重復觀摩與反思的基礎上對該課的教學進行重建，改進后的教學方案實踐后取得了較好的教學效果。

關鍵詞：數學素養;過程教育;一元一次方程;教學方法;教學分析

一、背景介紹

數學教育中的“立德樹人”，以數學核心素養為統領。“數學核心素養是學生經歷數學化活動之后所積淀和升華的產物”。由此可知，促進學生發展數學核心素養需要“過程教育”。但筆者在以浙教版數學七年級上冊第五章第1節“一元一次方程”為載體的“多人同課異構”的研修活動中發現，課堂教學普遍存在過程教育不到位的問題。鑒于此，筆者在重復觀摩與反思的基礎上對該課的教學進行重建，改進后的教學方案實踐后取得了較好的教學效果。本文呈現改進后的教學過程，并提供教后分析，供讀者參考，研究。

二、教學實錄

環節1：經歷產生對象與提出問題的過程——明確研究問題。

師：我們知道，含有未知數的等式叫作方程，我們以前曾經學過怎樣列算式、列代數式和列方程，那么，根據下列問題的條件，我們可以列出怎樣的算式和方程？

（1）“雙十一”期間，“銀泰百貨”搞促銷活動。若一件衣服按8折銷售的售價為72元，則這件衣服的原價是多少元？

①求這件衣服的原價可列出算式： 。

②若設這件衣服的原價為x元，則可列出方程：

。

（2）物體在水下，水深每增加10.33米承受的壓力就會增加1個大氣壓。當“蛟龍”號下潛至3500米時，它承受的壓力約為340個大氣壓。當它承受壓力增加到500個大氣壓時，它又繼續下潛了多少米？

①求它又繼續下潛的深度可列出算式：? ? ? ? ?。

②若設它又繼續下潛了y米，則可列出方程：

。

（3）小強、小杰、張明參加投籃比賽，每人投了20次。小強投進10個球，小杰比張明多投進2個，三人平均每人投進14個球。小杰和張明各投進多少個？

①求張明投進的個數可列出算式：。

②若設張明投進z個，則可列出方程：? ? ? ? ?。

（學生自主列式，教師巡視指導）

師：誰來匯報所列的算式和方程？

生1：（1）算式? ? ? ? ? ? ? ? ? ，方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;

（2）算式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，方程? ? ? ? ? ? ? ? ;

（3）算式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

生2：（1）方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;（2）方程

。

生3：（2）方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;

（3）方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

師：不錯。不同的著眼點，可以得到不同的方程。

師：列方程的依據是什么？列方程的目的是什么？

生4：依據是問題中的等量關系，目的是將實際問題轉化為數學問題。

師：列算式簡單還是列方程簡單？

生5：列方程比列算式簡單。

師：事實上，方程中的字母（未知數）和已知數享有同等地位，并且可以參與運算。方程打破了列算式時只能用已知數的限制，使得列方程要比列算式思考起來更直接，更自然，從而為解決問題帶來更大的便利。

師：正因為用方程解決實際問題是人類的一個偉大創舉，就有系統地研究方程的必要。像研究代數式一樣，我們在認識方程概念的基礎上，采用從簡單到復雜的研究策略，先來研究最簡單的方程的特征、解法及其應用。（揭示課題）

環節2：參與定義對象的活動——形成一元一次方程的概念。

師：方程? ? ? ? ? ? ? ? ? 與算式? ? ? ? ? ? ? ? 相比有何差異？

生6：算式? ? ? ? ? ? ? 只含有已知數，而方程

有已知數，也有未知數。

生7：算式? ? ? ? ? ? ? ? 表示計算的程序，而方程

表示數量的相等關系。

師：不錯。方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ?與整式? ? ? ? ? ?相比分別有何差異？

生8：整式? ? ? ? ? 表示某種量，而方程

表示某種量的相等關系。

生9：整式? ? ? ? ?中的字母表示某種量且可取不同的值，而方程? ? ? ? ? ? ? 中的字母表示某個特定的未知量。

師：方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

有何共同特征？（提示：可從字母個數、字母次數、代數式的類型等多個角度觀察）

生10：它們都含有一個未知數。

師：你是從未知數的個數角度來歸納。

生11：它們未知數的最高次數都是1次。

師：你是從未知數的次數角度來歸納。

生12：它們左右兩邊都是整式。

師：你是從代數式的類型角度來歸納。

生13：它們都是等式。

師：你是從左右兩邊數量關系的角度來歸納。

生14：它們都不是算式。

師：你是借用算式的概念來歸納。

師：由此可知，它們的本質特征是“一個未知數”“未知數的最高次數是1次”“整式”。

師：一般地，等式兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的指數是一次，這樣的方程叫作一元一次方程。像方程的解的概念一樣，能使一元一次方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫作一元一次方程的解，也叫作一元一次方程的根（含有一個未知數的方程的解也可以稱為方程的根）。

