中學數學對數學分析教學的指導作用

徐凱 葉妍 付銳鋒 錢筱月 朱雪蓮

摘 要：本文主要通過梳理了高中數學及數學分析的知識線，尋找二者之間的聯系，期望能 通過學生們熟知的高中知識自然過渡到大學知識，讓學生更好理解數學分析中較為抽象 的定義定理，能更熟練的應用知識。從而做好初等數學與高等數學的銜接，做好大學數 學才學。

關鍵詞：高中數學 數學分析 銜接方式 才法學法

1引言

數學是一門緊密聯系實際而發展起來的學科，不論是小學的雞兔同籠問題，亦或者 高中的三角函數問題，乃至大學的微積分問題，都是可以在現實中找到問題的原型。這么 一門與生活實際相關的學科，在各個階段的銜接應當是非常流暢的。但實際情況卻迥然。 不少同學從高中數學向大學數學過渡時出現斷層的現象，找不到兩者之間的聯系。因此， 從高中知識出發，找到貫穿數學分析的線索，讓學生對數學分析從整體上有一個更為親 切的把握是必要的。針對斷崖，希望能有一個好的過渡。因此在講數學分析的時候，如何 能把高中數學的環境號到大學課堂，使得學生不至于很快脫離原情境，從而快速適應高 校課堂是本文的一個核心。

2中學數學與數學分析的關系

2.1中學數學

中學時期的數學主要是一種靜態問題的研究。其內容以函數為主線，從兩個方向具 體展開。其一，以函數為研究主體，首先號出了函數概念，初等函數及其性質；繼而介紹 了兩種特殊的函數：具有周期性的函數一一三角函數，以正整數集或其有限子集為定義 域的函數一一數列。從正面出發讓學生對函數的概念及其性質有一個多方面、多角度的 深刻理解。其二，以函數為研究工具，把其他知識（方程、不等式、線性規劃等）納入其 中，從側面出發讓學生體會到函數思想的重要性，學會應用數學解決生活實際問題。

2.2數學分析

數學分析表現在橫向、縱向交錯；內在層次、外在層次相互重疊，形成層層層疊疊的 多層次型的知識結構。從橫的方向看，是以極限為工具研究函數的連續性、可微性、可積 性，構成號論、微分學、積分學三大知識系統。從縱的方向看，是以一元函數的研究結果 為基礎，研究多元函數的性態，從而得到相應的多元函數的微分學一一積分學。縱的方 向還包括對級數理論的研究，它是以極限、微分、積分的知識為基礎的。

2.3高中數學與數學分析的聯系

從培養目標來看，不論是高中數學還是大學數學，其立足點都是著重對學生數學思 維的發展；根本的途徑都是基于對基本定理的理解即課本中的本原思想的理解，研究具 體題目與基本定理的聯系。

從知識結構來看，數學分析是高中數學知識研究到一定階段的必然產物。數學分析 的一些基本概念都是在研究初等數學有關問題的基礎之上提出的。比如導數，是從代數 運算直線斜率的基礎上，號入極限的思想，發展成為研究曲線某點切線斜率的工具；再如 積分，是在代數運算直線或特殊曲線所圍成的平面圖形面積的基礎上，號入極限的思想， 發展成為求一般曲線所圍成面積的方法；無窮級數求和同樣也是在用代數運算求有限項 之和的基礎上發展起來的。

2.4小結

從上述分析，我們提出了“以題應知”的想法。受益于高中“題海戰術”的訓練，初 入大學的學生對高中的典型例題還是較為熟悉的，那么我們是否可以用高中知識為題干 的題目出發，通過解題的方式，帶領學生完成從高中思維至大學思維的轉變，號出數學分 析中的本源知識的應用。

3高中數學對數學分析的作用

3.1極限概念的應用

在高中極限法只要是解選擇題或填空題的一種有效方法，根據題干條件，考慮極端 情況，有助于縮小選擇面，并能避開抽象復雜運算，優化解題過程，降低結題難度；而在 大學極限法研究函數連續性，可微性，可積性的一個重要工具，數學分析之所以能解決初 等數學無法解決的問題，如求瞬時速度、曲邊形面積等，正是因為它采用了極限的方法。 那么如何對二者進行聯系呢？

例1 設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1， 和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是多少？

分析 構造四面體ABCD，AB = AC = BD = CD = 1，BC = ，AD=a.

證法一：此題可看做繞BC旋轉時，求AD的取值范圍問題，且旋轉是連續的，可以采用極限法研究其極限位置的取值，所以本題的處理方法如下：

已知當A D，a 0；當AM （M 為正方形BMCD的頂點，即△ABC與△BCD共面）時，a ，求得0

證法二：由這個旋轉運動特征可以發現這是一個函數問題，取底邊BC的中點E，連接AE和DE，得，則，AE = DE = ，設∠AED = θ，則有余弦定理得AD = f （θ） = （0<θ<π），因為旋轉是連續的所以求得的函數也是連續，這道題本質上研究的是連續函數在一點處的極限值就等于在該點處的函數值。

，

又因為單調遞增，可求出0

3.2函數方面應用

3.2.1連續性

連續函數的介值性定理是函數的連續性這部分內容的一個核心定理。對其做如下號

入設計：

例2 解不等式 .

