基于數學史的三角形內角和探究活動的設計與實施

瞿鑫婷 汪曉勤 賈彬

【摘 要】 探究性學習（inquirybased learning）是近幾十年來全球科學和數學改革中的熱門話題，而數學史是探究性教學的指南。文章基于數學史的三角形內角和探究活動的設計與實施，為HPM視角下的初中數學教學提供參考。

【關鍵詞】 探究性學習；數學史；HPM；三角形內角和

一、引言

探究性學習（inquirybased learning）是近幾十年來全球科學和數學改革中的一個熱門話題。1991年，美國數學教師協會（NCTM）指出，探究是學生學習數學概念和知識重要的環節之一，包括探索、猜想、邏輯推理和評估[1]。2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，使用了“探索”這一刻畫數學活動水平的過程性目標動詞，體現了對學生在數學思考、解決問題等方面的要求。《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“數學探究”作為初中數學課程的主要內容之一，明確指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。 學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。”杜威（JDewey） 認為，探究是發現和學習的基礎 [2]。研究表明，基于探究活動的數學教育能加強學生對數學的理解和思考，培養學生積極的態度和信念，提升學生的課堂參與度，同時提高創造力以及解決問題的能力[3]。

美國數學家和數學史家M克萊因曾指出，數學史是數學教學的指南[4]，據此我們可以說，數學史也是探究性教學的指南。英國學者福韋爾（JFauvel）指出，數學史為學生提供了探究的機會[5]。數學的概念、定理等都是經過漫長的歷史不斷演進而來的，在數學教學中借鑒有關主題的歷史發展過程來設計探究活動，讓學生經歷知識的發生發展過程，體會數學研究的方法，積累數學活動經驗，加深對數學的理解，從而踐行了弗賴登塔爾（HFreudenthal）的“再創造”理論，并體現課程標準的教學要求。

近年來，HPM視角下的初中數學教學日益受到一線教師的關注，HPM專業學習共同體所開發的HPM課例受到一線教師的歡迎。許多初中一線教師希望在實踐中運用數學史提高教學效果；但由于手頭缺乏資料且未掌握數學史融入數學教學的具體方法，他們在具體實踐中遇到了很大的困難。 為此，本文通過典型的初中HPM課例，呈現基于數學史的初中數學探究活動的設計和實施方法，為HPM視角下的初中數學教學提供參考。

二、探究式教學的過程

美國哥倫比亞大學的西格爾（MSiegel）教授在1998年就提出了數學探究式教學的四個階段：準備與聚焦、探索與發現、綜合與交流、評價與延伸[6]。該教學模式的具體活動內容如下。

① 準備與聚焦：教師通過介紹數學活動，喚起學生對定義、證明等的初步想法，并在學生已有的知識基礎上挑戰學生的固有觀念，激發學生的學習興趣，確定探究的主題和目標。

② 探索與發現：學生針對教師提出的開放性問題提出猜想，并進行分析、推理與試驗，得到初步的結果。

③ 綜合與交流：教師協助學生進行小組討論，借由辨析、論證、研討的過程，獲得最后結果。在此過程中，學生表達自己的想法（如運用表格、圖形、證明等），回應他人的意見，教師適時引導或幫助學生得出一般結論。

④ 評價與延伸：教師歸納學生的數學發現，對學生的參與、表現和學習進行評價，引導學生反思探究活動過程，學會將一般結論進行類比，并應用在其他數學情境中，對新知加以整理和拓展，激發更深層次的探究。

本文利用西格爾的四階段框架，對基于數學史的三角形內角和定理的探究活動進行深入分析。

三、三角形內角和課例分析

1三角形內角和定理的歷史

（1）三角形內角和的發現

公元前6世紀，古希臘數學家泰勒斯（Thales）通過拼圖發現三角形內角和定理。泰勒斯可能已經知道等腰三角形的兩底角相等，因而知道等邊三角形的三個內角相等。首先，他發現將六個同樣的正三角形的某一個頂點置于同一點，恰好填滿該點周圍區域，因而正三角形六個內角之和等于四個直角之和，三個內角之和等于兩個直角之和。接著，他將六個同樣的等腰三角形的不同頂點置于同一點，其中的每一個頂點出現兩次，結果也恰好填滿該點周圍區域。最后，他用六個同樣的不等邊三角形來拼圖，也發現同樣的結論。

（2）三角形內角和定理的證明

為了證明三角形內角和定理，古希臘數學家（如畢達哥拉斯學派、歐幾里得）大多是過三角形某個頂點，作對邊的平行線，從而將三個內角轉化為一個平角。現行教科書大多也采用這樣的方法。18世紀，法國數學家克萊羅（ACClairaut） 則利用平行線將三個內角轉化為一對同旁內角。

19世紀末20世紀初，西方教科書編者將古希臘的方法推廣到一般情形：不在某一頂點處作某一邊的平行線，而是過三角形某一條邊上的任一點作另兩邊的平行線，甚至過三角形所在平面內任一點同時作三條邊的平行線。最后一種方法多用于三角形外角和定理的證明。

（3）避免使用平行線的嘗試

古希臘數學家普羅克拉斯（Proclus）試圖不用平行線來證明三角形內角和定理。如圖1，過三角形[WTBX]ABC的三個頂點A、B和C，分別作底邊BC的垂線，則

這種方法可以推廣到一般的非垂直情形。

1809年，德國數學家提波特（BFThibaut）首次利用旋轉方法證明了三角形內角和定理。如圖2，[WTBX]將BC所在的直線XY繞點B沿逆時針方向旋轉角度β，到BA所在直線X′Y′；將X′Y′繞點A沿逆時針方向旋轉角度α，到AC所在直線X″Y″。最后X″Y″繞點C沿逆時針方向旋轉角度γ，到BC所在直線YX。從XY到YX[WTBZ]，總共轉了180°。

