基于數形結合思想的初中數學教學探究

陳垌滿

【摘要】 ?豐富學生解題思路，提升學生解題能力，能夠促進學生解題效率及整體成績的提升。本文對數形結合思想進行了闡述，明確了數形結合思想常用的解題范圍，并根據解題要點，給出具體的應用實例，為初中數學教育工作提供參考。

【關鍵詞】 ?數形結合 初中數學 教學應用

【中圖分類號】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】 ?A ? 【文章編號】 ?1992-7711（2019）02-102-02

前言

隨著新課改的推進，初中階段的數學教學對學生的解題技能提出了更多要求，培養學生數形結合思想能夠有效提升解題效率，鍛煉解體思維，促進學生學習成果及綜合素質的共同提升。

一、數形結合的思想概述

數和形是數學研究中最為古老和基礎的對象，在一定情況下，可以實現數與形之間的相互轉化。常規的初中階段數學研究被分為數、形兩大部分進行獨立研究，而數與形之間又存在必然的聯系，將數與形進行結合研究，將其成為數形結合。數形結合的研究分為兩種情形，一種是應用數字精準的屬性闡述形的特征，另一種則是應用形的直觀來闡述數字之間的關系，簡單的講二者關系理解為“以數述形”或是“以形表數”。

我國著名數學家華羅庚曾用一句話總結了數形結合理念關系，即“數形結合百般好，隔離分家萬事休”由此可以看出應用數形結合有利于數學研究，而在研究中不能將數形單獨區分進行研究。數形結合將精準的數字、抽象的數學語言與直觀的幾何圖形、位置關系相結合，將復雜問題簡單化、表象問題深入化、抽象問題具體化，從而簡化學生解題路徑，深化教師數學研究。

二、初中階段數形結合的應用范圍

數形結合的理念廣泛應用于數學課堂教學工作中，數形結合的解題思路是數學教學中的主要工作之一，應用數形結合思路能夠解決集合、函數、方程式、不等式、三角函數、數列、解析幾何、立體幾何、絕對值、分數應用等多種類型的題目。以函數、方程、不等式和三角函數為例，將數形結合應用于函數運算當中，借助圖像來表現函數的性質，將函數圖像的幾何特征與數量特征充分結合利用;在解答方程式與不等式的過程中，可以將方程問題看作是兩個函數圖像的交集，將不等式的計算應用數形結合從題目條件即結論著手，聯系相關函數，重點突出幾何意義，應用圖像尋找不等式的求解思路;數形結合思想是三角函數問題處理最重要、有效的解答辦法，在解答三角函數問題時，數形結合應用在單調區間、函數值大小問題的解答，借助單位圓或三角函數的圖像進行處理。

三、數形結合在初中教學中的具體應用

（一）數形結合思想的應用要點

1.數形結合是在解答數學問題中常用的解題思想，結合數形結合思想的解答過程們能夠使抽象的問題更加直觀、具體，使學生對于問題的理解更加直觀、深入，從而把握該問題的本質及出題人的考察用意;應用數形結合方法，促進解題效率及質量的提升，學生對數學學習的熱情也會在某種程度上得到提升。

2.數形結合，是根據數與形的聯系，通過數形的相互轉化以解決部分較為復雜的數學問題，要實現數形集合，會應用到以下幾個知識點：1.實數在數軸上的點坐標關系;2.函數與圖像的關系;3.曲線與方程的關系;4.幾何與幾何參數的關系等。

3.從歷年的中考、高考試題來看，應用數形結合思維，能夠解決大部分考試中的難題難點，促進學生解題能力和成績的提升。

4.應用數形結合的思想能夠直觀的發現解體的突破口，將復雜的問題簡單化，減少解題步驟和計算過程，從而降低疏漏發生的機率，提升解題效率，在考試中又更多的時間對必拿分的題目進行反復檢測，促進分數整體提升。