師：這里“一元”“一次”的含義分別是什么？

生15：“一元”是指“一個未知數”，“一次”是指“未知數的最高次數是1次”。

師：不錯。我們獲得一元一次方程的概念經歷了哪幾個步驟？

生16：列方程→觀察所列方程的特征→歸納所列方程的共同特征→命名這樣的方程。

師：這個獲得概念的思維過程我們以后會經常用到。

師：大家認為還需要進一步研究什么？

生17：像研究算式、代數式一樣，還需要研究如何求一元一次方程的解。

師：有道理。引進一個對象，就要研究它的運算。

環節3：探索解特定的一元一次方程——生成“嘗試檢驗法”。

師：在上面“小強、小杰、張明參加投籃比賽”的問題中，我們列出的方程是“? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ”，能用方程解的概念來求這個方程的解嗎？

師：這個問題中的未知數z有何特征？

生18：z是自然數。

師：z的大致取值范圍是什么？

生19：z的大致取值范圍是0到20中的自然數。

師：z在這個取值范圍內可取哪些值？

生20：z在這個取值范圍內可取12到18中的自然數。

師：將z可取的值分別代入代數式? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

其對應的代數式的值分別是什么？

生21：計算結果可用下表表示：

師：根據方程解的概念，哪個z的值是方程

的解？

生21：z=15。

師：這種解方程的方法叫作嘗試檢驗法。其依據是方程解的概念，其基本過程是：先確定未知數的一個較小的取值范圍，再確定未知數可取的值，然后逐一將這些可取的值代入方程進行嘗試檢驗，能使方程兩邊相等的未知數的值就是方程的解。

師：大家對用嘗試檢驗法解方程有何感觸？

生22：用嘗試檢驗法解方程比較費時。

生23：它只適用于未知數是整數且取值個數有限的情況。

師：不錯。盡管用嘗試檢驗法解方程比較費時，但它也是解決問題的重要方法，在數學競賽中會經常用到。不久我們就能知道，解一元一次方程還有更簡單的方法。

環節4：參與嘗試知識應用的活動——合作解答有代表性的問題。

首先，教師要求學生完成課本第115頁的練習題1～3，并待學生完成任務后組織學生進行交互反饋與評價。

其次，要求學生解答下列問題：

（1）若x=-4是一元一次方程6-ax=x的解，則a的值是什么？

（2）先填寫下表，再說出方程3x-6=x（x是自然數）的解。

x 0 1 2 3 4 …

3x-6 -6 …

最后，引導學生反思：解答上述問題的依據分別是什么？判斷所給的值是不是給定方程的解怎樣表達？

環節5：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結（略）。

三、教學分析

一元一次方程可以看成是從實際問題中抽象出來的，也可以看成是從等式概念中演繹出來的，但采用“從實際問題中抽象出來的”的看法，更能反映方程的數學本質，更能使學生感悟研究一元一次方程的意義。一元一次方程可以采用白描方式定義，也可以采用歸納方式定義，又可以采用抽象方式定義，但觀察、歸納具體一元一次方程的共同特點有能力發展點，所以定義一元一次方程宜采用歸納方式，它要遵循用歸納方式定義的概念的認知過程觀。用嘗試檢驗法解一元一次方程的教學性質是問題解決教學，它要遵循問題解決教學的基本規范。

本課例在精致化分析的基礎上，用抽象方式產生研究對象，用歸納方式定義研究對象，有針對性地設計了“提出問題（從具體問題出發）→操作觀察（列方程并觀察其特征）→歸納抽象（歸納所列方程的共同特征，抽象所列方程的本質特征）→表達概念（用歸納的方式表達概念）→研究解法（用嘗試檢驗法解特定的一元一次方程）→解決問題（用獲得的概念解決有代表性的問題）→反思內化（欣賞概念，感悟研究過程和其中所蘊含的數學思想等）”的教學過程。

參與研修的教師普遍認為，本課例遵循了概念教學的基本規范，體現了過程教育和以學為中心的思想，能實現“能根據簡單實際問題的條件列出方程，能感悟研究方程的意義;能發現一元一次方程的本質特征，會用文字語言表達一元一次方程及其解的概念，能積淀多角度觀察事物特征的經驗和體會歸納思想;會模仿樣例用嘗試檢驗法解特定的一元一次方程，能積淀用嘗試檢驗法解方程的經驗;能識別一元一次方程，能用一元一次方程及其解的概念解決有關問題”的教學目標。

因此，過程教育理論下的概念教學的重要標志是：根據概念的定義形式有針對性地設計教學，并引導學生經歷完整的認知過程;根據概念的地位與作用和所蘊含的教育價值選擇教學的側重點;根據概念的抽象程度、教學要求和學生實際選擇教學載體與方法。一般地，在組織實施概念教學活動時，教師要從學生已有的知識與經驗出發，運用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式，要留給學生足夠的自主思考與實踐的時間和合作交流的機會，要合理評價學生在數學活動過程中的表現，以促使學生發展數學核心素養。

參考文獻：

[1]孔凡哲，史寧中.中國學生發展的數學核心素養概念界定及養成途徑[J].初中數學教與學，2017（9）：3.

[2]鄔云德.旨在統籌兼顧過程與結果的過程教育理論[J].中學數學，2017（11）：62-64.

（責任編輯：韓曉潔）