2三角形內角和探究活動的設計與實施

在課例“三角形內角和”中，教師根據三角形內角和定理的歷史設計了如下探究活動（如圖3所示）。

（1）準備與聚焦

上課伊始，教師播放視頻（時長約2分鐘），追溯三角形內角和定理的歷史：泰勒斯受生活中地磚鑲嵌的啟示，通過六個同樣的等邊三角形的拼圖，發現三角形內角和等于兩個直角之和；之后，畢達哥拉斯和歐幾里得相繼通過平行線證明了該定理。學生觀看視頻后，教師要求學生分組合作，探究以下問題：

利用不等邊三角形，能否發現三角形內角和定理？

能否用不同于教科書和視頻中的方法（即畢達哥拉斯和歐幾里得的方法）來證明三角形內角和定理？

（2）探索與發現

① 探索與發現一

學生將六個完全相同的不等邊三角形在一個點的周圍無縫隙、無重疊地拼成不同的圖形，部分拼圖如圖4所示。

從這些拼圖方案中都能夠發現三角形內角和等于180°。就本節課而言，“探索與發現”的目標之一并非三角形內角和定理的結論，而是定理結論的發現過程。學生通過探究得到結果：通過不等邊三角形的拼圖，也能發現三角形內角和定理；從特殊到一般，這是三角形內角和性質的一般發現過程。

② 探索與發現二

“探索與發現”的目標之二是三角形內角和性質的新說理方法。部分學生將三角形的三個內角轉化為同旁內角，與克萊羅的證明一致。學生說理過程如圖5所示。

學生通過探究得到初步的結果：為實現角的轉化，不僅可以過三角形頂點，還可以過三角形一邊上的某一點作平行線。

（3）綜合與交流

在本環節，教師引導學生思考新的問題：將三角形的三個內角進行轉化時，所構造的角的頂點可否不位于邊上？通過討論，部分學生猜想，頂點可以位于三角形的內部，教師要求學生畫圖驗證自己的猜想，如圖8所示。

上述證明激發了學生的思維。部分學生開始思考：頂點位于三角形內部，是否是一般的情形呢？經過討論，有的學生將頂點設在三角形外，如圖9所示。

至此，學生通過探究，實現了平角頂點從三角形的頂點到三角形一邊上的一點，再到三角形所在平面內任意一點作平行線的演進過程。

（4）評價與延伸

教師把學生的證明與歷史上數學家的證明進行對比，對學生的表現給予積極的評價；總結三角形內角和定理背后的數與形、形與形互相轉化的數學思想，以及從特殊到一般的數學探究方法。最后，教師提出進一步探究的課題：

三角形一條邊上的任意一點作另兩條邊的平行線，這種方法與畢達哥拉斯學派和歐幾里得過三角形一個頂點作平行線的方法有何聯系？過三角形一條邊上的任意一點，是否可以作出其他輔助線來證明三角形內角和定理？由此得到的新說理方法與畢達哥拉斯學派和歐幾里得過一個頂點作平行線的方法有何聯系？

運用過三角形內或三角形外任一點作平行線的方法，能否對三角形外角和進行說理？

如果規定不能使用平行線，如何證明三角形內角和定理？

四、結語

綜上可知，三角形內角和定理的探究活動基本滿足西格爾的探究式教學的四個階段。在準備與聚焦階段，教師基于學生的認知起點，創設泰勒斯鋪地磚這種貼近生活的情境，激發學生的學習興趣，并提出探究任務。在探索與發現階段，教師引導學生分組進行拼圖、討論、說理論證等一系列探究活動，實現從特殊到一般的發現過程，并初步完成從特殊到一般的證明過程。在綜合與[KG（0.1mm]交流階段，教師引導學生對證明做出更進一步的探究，最終實現了說理方法的一般化。在評估與延伸階段，教師評價學生的表現，讓學生獲得數學發現的成功體驗，體現了探究之樂。同時，教師總結本節課所涉及的數學思想和探究方法，并提出拓展性問題，激發學生課后進一步探究與思考的興趣。

在基于數學史開展的數學探究活動中，一方面，數學史是探究性教學的指南，教師可依據數學定理的歷史演進過程設計和實施探究活動；另一方面，探究活動是數學史的重構，數學史創造了探究活動的機會。通過探索數學史上不同的證明方法，拉近了學生與古代數學家的距離，使數學課充滿人文氣息。因此，數學史是溝通歷史與現實、數學與人文的橋梁。

參考文獻：

[1]CHIN E T，LIN F L.A survey of the practice of a largescale implementation of inquirybased mathematics teaching：from Taiwans perspective[J].ZDM mathematics education，2013（45）：919-923.

[2]DEWEY J.Logic：the theory of inquiry[M].New York：Holt Press，1938.

[3] Hhkiniemi M.Teachers reflections on experimenting with technologyenriched inquirybased mathematics teaching with a preplanned teaching unit[J].Journal of mathematical behavior，2013（3）：295-308.

[4]汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社， 2017.

[5]FAUVEL J.Using history in mathematics education[J].For the learning of mathematics，1991（2）：3-6.

[6]SIEGEL M，BORASI R，FONZI J.Supporting students mathematical inquiries through reading[J].Journal for research in mathematics education，1998（4）：378-413.