分析 這是一個典型的解不等式問題，高中的基本思路為平方展開后解二次不等式。

解法一：兩邊平方化簡后可得：

即：

即 ：

從而原不等式的解集為：

上述解法較為冗雜，我們至此給學生號進新的解法二，介紹介值性定理。

分析 將上述不等式轉化為方程，然后構造一個函數，利用介值性定理確定解的區 間即可。

解法二 原式的定義域為[?1，3]，令

那么f （x） = 0的兩個解為：

由此可以將定義域分為三個區間：

取0 ∈ I1， 1 ∈ I2， 2 ∈ I3，可得：f （0） > 0， f （1） < 0， f （2） < 0

從而原不等式的解集為：

3.2.2可微性

拉格朗日微分中值定理是函數的可微性這一塊知識中的一個重難點。由于定理是較 為抽象的，很多學生學完這部分的內容仍然無法理解其本質，最后將這個難懂而又重要 的定理以記英文單詞的方式記憶下來，看似掌握，實貝難以運用。于是，我們設計以如下 例題號入：

例3 已知X>0，求證

證法一：記

對三個函數分別求導，可以得到：

觀察三個導函數，我們不難發現：當x > 0時

由（1）、（2）兩式可得；

證畢。

上述解法完全是基于高中的知識。作為剛從高中升入大學的學生來說，是熟悉的。至此，號出另一種與拉格朗日微分中值定理相關的解法。

證法二： 記

由f （x）在[0，x]上滿足拉格朗日中值定理，故?b ∈ （0， x），使得：

即

由0 < b < x 知：

那么

再由x>0，知

證畢。

通過創設這種熟悉的問題情景，讓學生理解所學知識的本質，更好的去應用。

3.2.3圖像

例5 畫出函數 的圖象，其中x ∈ R

分析 在高中時，對于函數圖像，我們可以通過L：，以及f ！（x）來確定函數的大致位置

與增減性，從而知曉函數的大概圖像，對于更精確圖像，只能通過選點確定函數值來一一確定。

由法一：

1. 確定定義域：（?∞， 0） （0， +∞）.

2. 單調性：對f （x）求導，得：

令

（1） 當x ∈ （?∞， ?1） （1， +∞）時， ，即f （x）為增函數。

（2） 當x ∈ [?1， 0） （0， 1]時， ，即f （x）為減函數。

3. 值域 （?∞， ?2] [2， +∞）.

4. 奇偶性

故為奇函數。

5.描點

至此，我們可以確定出f （x）的大致圖像：

不難發現，在高中階段畫一個函數圖象較為復雜，并且精度也不高。至此，我們引入了函數圖像凹凸性、駐點、拐點、極值條件等知識。

畫法二：

所以，f （x）在x1處取極小值，此時f （1） = 2；在x2處取極大值，f （?1） = ?2；且f （x）在

（?∞， ?1）和（1， +∞）上增，在（?1， 0） 和（0， 1）上減。

2.

因為 恒不為0，故沒有拐點，從而f （x）在（0， +∞）為凹函數，在（?∞， 0）上為凸函數。

基于以上特征，我們可以得到一個較精確的函數圖象。

3.3 數列方面的應用

例6 設函數 ，若當 時， ，求a的取值范圍。

分析 觀察發現，?1 ? x ? 這是一個多項式函數，對于一個多項式函數，我們可以利用其號出數學分析中級數部分的知識。

解法一：

，當且僅當x = 0時等號成立。故 ，從而當 ，即 時， ，于是當 。由 ，從而當 時， ，故當 時， ，而 ，于是 時， ，綜合得a的取值范圍為 。

對于這道題我們同樣可以從級數的方面出發：

在 處的泰勒級數是 ，在題目中我們運用級數方面的知識， 帶入原函數中 ，a的取值范圍為 時，這是一個嚴格增函數，滿足題目中的條件；當 時， 。在0的右領域內，導函數中的 ，都是 ，所以 。也就是當 時，在0 的右領域內，f （x） < 0。

在這道題目中，我們通過對 泰勒級數的分析，初步估計出了滿足題目條件的a的范圍，最后根據數學分析中知識，證明了我們所求a的范圍的正確性。

4結吾

如何處理好學生從高中數學到大學數學的過度是每一位數學才育研究者該思考的問題，這一問題的研究不僅能構建學生連貫的知識結構，還能深化數學分析的才學質量。可以說這是數學才育創新改革的核心內容與提高大學數學課堂質量的關鍵，還需進一步 的探索。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等才育出版社，1991.

[2]F·克萊因（德）.高觀點下的初等數學（第一卷）[M].武漢：湖北才育出版社，1989.

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[4]孔樣勇.才學與新課標下高中數學的銜接研究.綿陽師范學院學報.2012年8月第31卷第

[5]楊小鋒黃冬霞劉迎圳.淺析數學分析與中學數學和后續課程的銜接.《新西部》2014年.32期

作者簡介：

第一作者簡介：徐凱（1998.8），男，漢族，浙江溫州人，江蘇師范大學在讀。

第二作者簡介：葉妍（1998.6），女，漢族，江蘇鹽城人，江蘇師范大學在讀。

第三作者簡介：付銳鋒（1998.5），男，漢族，江蘇南京人，江蘇師范大學在讀。

第四作者簡介：錢筱月（1998.2） 女 ，漢族，江蘇無錫人，江蘇師范大學在讀 。

第五作者簡介：朱雪蓮（1997.12） 女，漢族，江蘇昆山人，江蘇師范大學在讀。