（二）初中數學階段數形結合思想應用的距離說明

數形結合的應用廣泛，本文以圖形證明問題、函數問題及不等式問題為例，距離說明數形結合在初中階段數學教學工作中的應用。

1.圖形證明問題

初中階段的數學教學中，圖形證明題是重點也是難點，例如要證明兩個三角形全等，常規的解決方法是畫輔助線，將輔助線作為解答的突破口，但在解答過程中，部分學生因為抽象思維、幾何思維較為薄弱，不會應用輔助線或輔助線不準確，此類問題就難以解答，在考試中是丟分項。面對此問題教師可以引入數形結合思想，以圖形教育為基礎，引導學生思維發散，通過引導學生逐漸在腦中形成“烙印”，逐漸對該類題型形成思維定式，意識到輔助線在問題解答中的意義。在此情況下，學生遇到該類型問題時，第一反應就是應用輔助線，并根據題型積累，快速敲定輔助線的位置。

例1：應用圖形的幾何意義證明完全平方公式

證明：將邊長為a的正方形增加邊長b，形成兩個正方形與矩形，具體如圖1所示。

∵此圖形的面積可以表示為（a+b）2或a2+2ab+b2

∴（a+b）2=a2+2ab+b2

根據此因果關系可以炎癥兩數之和的完全平方公式。

類比解決：

在課堂上教師可以引導學生類比此方法，應用圖形幾何意義證明平方差公式，要求以圖形表示并明確推理過程。

提問：如何應用圖形幾何意義證明：13+23=32？

如圖2所示，一個A的面積以1×1×1=13表示

B的面積是正方形以2×2表示，而CD可以組成一個正方形面積以2×2表示，因此BCD三個區域的面積總和可以看作是2個邊長為2的正方形，表示為2×2×2=23，而圖2整個面積總和可以看作是一個邊長為1+2的正方形，則面積表示為3×3=32.由此可以得出結論13+23=32.

以此類推，學生繼續探究 13+23+33=？，13+23+33+…+n3=？

2.一次函數及二次函數的解答

初中階段學習的函數主要為一次函數及二次函數，二者具體的函數表達式為：y=kx+b以及y=ax2+bx+c，進一步又會細分為一元函數、二元函數等。從二者的表達式來看，學生難以理解函數的性質，即單調性與對稱性，這就導致學生難以理解和解答問題。

結合數形結合的函數解答，教師應用函數中幾個代表性的做好，以圖形的形式將抽象的函數性質表達。在課堂教學中向學生介紹一次函數是存在于坐標系一三象限或二四象限的直線，學生就會了解一次函數是單調函數且隨著數值的變化直線遞增或遞減，且橫向、縱向具有不對稱性。二次函數從圖像可以看出在部分區間有單調性，且并非直線遞增、遞減，并沿y軸對稱。

例2：一次函數y=ax+b的圖像如圖3所示，求一元一次方程ax+b=0的解。

該題目考察一次函數與一元一次方程的聯系。一元一次方程的解即x值，是當一次函數y=0時，x的數值，或是求一次函數圖像與x軸交點橫坐標的值。由圖像可以看出一元一次方程的解x=2.

3.解答不等式

在解答不等式時，要充分利用數軸，在解答不等式是時，數值會對應多個區間，而應用數軸即可將數字在數軸上具象化，進而分析數軸上的重合點，即可求解該不等式未知數的求解范圍。

例3：教師可以在不等式教學時，利用例2進行引申，促進知識的遷移與思維變通，教師啟發學生如果ax+b>0，那么需要截取函數直線在X軸以上的部分，以x=2為臨界點，那么該不等式的解集就是x<2，同理ax+b<0的解集是x>2.

總結

綜上，數形結合的思想對初中階段學生的數學學習直觀重要，教師要優化教學理念，將數形結合思想廣泛應用于數學教學中，在本文實例的基礎上學以致用，優化創新，豐富學生解題技能，促進學解題效率及解題能力的提升。最為重要的是將數形結合的思想深入人心，使之根深蒂固，保障學生在任何學齡段、任何層次都能對此思維靈活應用。

[ 參 ?考 ?文 ?獻 ]

[1]楊娥.基于數形結合思想的初中數學教學實踐研究[J].新課程（中），2017（4）：42-42.

[2]朱國暹.數形結合思想在初中數學教學中的應用[J].林區教學，