基于學生理解水平 進行適切教學設計

倪乃忠

摘 要：教學設計應該基于學生的理解層次、水平，學生對“兩三位數除以一位數”運算的理解是有不同層次的。本文將學生在未進行課堂教學前對“兩三位數除以一位數”的理解由低到高分為直觀水平、程序水平、抽象水平和形式水平四個層次，進行分類研究，找到課堂教學的最佳切入點，尋找可以借助的學生原有知識框架。按照學生的理解水平，進行合理的教學的教學設計。從而，更好地解決造成學生錯誤增加的算理與算法溝通的問題。

關鍵詞：教學設計;理解層次;分類研究

一、問題提出

《新課標》強調：“對數與代數學習的評價，應主要考察學生對概念、法則及運算的理解與運用水平”。義務教育教材除了較好地落實大綱精簡繁難計算的要求外，還把教學的重點放到了讓學生較好地理解算理上。

兩三位數除以一位數是除法豎式計算的一次重要的擴展。一方面是理解代數思想、體驗函數思想、理解實數系統、進行多項式除法等諸多后續學習的重要基礎，不得不學;另一方面又由于除法豎式教學占有往往需要占用較多教學時間，且教學效果一般，學生錯誤較多，給教與學都帶來了很大的挑戰，成為小學數學教學中我們不得不直面的問題。

從學生的實際情況出發，對課堂進行有效的教學設計是課程實施的重要環節。本文以“兩三位數除以一位數”的課堂教學時間為基礎，探討如何基于學生的理解水平，適切進行教學設計。通過本研究，期待解決以下問題：

1.學生對兩三位數除以一位數運算算理理解達到什么層次？

2.學生達到該理解水平的主要影響因素是什么？

3.通過上述問題的探索，基于學生的理解水平，我們應該如何進行適切的有效教學設計？

二、理論背景

（一）相關研究成果綜述

杭師大教育心理學教授鞏子坤老師領導的研究團隊提出有理數運算理解的四種類型：直觀理解、程序理解、抽象理解、形式理解。基于這樣的理解層次論，結合自己的教學實踐，開展本次課題的相關研究。

（二）“三位數除以一位數”的內涵界定

本研究中“兩三位數除以一位數”指乘法口訣表外的兩位數除以一位以及三位數除以一位數的運算。對于“兩三位數除以一位數”運算的理解即為對以上運算內容的算理與算法的理解。

（三）“兩三位數除以一位數”理解水平分層界定

結合國內外研究成果，主要依據鞏子坤教授提出的有理數運算理解的四種類型，本研究將“兩三位數除以一位數”理解水平界定為以下四個層次：

（1）直觀水平：能夠用直觀圖像或現實情境來給出正確答案。

（2）程序水平：按照除法豎式運算法則算出正確的答案。

（3）抽象水平：會計算，并結合算式，用語言描述結果的合理性。

（4）形式水平：會計算，并結合已知的規則、規律，用邏輯推理的形式，證實運算結果的合理性。

三、研究過程

（一）研究對象

鑒于研究的代表性（選取學校位于城郊結合部，正在飛快融入大城市）和方便性，以所在學校作為研究對象。學校學生數學整體水平處于該地區中等偏上水平。從這所學校所有年級中選取三年級（進行兩三位數除以一位數教學之前）全體共 105名學生。為了縱向對比了解，尋求學生對“兩三位數除以一位數運算”隨著年齡與知識增長而產生的理解層次水平的變化，又在這所小學選取了四年級全體 105 名（三年級時學習過兩三位數除以一位數）學生作為對比研究對象。

（二）研究工具

1.問卷調查。對沒有進行任何兩三位數除以一位數教學的三年級的學生，進行問卷調查。問卷要求嘗試解決以下問題：用自己喜歡并且熟練地方式，比如用文字解釋、畫直觀圖展示、用算式計算等盡可能多的方法闡述計算結果的正確性。整個過程，闡述地越詳細越好。問卷調查一共三個習題。

（1）這些小立方體要分裝到 3 個盒子里，每個盒子里需要裝幾個小立方體？

（2）一共有 72 人參加會議，分為 6 個分會場，平均每個場地需要容納多少人？

（3）648÷6 你會計算嗎？

2.個別訪談。問卷調查結束以后，隨即對問卷進行閱卷分析。同時，結合問卷答題情況，即刻對學生進行談話訪問。

（三）數據分析

1.定性分析。對問卷進行歸納整理。分析錯誤理解的結果及類型，并對產生錯誤理解的原因進行分析。

2.定量分析。 分類整理每一個學生的問卷答案，對其理解層次水平進行界定。得到全體參與問卷調查學生理解水平的分布圖。

四、研究結果

（一）正確的理解

1.直觀水平。畫出直觀圖，并在圖上請學生圈一圈，平均分，得到正確結果。（典型學生作品見圖 1）

2.計算水平。列豎式，通過除法運算法則算出正確結果。（典型學生作品見圖 2）

3.抽象水平。

（1）正確計算，用畫圖法驗證結果的正確性。（典型學生作品見圖 3）

（2）正確計算，用語言來說明結果的正確性。例：324 里包含了 3 個百，2 個十，4 個一，三個百先平均分給 3 個人，每人得 100，2 個十平均分給 3 個人，每人得 6，還多 2 個（一），2 個加 4 個是 6 個，平均分給 3 個人，每人得 2 個，合起來是108 個。

