函數(shù)單調(diào)性的判定與應(yīng)用

陳星星

摘 要：本文主要以函數(shù)單調(diào)性的判定與應(yīng)用為重點(diǎn)進(jìn)行闡述，結(jié)合當(dāng)下高中函數(shù)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，從定義法、原型法、整體法、導(dǎo)數(shù)法這幾個(gè)方面深入說明并探討函數(shù)單調(diào)性的判定與有效應(yīng)用措施，旨意在為相關(guān)研究提供參考資料。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)單調(diào)性;判定;應(yīng)用

數(shù)學(xué)為一門具有較強(qiáng)邏輯性與思維性的學(xué)科，對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力具有促進(jìn)作用。對于高中學(xué)生接觸的函數(shù)而言，單調(diào)性為其中一項(xiàng)重要內(nèi)容，并且被廣泛的應(yīng)用在函數(shù)大小比較與函數(shù)最值的求解問題中，所以函數(shù)的單調(diào)性判定與應(yīng)用的學(xué)習(xí)尤為重要。以下為筆者對函數(shù)單調(diào)性的判定與應(yīng)用給予的相關(guān)分析與建議。

1.定義法

函數(shù)單調(diào)性的定義，不僅是函數(shù)具有的性質(zhì)，還是單調(diào)性的判定依據(jù)，為函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。定義法是判定函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)，所以教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生全面分析函數(shù)單調(diào)性的定義，加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性基礎(chǔ)知識的理解與掌握，科學(xué)地判定函數(shù)單調(diào)性，理解定義的另一種表現(xiàn)形式，提高學(xué)生思維的運(yùn)用能力[1]。定義法判定函數(shù)單調(diào)性分為四個(gè)步驟：作差、變換形式、確定符號、總結(jié)，可以結(jié)合變形的相關(guān)要求選取有效方式對原式進(jìn)行作差，其中變形方式包括分解、配方等。

例如：存在一個(gè)函數(shù)g（x）=x3-3x2+6x-6，并且存在g（m）=1，g（n）=-5，求m+n的值。

分析：函數(shù)可以變形為g（x）=（x-1）3+3（x-1）-2，將已知條件代入之后，得到（m-1）3+3（m-1）=3與（n-1）3+3（n-1）=-3，進(jìn)而構(gòu)造出全新函數(shù)G（y）=y3+y，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的基本定義與奇函數(shù)的特征可以發(fā)現(xiàn)G（y）為定義在實(shí)數(shù)R區(qū)間上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此G（-y）=-G（y），m-1=1-n，得出正確結(jié)果m+n=2。

2.原型法

抽象函數(shù)為函數(shù)的一種表現(xiàn)形式，判定函數(shù)單調(diào)性時(shí)可以采用原型想象的方式。抽象函數(shù)是在函數(shù)的基礎(chǔ)上衍生出的一種函數(shù)，主要存在于沒有給出具體函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖像的問題中，因這類問題具有較強(qiáng)的思維特征，所以在學(xué)習(xí)期間會存在一定難度[2]。學(xué)生只能結(jié)合函數(shù)自身具有的性質(zhì)進(jìn)行猜想與合理想象，進(jìn)而確定原型函數(shù)，將抽象化的數(shù)學(xué)問題具體化，解決函數(shù)單調(diào)性問題。

例如：在實(shí)數(shù)R區(qū)間內(nèi)，存在一個(gè)函數(shù)g（x），且g（a+b）=g（a）+g（b），當(dāng)x大于0時(shí)，g（x）小于0，求證：g（x）=0;g（x）是定義域上的奇函數(shù)。

證明：g（0+0）=g（0）+g（0），進(jìn)而得出g（0）=0;

g（x-x）=g（x）+g（-x）=g（0），y也就是g（-x）=-g（x），得出g（x）是定義域上的奇函數(shù)。

解析，諸多函數(shù)夠存有原型，學(xué)生的解決抽象函數(shù)問題過程中，如果能夠結(jié)合函數(shù)性質(zhì)與相關(guān)結(jié)構(gòu)找到與函數(shù)相類似的原型，再依據(jù)原型具有的單調(diào)性特點(diǎn)假設(shè)未知函數(shù)的單調(diào)性，便可以為判定證明打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

