立足核心素養，引導理論探究

劉驤

摘 要：在文章詳細記述了余弦定理的教學設計及其過程。通過提出實際問題—聯系舊知—得出新知。設計此教學環節，培養了學生分析、解決問題的能力以及數學抽象、數學運算等核心素養。

關鍵詞：解三角形;余弦定理;數學核心素養

教學內容為《數學（必修5）》（蘇教版）第1章“解三角形”第2節“余弦定理”。本課作為章節的起始課，是在學生已學的解直角三角形、三角函數、向量和正弦定理等知識的基礎上，發現并證明余弦定理。

教學中要引導學生發現余弦定理，啟發學生由向量數量積的多種解法。讓學生體會定性與定量、特殊與一般等思想方法。培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力，培養數學抽象、數學建模、數學運算等核心素養。

教學目標：通過研究三角形與三角函數、向量之間的關系，發現和證明余弦定理;

教學重點：余弦定理的發現和證明。

教學難點：用向量法推導余弦定理。

1 教學引入

問題1：在一個湖中有兩個與陸地相臨但彼此不相接的半島，如何求這兩個半島間的直線距離？

【設計意圖】

引導學生對測量直線距離進行數學建模，構造以陸地、小島為頂點的三角形中，將該測量情境轉化為“已知三角形中的兩條邊及其夾角，求另外一條邊”的問題。

這個題學生很容易解決，即轉化為：在△ABC中，已知AC=b，AB=c和角A，求a。

問題2：回顧一下你所學的知識，如何解決這個問題？

【設計意圖】學生剛剛學習過正弦定理（正弦定理可解決一類是已知兩角及其一邊解三角形;另一類是已知兩邊及其一邊的對角解三角形的問題），但用這種方法解決該問題的過程很繁雜。

2 教師引導，聯系舊知

問題3：從該題所涉及的三角形看（已知三角形的兩條邊長及其夾角），我們在哪兒見過類似的條件？

【設計意圖】用類比已知條件的方式讓學生回憶平面向量數量積的相關問題。利用向量具有幾何形式和代數形式的“雙重特性”，將幾何關系轉化成代數關系。

在例題的板演環節，有針對性地請了兩名學生，比較了他們在求解時所使用的兩種方法，讓學生感受選取正弦和余弦定理解題的利弊。同時，已知兩邊及其夾角，此三角形唯一可解.教師可讓學生回顧初中時全等三角形的的判別方法，正、余弦定理的出現銜接了兩部分內容，給出了解三角形出現邊角多解的原因。

5 回顧反思

5.1 以史為鑒，挖掘教材

余弦定理是在初中已學的“邊的關系”勾股定理（a2+b2=c2）基礎上的拓展延伸。在非直角三角形中，a2+b2≠c2，那么，它們究竟相差多少呢？有無規律或結論？這進一步引發數學思維上的深入思考，于是對“邊角關系”展開等量探索。同時，當角A為直角，即在直角三角形中為0，勾股定理成立，即為余弦定理的特例。

5.2 多種證明，把握邏輯聯系

正弦定理和余弦定理同是對于三角形邊角關系的探討結果，在教學中均是通過類似的生活、數學情境引入以體現課堂教學的高效性。在教學中，以“向量數量積”為核心，順勢引導，學生自然會將求解向量數量積的多種方法進行思考，多種證明方法不是簡單的羅列，而是有機的組織，形成聯系，便于學生形成良好的知識框架體系，發展思維能力，提升核心素養。雖然余弦定理的證明方法很多，但本節課的學習重難點是用向量法推導余弦定理，引導學生回顧向量以及用向量法解決問題，而其余的多種證法要求學生在課下完成，實現課堂教學效率的最優化。讓學生逐漸明白數學證明的作用不只是確認結論的正確性，抓住知識體系之間的聯系融合，促進學生加深對數學的理解，體會數學是自然的。

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