活用課本習題，培養學生數學解題能力

梁小躍

摘要：解題不僅能加深對所學知識的理解和掌握，更重要的是通過解題能培養我們運用所學知識解決問題的能力，一些看似簡單的中小題型，其中可能蘊含著一些重要的數學思想方法。通過對其研究，“小”題“大”做，久而久之，解綜合題也就水到渠成了，這樣可以大大提高教學效果。本文通過一些案例談談如何通過課本習題，培養學生的解題能力。

關鍵詞：課本習題 解題能力 高中數學

根據教育部有關文件精神，新的高考將避免出難題、偏題、怪題，而注重基礎性和綜合性。課本習題是經過教材編寫專家認真研究選取的，數學習題的教學功能體現在知識、教育、評價的三個功能方面。但是當前，有一種現象需要引起我們的重視，那就是有部分一線老師不重視教材中習題的研究，他們認為教材的習題太簡單，僅靠做教材中的習題只能應付學業水平考試，無法應對高考，從而將教輔資料當作解題寶典。殊不知，課本上的題目雖然簡單，但復雜的題目往往是這些簡單題目的綜合。

筆者經過長期研究發現，很多高考試題來自教材的例題和習題，題型和難度相當，如集合、復數、線性規劃等考題。還有些考題看似生疏，實際上是在課本習題基礎上改編的。

因此，作為一線教師，如果我們能重視對教材習題的研究，將教材中的習題進行合理變化、引申、推廣，進而得到有價值的結論，那么勢必會提高我們的教學效率，培養學生的學習興趣以及思維能力，進而提高學生的數學成績。

一、重視課本例題研究，發揮例題的教育功能

課本例題是教材編者智慧的結晶，是經過專家精挑細選出來的，對學生理解概念、掌握知識、鞏固所學內容都有很大幫助。為此，老師要善于運用這些資源，發揮例題的教育功能。筆者在平時的教學中特別注意課本例題的引領作用，注重引導學生分析解題思路，并進行板書示范。當然，課本例題也不是完美無缺的，老師要根據具體情況創造性地使用。

比如，在人教A版高中數學必修4第35頁例2中，第（2）（3）問書上的解答學生可能感到突然，不易理解。第（2）問書上的解答如下：sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin2x。學生很難想通為什么括號里要加π，筆者在教學中是這樣做的：設y=f（x）=sin2x的周期為T，則由周期函數的定義得f（x+T）=f（x），即sin2（x+T）=sin2x，也就是sin（2x+2T）=sin2x，將2x看成一個數，由正弦函數的周期性知2T=2π，從而T=π。第（3）問也可以類似處理，進而筆者又引導學生用類似方法推導出了y=Asin（ωx+φ）的周期公式。這樣處理既鞏固了剛學的周期函數的定義和正弦函數的周期性，又推導出了一般的y=Asin（ωx+φ）的周期公式，而且思路自然，學生易于理解。

二、研究習題變式，培養學生的發散思維

新修訂的高中數學課程標準提出的高中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六項。解題教學中的變式教學能促進學生抽象素養的形成。變式教學包括變條件、變結論等，通過對問題的變式探究，可以從不同角度、不同層次完善學生的知識結構和方法體系，有利于發展學生的抽象思維。

案例1：畫出函數y=x的圖象。（人教A版高中數學必修1第20頁例5）

講解本例時，筆者先讓學生回憶了初中所學的絕對值的意義，然后分段畫出圖象，講完本例時，又讓學生畫了函數y=|x-1|，y=|x+1|，y=|x-1|，y=|x+1|的圖象，并讓學生指出它們與y=|x|的圖象的關系，然后引出一般的f（x）與f（x+a）、f（x）與f（x）+a的圖象關系，以及y=|x-a|的圖象特征。總結完畢，筆者進行了變式教學：

變式1：作y=|x-1|，y=|x-2x-3|的圖象，并結合作圖過程說明f（x）的圖象的作圖方法，探究直線y=a與|f（x）|的圖象的交點個數問題。

變式2：作y=|x|+|x-1|的圖象。

探討含兩個絕對值時如何化成分段函數，進而畫出圖象，從而引出2016年高考數學全國卷第24題：

已知函數fx=|x+1|-|2x-3|。

（Ⅰ）畫出y=f（x）的圖象;

（Ⅱ）求不等式|f（x）|>1的解集。

以上幾題雖然形式不同，但本質上都是含有絕對值的函數問題，解決這類問題的基本思路都是通過分類討論去掉絕對值，轉化成常規函數問題。學生掌握了這種思想方法，就能夠以不變應萬變。

三、研究課本習題的推廣，培養學生的創新能力

在平常的教學中，教師要積極引導學生重視對問題本質的探究，善于從小問題中提煉出大道理，抽象概括出隱含在問題中的一般結論。教學實踐表明，研究課本習題的推廣是培養學生數學抽象思維和創新能力的有效途徑。

案例2：（人教A版高中數學必修5第44頁例3）

已知數列{a}的前n項和為S，S=n+1/2n，求{a}的通項公式，并判斷它是否是等差數列。

課本上是利用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n>1進行求解的，這是通法，適合所有數列“知和求項”問題。接著筆者進行了變式：將條件改為“S=n+2n+1”，結論如何？并思考：若S=pn+qn+r，當p、q、r滿足什么條件時，數列{an}是等差數列？這樣引導學生從函數角度認識等差數列前n項和公式，加深學生對等差數列的理解。

在教學實踐中，筆者發現學生在計算時常出現問題，主要表現在三個方面：一是不求a;二是求了a及a后不加驗證，不去總結;三是計算a時常常出錯。為了解決學生“會而不對”的問題，筆者又讓學生觀察分析等差數列的通項公式和求和公式，總結并推導出一般結論：若數列a的前n項和S=pn+qn（p，q為常數），則a=2pn+q-p。這樣學生在做小題時，就可以快速準確地得出答案，做大題時也可以有效減少計算錯誤，從而提高學生的運算能力。

總之，面對新的高考形勢，重視對課本習題進行研究，發揮課本習題的功能，引導學生回歸教材，扎實搞好習題教學，就能有效避免“題海戰”，培養學生各方面的能力。

參考文獻：

[1]王道宇.備數學課，應該備什么[J].中學數學教學參考：上旬，2015（9）：2225.

[2]郭勝光.一個不可忽視的教學要素[J].中學數學教學參考：上旬，2017（7）：1921.