3.整體法

整體法主要適用于分段函數(shù)，因?yàn)樵谂袛喑Ｒ姾瘮?shù)構(gòu)成的分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需要符合單調(diào)性的定義。簡單來講，就是指從整體入手，注重整體單調(diào)和各段單調(diào)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解整體法的含義與價(jià)值，幫助學(xué)生找到函數(shù)解題的技巧，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)自信心。

例如：已知f（x）=x2+（4a-3）+3a，x<0，且f（x）=Loga（x+1）+1，x≥0，該函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求a的范圍。

解析：由于f（x）在R上處于單調(diào)遞減，所以得出0

點(diǎn)評：因?yàn)樵摵瘮?shù)f（x）=g（x），x>x0，且f（x）=h（x），x≤x0，在R上單調(diào)，該問題屬于求參數(shù)問題，在解題時(shí)需要注重分界點(diǎn)，即指f（x）在R上單調(diào)遞減或者是遞增，需要有h（x0）≤g（x0），或者是h（x0）≥g（x0），進(jìn)而準(zhǔn)確的得出答案[3]。

4.導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)函數(shù)為探究函數(shù)單調(diào)性中應(yīng)用幾率最大的工具，學(xué)生需要有效結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，條理清晰的理解問題的含義，計(jì)算簡單，并且不容易出現(xiàn)錯誤。

例如：函數(shù)h（x）在定義區(qū)間內(nèi)（m，n）可導(dǎo)，在h，（x）大于0時(shí)，h（x）在定義域內(nèi)（m，n）單調(diào)遞增;在h，（x）小于0恒成立時(shí)，h（x）在區(qū)間內(nèi)（m，n）單調(diào)遞減。

分析：首先h，（x）大于等于0且h，（x）等于0為有限個(gè)零點(diǎn)，那么h（x）在區(qū)間內(nèi)（m，n）為單調(diào)遞增函數(shù)或者單調(diào)遞減函數(shù)。其次，導(dǎo)函數(shù)存有的零點(diǎn)問題往往是導(dǎo)函數(shù)中含有符號的分界點(diǎn)，也是單調(diào)性函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)[4]。所以，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)判定與證明問題，如果h，（x）的零點(diǎn)不容易被求出，可以采取二次求導(dǎo)或者分離函數(shù)的方式，將疑難問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵螁栴}，清晰的分析出零點(diǎn)存在的情況，同時(shí)依據(jù)導(dǎo)函數(shù)大小在區(qū)間內(nèi)與0之間的比較，判定出函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有的單調(diào)性。此外，如果遇到含參類型的函數(shù)問題，可以采用分類探究法或者數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行深入分析與解決。

結(jié)束語：綜上所述，開展函數(shù)單調(diào)性的判定與應(yīng)用研究課題具有十分重要的意義與價(jià)值，高中學(xué)生通過學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的判定與應(yīng)用，可以有效激發(fā)自身學(xué)習(xí)潛能，促使思維的靈活轉(zhuǎn)變，有利于學(xué)生自身自主學(xué)習(xí)能力的提高。基于此，高中數(shù)學(xué)教師在教授函數(shù)單調(diào)性時(shí)，需要充分考慮到函數(shù)的基本性質(zhì)與單調(diào)性的判定方法，基于學(xué)生身心發(fā)展需求，巧妙的引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識與技能，不斷開發(fā)出學(xué)生自身的創(chuàng)造潛力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣，推動高中數(shù)學(xué)課堂的高效進(jìn)行。

參考文獻(xiàn)

[1]王梅英.函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)判別法[J].南京審計(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，2（1）：74-75.

[2]劉海武.高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性在解題中的巧妙應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2016（8）：33-33.

[3]李鵬.對“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)的構(gòu)想——以“概念同化”的方式為例[J].數(shù)學(xué)通訊，2017（13）：6-9.

[4]黃麗.高中函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)研究[D].四川師范大學(xué)，2014（10）：58-59.