（3）正確計算，用乘法來驗證結果的正確性。例：因為12*6=72，所以 72÷6=12 是對的。

（4）正確計算，用減法來驗證結果的正確性。例：648—108—108—108—108—108—108=0，減了 6 次就減完了，沒有多也沒有少。

4.形式水平。正確計算，能夠用乘法分配率的延伸了驗證結果的正確性。例：324÷3=（300+24）÷3=100+8=108

（二）錯誤的理解

1. 除法計算僅限于表內試商，超過范圍就不知如何計算。（典型學生錯誤見圖 4）

2. 簡單的能夠畫圖，在圖上分一分，有一個數位不夠分的，就無能為力了。（典型學生錯誤見圖 5）

3.只會用機械地法則進行計算，并出現錯誤，不能發現。（典型學生錯誤見圖 6）

（三）學生理解水平現狀

根據以上對于學生理解正確與錯誤的判斷，以及水平層次劃分，得出兩三位數除以一位數運算學生理解水平現狀如下表：

五、結論

（一）對于兩三位數除以一位數的運算，學生在學習之前就有比較好的直觀認識基礎。有接近一半（45.7%）的學生在無明確暗示的情況下，選擇了用畫圖等直觀的方法來解決現實生活中出現的問題，其中的大部分都能得到正確的結果。

（二）要達到運算理解的程序水平是比較容易的。在課堂教學前達到該水平的學生就有 34.3%，經過訪談得知他們都是通過長輩教授、培訓班學習等提前學習的方式達到了這種理解水平。在課堂教學后，達到該理解水平層次的百分比增長是最迅速的，增長了 25.7 個百分點。達到這一水平層次的學生，無論是課堂教學前還是課堂教學后，往往呈現出知其然（明確算法），而不知其所以然（不能與算理相溝通）的共同特點。

（三）從程序水平到抽象水平的提升，并未如我們想象中的那樣順利，特別體現在是課堂教學后，這一水平層次的增長幅度并不是很大，這與《新課標》中強調的學生對于算理的理解，是不吻合的，急需我們在教學設計上有所改進。

（四）要達到運算理解的形式水平，學生存在很大困難，課堂教學前達到這一水平的學生不到 2%，即使經過課堂教學后，達到這一水平的學生也不到 10%。這與學生所處年段以及知識儲備（如乘法與除法的關系了解的局限性）都是息息相關的。

六、教學建議

（一）重視直觀

雖然學生很難在形式層次上理解兩三位數除以一位數的算理，但卻有 45.7%的學生還是能夠從直觀層次來解決問題。依此，我們應該在教學設計時加強直觀教學，輔助數學教學的開展，提升教學質量。

從直觀情境引入，讓學生充分經歷分一分的過程，從可以直接分的數據到不能直接分的數據，借助學生原有的直觀理解水平，造成矛盾沖突，為需要借位計算的除法在找到牢固的直觀操作經驗支撐，突破百位、十位余數的處理難點。

（二）強調估算

同樣是根據學生直觀理解水平達到的現狀，他們中的絕大部分都能在沒有提示或者簡單提示的情況下，從直觀層面感知兩三位數除以一位數的商應該是幾位數。如，324÷3，3 個百，2 個十，4 個一，分給 3 個人，每人能分到 100 嗎？又如：240個學生，6 個老師分坐 6 輛車，每輛車會有 100 個人嗎？那每輛車大概有多少人？

這樣溝通計算結果與現實情境之間的聯系，無論是在計算前確定商的位數，還是計算后進行反思檢查，都是是減少學生錯誤的一個很好方法。

（三）不急簡化

在教學后依然有近 40%的學生無法從程序水平提升到抽象水平，這與我們要求學生在初學時就采用最簡便的豎式表示形式有很大的關聯。

兩三位數除以一位數的豎式計算是經歷了數千年的發展，抽象和概括出來的。豎式計算中省略的部分，高于學生的生活經驗與認知層次，要讓他短時間接受比較困難。因而，也就成為了學生理解上的難點，導致對知識的掌握囫圇吞棗，只知其一不知其二。

由此，兩三位數除以一位數的教學中，要還原豎式中隱去的數量。我們不能急于教學最簡便的豎式表示形式，在教學初期，允許學生保留一些“原始”的豎式呈現形式（圖 6），讓學生經歷逐步優化豎式的過程，從而在感悟中不斷溝通算理和算法。

（四）分層設計

基于學生所處的年段以及知識儲備，形式理解層次不應該成為教學設計中的人人必須達到的目標。但是，我們可以在兩三位數除以一位數的豎式教學中，將豎式試商的每一個步驟與橫式的拆分相結合（圖 7），呈現在學生面前，讓更多地學生能夠進入形式理解的層次，實現真正意義上的分層設計，差異發展。

參考文獻：

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[3]鞏子坤.有理數運算的理解水平及其教與學的策略研究[D].西南大學，2006.

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